2019-2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的兩根之比為( ) A．i B．﹣i C．i D．1i 2．已知：a是實(shí)數(shù)，命題P：?x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命題Q：﹣4＜a＜0；則命題P為假命題是命題Q成立的( ) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出x的值為23，則輸入的x值為( ) A．0 B．1 C．2 D．11 4．已知由長方體截去一個(gè)棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A．16 B． C． D． 5．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別為△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1一定是銳角三角形，△A2B2C2一定是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 6．已知一個(gè)四位數(shù)其各個(gè)位置上的數(shù)字是互不相等的非負(fù)整數(shù)，且各個(gè)數(shù)字之和為12，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A．108 B．128 C．152 D．174 7．已知A、B為拋物線x2=2py（p＞0）上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，則 ①=0； ②存在實(shí)數(shù)λ使得（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）； ③若線段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為T，有=0； ④拋物線在A點(diǎn)的切線和在B點(diǎn)切線一定相交，并且相互垂直． 其中說法正確的個(gè)數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知n∈N*，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，函數(shù)f（x）=x，若x=an+1是f（x）的極小值點(diǎn)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( ) A．a(chǎn)n= B． C． D． 9．由二項(xiàng)式定理知識(shí)可將（n∈N*）展開并化簡(jiǎn)．若，則在（a+5）2n+1（n∈N*）的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后面至少連續(xù)有零的個(gè)數(shù)是( ) A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2 10．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在上“k階線性近似”．若函數(shù)在上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( ) A． （2）若0＜ω＜1，當(dāng)f（x0）=﹣，求f（x0+1）的值． 18．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為． （Ⅰ）求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，設(shè)bn=（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn． 19．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論． 20．電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇．某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng)，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級(jí)口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇．（各種口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖．） （1）小王花10元錢買三瓶，請(qǐng)問小王共有多少種不同組合選擇方式？ （2）小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差． 21．橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，且最大值的取值范圍是，其中c=． （1）求橢圓C1的離心率e的取值范圍； （2）設(shè)雙曲線C2以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線C2在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)e取得最小值時(shí)，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 22．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0． （1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值； （2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （3）當(dāng)n∈N*，求證：ln2． 湖北省隨州市隨縣一中xx高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知x∈C，方程x2﹣2x+2=0的兩根之比為( ) A．i B．﹣i C．i D．1i 考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程x2﹣2x+2=0，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可求出兩根之比． 解答： 解：∵方程x2﹣2x+2=0的判別式△=﹣4， ∴方程x2﹣2x+2=0有復(fù)數(shù)解x=1i， 兩根之比為或， 故選C 點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．雖然教材中并沒有涉及實(shí)系數(shù)一元二次方程的解法，但是利用復(fù)數(shù)的引入知識(shí)和在復(fù)數(shù)的概念的基礎(chǔ)上應(yīng)具備創(chuàng)新的能力，這也是新課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的． 2．已知：a是實(shí)數(shù)，命題P：?x∈R，使x2+2ax﹣4a＜0；命題Q：﹣4＜a＜0；則命題P為假命題是命題Q成立的( ) A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題：簡(jiǎn)易邏輯． 分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可． 解答： 解：由于命題P：?x∈R，使；是假命題， 則P：?x∈R，x2+2ax﹣4a≥0就是真命題，故△=4a2+16a≤0?﹣4≤a≤0， 則命題P為假命題是命題Q成立必要不充分條件， 故選B 點(diǎn)評(píng)：此題考查特稱命題的判斷以及充要條件的概念．根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵． 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出x的值為23，則輸入的x值為( ) A．0 B．1 C．2 D．11 考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)． 專題：圖表型． 分析：當(dāng)x=2x+1，n=1+1=2，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體，依此類推，最后一次：x=211+1=23，n=1+3=4，不滿足n≤3，退出循環(huán)體，輸出此時(shí)的x的值． 解答： 解：x=22+1=5，n=1+1=2，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體； x=25+1=11，n=2+1=3，滿足n≤3，執(zhí)行循環(huán)體； x=211+1=23，n=3+1=4，不滿足n≤3，退出循環(huán)體， 上述過程反過來看即可得． 則輸入的x值為：2 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷，屬于基礎(chǔ)題之列． 4．已知由長方體截去一個(gè)棱錐所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A．16 B． C． D． 考點(diǎn)：由三視圖求面積、體積． 專題：空間位置關(guān)系與距離． 分析：由已知的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐得到的組合體，求出長方體和三棱錐的體積，相減可得答案． 解答： 解：利用三視圖的知識(shí)可知該幾何體是由一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐得到， 如下圖所示， 故可得幾何體的體積為， 故選：B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀． 5．如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別為△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1一定是銳角三角形，△A2B2C2一定是( ) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定 考點(diǎn)：反證法與放縮法． 專題：解三角形． 分析：依題意知，△A1B1C1為銳角三角形，利用誘導(dǎo)公式易得由于，，，假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，可推得A2+B2+C2=，導(dǎo)出矛盾，從而推翻假設(shè)，肯定結(jié)論成立． 解答： 解：因?yàn)槿切蝺?nèi)角的正弦均為正值， 故△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均為正， 所以△A1B1C1為銳角三角形． 由于，，， 若△A2B2C2是銳角三角形， 則，與三角形內(nèi)角和為π弧度矛盾， 故△A2B2C2是鈍角三角形， 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)與三角形的概念以及用反證法推理的基本數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 6．已知一個(gè)四位數(shù)其各個(gè)位置上的數(shù)字是互不相等的非負(fù)整數(shù)，且各個(gè)數(shù)字之和為12，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是( ) A．108 B．128 C．152 D．174 考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 專題：計(jì)算題． 分析：本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，當(dāng)數(shù)字中不含有0時(shí)，把12分成4個(gè)不同的數(shù)之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6，排列出結(jié)果，當(dāng)數(shù)字含有0時(shí)，可以是0，1，2，9；0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件，得到結(jié)果． 解答： 解：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題， 當(dāng)數(shù)字中不含有0時(shí)， 把12分成4個(gè)不同的數(shù)之和，只可能是1+2+4+5或者1+2+3+6 4個(gè)個(gè)位數(shù)和是12，也就是說，平均值是3 ∴可能是3﹣1，3﹣2，3+1，3+2這一種情況，就是1，2，4，5 而如果出現(xiàn)3的話，剩下三個(gè)數(shù)和為9，那么可能是1、2、3、6 由1，2，4，5，組成的四位數(shù)，可能有A44=24種， 同樣由1、2、3、6組成四位數(shù)，也有24種， ∴不含有0的數(shù)字有24+24=48種結(jié)果， 當(dāng)數(shù)字含有0時(shí)，可以是0，1，2，9 0，2，4，6；0，1，4，7；0，1，5，6；0，2，3，7；0，1，3，8；0，3，4，5，共有7種情況滿足條件， 而每一種可以組成數(shù)字332=18 ∴共有48+187=174 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理，對(duì)于比較復(fù)雜的問題，一般是既有分類又有分步，本題解題的關(guān)鍵是先分成含有0和不含有0兩種情況． 7．已知A、B為拋物線x2=2py（p＞0）上兩點(diǎn)，直線AB過焦點(diǎn)F，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為C、D，則 ①=0； ②存在實(shí)數(shù)λ使得（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）； ③若線段AB的中點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為T，有=0； ④拋物線在A點(diǎn)的切線和在B點(diǎn)切線一定相交，并且相互垂直． 其中說法正確的個(gè)數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析：對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論． 解答： 解：設(shè)直線AB方程為，A（x1，y1），B（x2，y2），則 由， ①由拋物線定義可知：AF=AC，BF=BD，AC∥BD∥y軸，∠AFC=∠CFO，∠BFD=∠DFO，所以∠CFD=90即；①正確 ②，∴AO∥DO即存在實(shí)數(shù)λ使得；②正確 ③因?yàn)?，由于，若k≠0則kFT?kAB=﹣1，；若k=0顯然；③正確 ④由于，拋物線在A點(diǎn)的切線斜率為，拋物線在B點(diǎn)切線斜率為 因?yàn)椋室欢ㄏ嘟?，并且相互垂直．④正確 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，注重平時(shí)復(fù)習(xí)對(duì)知識(shí)的理解和重要內(nèi)容的記憶，特別是教材中例題研究的方法和結(jié)論，都會(huì)是xx高考命題的主要來源． 8．已知n∈N*，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，函數(shù)f（x）=x，若x=an+1是f（x）的極小值點(diǎn)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( ) A．a(chǎn)n= B． C． D． 考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：f（x）=x2﹣2（an+n+3）x+2（2n+6）an=（x﹣2an），當(dāng)2an＜2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為an+1=2n+6；當(dāng)2an＞2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為an+1=2an，比較2an與2n+6的大小即可得出． 解答： 解：f（x）=x2﹣2（an+n+3）x+2（2n+6）an=（x﹣2an） 當(dāng)2an＜2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為an+1=2n+6 當(dāng)2an＞2n+6時(shí)，極小值點(diǎn)為an+1=2an 比較2an與2n+6的大小： 當(dāng)n=1時(shí)2n+6=8＞2a1=2，∴； 當(dāng)n=2時(shí)2n+6=10＜2a2=16，∴； 當(dāng)n=3時(shí)2n+6=12＜2a3=32，∴； 用數(shù)學(xué)歸納法可證明：當(dāng)n≥2時(shí)，2an＞2n+6． 故， 故選：D 點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)極值點(diǎn)概念和求法、數(shù)列的概念、等差等比數(shù)列的判斷，以及分類討論的思想和代數(shù)推理的能力，屬于中檔題． 9．由二項(xiàng)式定理知識(shí)可將（n∈N*）展開并化簡(jiǎn)．若，則在（a+5）2n+1（n∈N*）的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后面至少連續(xù)有零的個(gè)數(shù)是( ) A．2n﹣1 B．2n C．2n+1 D．2n+2 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；定積分． 專題：綜合題；二項(xiàng)式定理． 分析：先求出a，利用與的小數(shù)部分完全相同，即可得出結(jié)論． 解答： 解：因?yàn)? 由題目給出的提示：由二項(xiàng)式定理， 因此與的小數(shù)部分完全相同． ∵， ∴， 即的小數(shù)表示中小數(shù)點(diǎn)后面至少接連有2n+1個(gè)零， 因此，的小數(shù)表示中，小數(shù)點(diǎn)后至少連續(xù)有2n+1個(gè)零． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及化歸的數(shù)學(xué)思想． 10．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=f（x）圖象的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1﹣λ）b∈，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在上“k階線性近似”．若函數(shù)在上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( ) A． 13．若從區(qū)間（0，2）內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則“這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”概率為1﹣，類比前面問題的解法解：若從區(qū)間（0，2）內(nèi)隨機(jī)取三個(gè)實(shí)數(shù)，則“這三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”的概率為． 考點(diǎn)：幾何概型． 專題：概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，由題意列出不等式組，以及這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4的不等式組，分別求出區(qū)域面積，利用幾何概型的概率公式解答． 解答： 解：設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，則x，y滿足，基本事件構(gòu)成平面區(qū)域的面積為4， 事件“這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”滿足，其構(gòu)成平面區(qū)域的面積為正方形面積減去半徑為2的圓面積的四分之一，即4﹣π， 故所求概率為 類比到空間：設(shè)這三個(gè)實(shí)數(shù)為x，y，z，則，基本事件構(gòu)成空間區(qū)域的體積為棱長為2的正方體其體積為8； 事件“這三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于4”滿足其構(gòu)成空間區(qū)域的體積為正方體體積減去半徑為2的球的體積的八分之一，即． 故所求概率為． 點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)幾何概型問題．考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，并能利用合情推理之類比推理的方法解決新的問題，培養(yǎng)和提高創(chuàng)新能力． 14．已知f（x）=ex+cosx，g（x）=x，若存在x1，x2∈．… （2）因?yàn)?＜ω＜1，所以，即 ∵， 即… 由， 可得， 所以… f（x0+1）=2sin =2sin =… 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和的正余弦公式、兩倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合、整體轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，三角函數(shù)以向量為載體的形式給出，在三角函數(shù)圖象中巧妙嵌入直角三角形，活而不難、平中見奇． 18．已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為． （Ⅰ）求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若a2，a3，a1成等差數(shù)列，設(shè)bn=（2n+1）an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn． 考點(diǎn)：數(shù)列的求和． 專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn． 解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則前三項(xiàng)為； 依題意，前三項(xiàng)的積為，可得， 由于，解得q=﹣2或， 所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或． （Ⅱ）若，則不成等差數(shù)列，不合條件，舍去． 若，則成等差數(shù)列，滿足條件， 故， ， Tn=3（）1+5（）2+7（）3+…+（2n+1）（）n， 將上兩式相減得：== 所以． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)基本數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，并考查了數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法，是最簡(jiǎn)單也是最常用的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法． 19．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60． （Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE； （Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論． 考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；向量方法證明線、面的位置關(guān)系定理． 專題：計(jì)算題；證明題． 分析：（I）由已知中DE⊥平面ABCD，ABCD是邊長為3的正方形，我們可得DE⊥AC，AC⊥BD，結(jié)合線面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDE； （Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角F﹣BE﹣D的余弦值； （Ⅲ）由已知中M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0）．根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程，即可確定M點(diǎn)的位置． 解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)镈E⊥平面ABCD，所以DE⊥AC． 因?yàn)锳BCD是正方形，所以AC⊥BD， 從而AC⊥平面BDE．… 解：（Ⅱ）因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz如圖所示． 因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為600，即∠DBE=60， 所以． 由AD=3，可知，． 則A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0）， 所以，． 設(shè)平面BEF的法向量為n=（x，y，z），則，即． 令，則n=． 因?yàn)锳C⊥平面BDE，所以為平面BDE的法向量，． 所以． 因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值為．… （Ⅲ）點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0）． 則． 因?yàn)锳M∥平面BEF， 所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2． 此時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，2，0）， 即當(dāng)時(shí)，AM∥平面BEF．… 點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，空間中直線與平面垂直的判定，向量法確定直線與平面的位置關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是證得DE⊥AC，AC⊥BD，熟練掌握線面垂直的判定定理，（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)半平面的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（III）的關(guān)鍵是根據(jù)AM∥平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程． 20．電子商務(wù)在我國發(fā)展迅猛，網(wǎng)上購物成為很多人的選擇．某購物網(wǎng)站組織了一次促銷活動(dòng)，在網(wǎng)頁的界面上打出廣告：高級(jí)口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小王點(diǎn)擊進(jìn)入網(wǎng)頁一看，只見有很多包裝完全相同的瓶裝口香糖排在一起，看不見具體口味，由購買者隨機(jī)點(diǎn)擊進(jìn)行選擇．（各種口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶，且各種口味的瓶數(shù)相同，每點(diǎn)擊選擇一瓶后，網(wǎng)頁自動(dòng)補(bǔ)充相應(yīng)的口香糖．） （1）小王花10元錢買三瓶，請(qǐng)問小王共有多少種不同組合選擇方式？ （2）小王花10元錢買三瓶，由小王隨機(jī)點(diǎn)擊三瓶，請(qǐng)列出有小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望和方差． 考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列；計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用． 專題：概率與統(tǒng)計(jì)． 分析：（1）若8種口味均不一樣，有種，若其中兩瓶口味一樣，有種，若三瓶口味一樣，有8種．由此能求出小王共有多少種選擇方式． （2）由已知得，由此能求出小王喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差． 解答： （本題滿分12分） 解：（1）若8種口味均不一樣，有=56種， 若其中兩瓶口味一樣，有=56種， 若三瓶口味一樣，有8種．所以小王共有56+56+8=120種選擇方式．… （2）ξ的取值為0，1，2，3．由于各種口味的高級(jí)口香糖均超過3瓶， 且各種口味的瓶數(shù)相同，有8種不同口味， 所以小王隨機(jī)點(diǎn)擊一次獲得草莓味口香糖的概率均為，… 故隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布，即， ， ， ， ， ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P … 其數(shù)學(xué)期望， 方差．… 點(diǎn)評(píng)：本題考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力，要認(rèn)真審題，要將題目中的關(guān)系讀懂，是中檔題． 21．橢圓C1：的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，P為橢圓C1上任意一點(diǎn)，且最大值的取值范圍是，其中c=． （1）求橢圓C1的離心率e的取值范圍； （2）設(shè)雙曲線C2以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線C2在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)e取得最小值時(shí)，試問是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使得∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出； （2）當(dāng)時(shí)，，可得，A（2c，0）．設(shè)B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），代入雙曲線方程，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x0=2c，y0=3c，可得．故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A總成立，當(dāng)x0≠2c時(shí)，利用斜率計(jì)算公式可得，即可． 解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），又F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）， ∴， 又得， ∴， ∴當(dāng)x2=a2時(shí)，取得最大值b2， ∴c2≤b2≤3c2，c2≤a2﹣c2≤3c2 ∴，即， ∴． （2）當(dāng)時(shí)，， ∴，A（2c，0）． 設(shè)B（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），則， 當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，x0=2c，y0=3c， 則，∴． 故，猜想λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A總成立， 當(dāng)x0≠2c時(shí)， ∴， 又 ∴tan2∠BF1A===tan∠BAF1， 又2∠BF1A與∠BAF1同在內(nèi)， ∴2∠BF1A=∠BAF1， 故存在λ=2，使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立． 點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的基本知識(shí)，重點(diǎn)落腳在橢圓的性質(zhì)和運(yùn)用上，了解雙曲線基本知識(shí)，然后利用研究圓錐曲線的思想和方法，通過類比的方式解決問題，將常用的創(chuàng)新思想：歸納、猜想、證明用于解題之中．學(xué)數(shù)學(xué)不僅僅是要會(huì)解數(shù)學(xué)題，更重要的是學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的方法解決問題，屬于難題． 22．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax2），a∈R且a≠0． （1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求F（x）=f（x）﹣2x的最大值； （2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （3）當(dāng)n∈N*，求證：ln2． 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值． 專題：計(jì)算題；證明題；壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析：（1）代入a=﹣4化簡(jiǎn)F（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定義域?yàn)?；求?dǎo)并令，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定單調(diào)性，再求最大值； （2）由1+ax2＞0知ax2＞﹣1（a≠0），再求導(dǎo)，討論a以確定函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性； （3）設(shè)不等式左邊為Sn，化簡(jiǎn)Sn==；構(gòu)造函數(shù)，從而化，其中；利用積分的定義可知表示函數(shù)g（x）在區(qū)間上與x軸圍成的面積的過剩近似值；從而證明． 解答： 解：（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，F(xiàn)（x）=ln（1﹣4x2）﹣2x的定義域?yàn)椋? 由， 可得， ∵， ∴； 故當(dāng)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增， 當(dāng)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減； 故F（x）的最大值為． （2）因?yàn)?+ax2＞0，可知ax2＞﹣1（a≠0）， 又； 當(dāng)a＞0，f（x）定義域?yàn)镽，若x＞0則f′（x）＞0，若x＜0則f′（x）＜0； 故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，0），單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）． 當(dāng)a＜0，f（x）定義域?yàn)椋? 若x＞0則f′（x）＜0，若x＜0則f′（x）＞0； 故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． （3）證明：設(shè)不等式左邊為Sn， 則Sn= = =； 構(gòu)造函數(shù)， 由（2）可知當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（1+x2），f′（x）=g（x）； ，其中； 利用積分的定義可知表示函數(shù)g（x）在區(qū)間上與x軸圍成的面積的過剩近似值； 故有； 故當(dāng)n∈N*，成立． 點(diǎn)評(píng)：本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值和單調(diào)性問題，并通過構(gòu)造函數(shù)利用微積分的思想證明不等式問題，需要較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)和開拓創(chuàng)新能力．考查了函數(shù)的思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等常用的數(shù)學(xué)思想．