2019-2020年高三數(shù)學上學期期中試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學上學期期中試卷 文(含解析) 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.把正確答案涂在答題卡上. 1.已知全集U=R,集合A={x|y=},B={x|<2x<4},則(?UA)∩B等于( ?。? A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|x<1} D.{x|﹣2<x<0} 2.下列說法正確的是( ?。? A.命題“若x=1則x2=1”的否命題為“若x2≠1,則x≠1” B.命題“?x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2+x﹣1>0” C.“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要條件 D.“命題p,q中至少有一個為真命題”是“p或q為真命題”的充分不必要條件 3.在△ABC中,若sinA+cosA=,則tanA=( ?。? A. B. C.﹣ D.﹣ 4.已知a=(1,2),b=(0,1),c=(一2,k),若(a+2b)⊥c,則k=( ) A. B.2 C.﹣ D.﹣2 5.一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列,如果前六項均為正數(shù),第七項起為負數(shù),則它的公差是( ?。? A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 6.已知不等式ax2﹣5x+b>0的解集為{x|x<﹣或x>},則不等式bx2﹣5x+a>0的解集為( ?。? A.{x|﹣<x<} B.{x|x<﹣或x>} C.{x|﹣3<x<2} D.{x|x<﹣3或x>2} 7.一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ?。? A.9 B.11 C.10 D. 8.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),若對于x≥0都有f(x+2)=﹣f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=log8(x+1),則f(﹣xx)+f(xx)=( ) A.0 B. C.1 D.2 9.若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠l)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是( ) A. B. C. D. 10.已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是( ?。? A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 二、填空題:本大題共5小題.每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應位置. 11.如果實數(shù)x,y滿足條件,那么z=2x﹣y的最大值為 ?。? 12.在△ABC中,邊a,b,c與角A,B,C分別成等差數(shù)列,且△ABC的面積為,那么b= ?。? 13.若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e2,則lna1+lna2+…+lna20= ?。? 14.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,則球O的表面積為 . 15.如圖所示,函數(shù)y=f(x)的圖象由兩條射線和三條線段組成. 若對?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),其中a>0,0<φ<,則φ的最小值為 ?。? 三、解答題:本大題共6小題.共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示,該圖象與y軸交于點F(0,1),與x軸交于B,C兩點,M為圖象的最高點,且△MBC的面積為. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)增區(qū)間; (Ⅱ)若f(a﹣)=,求cos2(a﹣)的值. 17.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn+1=4an,數(shù)列{bn}滿足()=an2. (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (Ⅱ)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 18.已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,向量=(1,),=(sinA,2+cosA),且∥,邊AC長為2. (Ⅰ)求角A; (Ⅱ)若=3,求邊AB的長. 19.如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2,AC、BD交于O點,點G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (Ⅰ)證明:PO⊥平面ABCD; (Ⅱ)GH∥EF; (Ⅲ)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. 20.某工廠引入一條生產(chǎn)線,投人資金250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本w(x),當年產(chǎn)量不足80干件時,w(x)=x2+10x(萬元),當年產(chǎn)量不小于80千件時,w(x)=51x+﹣1450(萬元),當每件商品售價為500元時,該廠產(chǎn)品全部售完. (Ⅰ)寫出年利潤L(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關系式; (Ⅱ)年產(chǎn)量為多少千件時該廠的利潤最大. 21.已知函數(shù)f(x)=x﹣1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值; (Ⅲ)當a=1的值時,若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值. xx山東省德州市高三(上)期中數(shù)學試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.把正確答案涂在答題卡上. 1.已知全集U=R,集合A={x|y=},B={x|<2x<4},則(?UA)∩B等于( ?。? A.{x|﹣1<x<2} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|x<1} D.{x|﹣2<x<0} 考點: 交、并、補集的混合運算. 專題: 集合. 分析: 將不等式<2x<4化為:2﹣1<2x<22,求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍,即求出集合B,由補集的運算求出?UA,再由交集的運算求出(?UA)∩B. 解答: 解:由<2x<4得,2﹣1<2x<22,解得﹣1<x<2, 則集合B={x|﹣1<x<2}, 又集合A={x|y=}={x|x≥0},則?UA={x|x<0}, 所以(?UA)∩B={x|﹣1<x<0}, 故選:B. 點評: 本題考查交、并、補集的混合運算,及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,注意指數(shù)不等式需要化為底數(shù)相同的指數(shù). 2.下列說法正確的是( ) A.命題“若x=1則x2=1”的否命題為“若x2≠1,則x≠1” B.命題“?x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2+x﹣1>0” C.“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要條件 D.“命題p,q中至少有一個為真命題”是“p或q為真命題”的充分不必要條件 考點: 命題的真假判斷與應用. 專題: 簡易邏輯. 分析: A,寫出命題“若x=1則x2=1”的否命題判斷其真假即可; B,寫出命題“?x∈R,x2+x﹣1<0”的否定再判斷其真假即可; C,利用充分必要條件的概念可判斷C; D,利用充分必要條件的概念判斷D即可. 解答: 解:對于A:命題“若x=1則x2=1”的否命題為“若x≠1,則x2≠1”,故A錯誤; 對于B:命題“?x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“?x∈R,x2+x﹣1≥0”,故B錯誤; 對于C:x=y?sinx=siny,充分性成立,反之不可, 因此“x=y”“sinx=siny”的充分不必要條件,故C正確; 對于D:“命題p,q中至少有一個為真命題”是“p或q為真命題”的充分必要條件,故D錯誤. 故選:C. 點評: 本題考查命題的真假判斷與應用,考查四種命題間的關系及充分必要條件的概念,考查轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題. 3.在△ABC中,若sinA+cosA=,則tanA=( ) A. B. C.﹣ D.﹣ 考點: 三角函數(shù)的化簡求值;同角三角函數(shù)間的基本關系. 專題: 三角函數(shù)的求值. 分析: 首先根據(jù)sinA+cosA=,利用恒等關系式解得:sinAcosA=﹣,進一步建立方程組解得結(jié)果. 解答: 解:在△ABC中,若sinA+cosA=,① 所以:整理得:, 即:sinAcosA=﹣②, sinA>0,cosA<0, 由①②得:tanA=﹣, 故選:D. 點評: 本題考查的知識要點:同角三角函數(shù)的恒等變形,恒等關系式的變換的應用.屬于基礎題型. 4.已知a=(1,2),b=(0,1),c=(一2,k),若(a+2b)⊥c,則k=( ?。? A. B.2 C.﹣ D.﹣2 考點: 數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系. 專題: 平面向量及應用. 分析: 根據(jù)(+2)⊥,得(+2)?=0,求出k的值. 解答: 解:∵=(1,2),=(0,1),=(一2,k), 且(+2)⊥, ∴(+2)?=?+2?=(﹣2+2k)+2(0+k)=﹣2+4k=0; 解得k=. 故選:A. 點評: 本題考查了平面向量的應用問題,解題時應用兩向量垂直,它們的數(shù)量積為0,是基礎題. 5.一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列,如果前六項均為正數(shù),第七項起為負數(shù),則它的公差是( ?。? A.﹣2 B.﹣3 C.﹣4 D.﹣5 考點: 等差數(shù)列. 專題: 計算題. 分析: 設等差數(shù)列{an}的公差為d,因為數(shù)列前六項均為正數(shù),第七項起為負數(shù),所以,結(jié)合公差為整數(shù)進而求出數(shù)列的公差. 解答: 解:設等差數(shù)列{an}的公差為d, 所以a6=23+5d,a7=23+6d, 又因為數(shù)列前六項均為正數(shù),第七項起為負數(shù), 所以, 因為數(shù)列是公差為整數(shù)的等差數(shù)列, 所以d=﹣4. 故選C. 點評: 解決此類問題的關鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項公式,并且結(jié)合正確的運算. 6.已知不等式ax2﹣5x+b>0的解集為{x|x<﹣或x>},則不等式bx2﹣5x+a>0的解集為( ) A.{x|﹣<x<} B.{x|x<﹣或x>} C.{x|﹣3<x<2} D.{x|x<﹣3或x>2} 考點: 一元二次不等式的解法. 專題: 不等式的解法及應用. 分析: 根據(jù)所給的一元二次不等式的解集,寫出對應的一元二次方程的解,根據(jù)根與系數(shù)的關系得到不等式的系數(shù)的值,解出一元二次不等式得到解集. 解答: 解:因為ax2﹣5x+b>0的解集為{x|x<﹣或x>}, ∴ax2﹣5x+b=0的解是x=﹣,x= ∴=,= 解得a=30,b=﹣5. 則不等式bx2﹣5x+a>0變?yōu)椹?x2﹣5x+30>0, ∴x2+x﹣6<0, 解得|﹣3<x<2 故選C 點評: 考查學生理解一元二次不等式解集求法的能力,會解一元二次不等式的能力. 7.一個直棱柱被一個平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ?。? A.9 B.11 C.10 D. 考點: 由三視圖求面積、體積. 專題: 計算題;空間位置關系與距離. 分析: 三視圖中長對正,高對齊,寬相等;由三視圖想象出直觀圖,一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖,該幾何體為一個長方體截去一個三棱錐. 解答: 解:該幾何體為一個長方體截去一個三棱錐, 其長方體的體積為223=12, 三棱錐的體積123=1, 故該幾何體的體積V=12﹣1=11, 故選B. 點評: 三視圖中長對正,高對齊,寬相等;由三視圖想象出直觀圖,一般需從俯視圖構(gòu)建直觀圖,本題考查了學生的空間想象力,識圖能力及計算能力. 8.已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),若對于x≥0都有f(x+2)=﹣f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=log8(x+1),則f(﹣xx)+f(xx)=( ) A.0 B. C.1 D.2 考點: 抽象函數(shù)及其應用. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應用. 分析: 根據(jù)題意可得;周期為4,可得f(﹣xx)+f(xx)=f(1)﹣f(0),即可求解. 解答: 解:∵數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù), ∴f(﹣x)=f(x), ∵對于x≥0都有f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=f(x), ∴周期為4, ∵當x∈[0,2)時,f(x)=log8(x+1), ∴f(﹣xx)+f(xx)=f(1)﹣f(0)=, 故答案為:B 點評: 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì),對數(shù)的運算,屬于中檔題. 9.若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠l)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是( ?。? A. B. C. D. 考點: 函數(shù)的圖象. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應用. 分析: 先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出a的值,再分別判斷ABCD的圖象是否正確,問題得以解決. 解答: 解:由指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點(1,3), ∴3=a, 對于A,y=(﹣x)3圖象不經(jīng)過點(1,1),故A錯誤, 對于B,y=log3(﹣x),當x=﹣3時,y=1.故B錯誤, 對于C,y=log3,當x=3時,y=﹣1,故C錯誤, 對于D,y=x3,當經(jīng)過點(1,1),且為增函數(shù),故D正確, 故選:D 點評: 本題主要考查了基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎題 10.已知函數(shù)f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,﹣1) 考點: 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;函數(shù)零點的判定定理. 專題: 綜合題;導數(shù)的概念及應用. 分析: 分類討論:當a≥0時,容易判斷出不符合題意;當a<0時,由于而f(0)=1>0,x→+∞時,f(x)→﹣∞,可知:存在x0>0,使得f(x0)=0,要使?jié)M足條件f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則必須極小值f()>0,解出即可. 解答: 解:當a=0時,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函數(shù)f(x)有兩個零點,不符合題意,應舍去; 當a>0時,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=>0,列表如下: x (﹣∞,0) 0 (0,) (,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 ∵x→﹣∞,f(x)→﹣∞,而f(0)=1>0, ∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合條件:f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,應舍去. 當a<0時,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax(x﹣)=0,解得x=0或x=<0,列表如下: x (﹣∞,) (,0) 0 (0,+∞) f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 而f(0)=1>0,x→+∞時,f(x)→﹣∞, ∴存在x0>0,使得f(x0)=0, ∵f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0, ∴極小值f()>0,化為a2>4, ∵a<0,∴a<﹣2. 綜上可知:a的取值范圍是(﹣∞,﹣2). 故選:C. 點評: 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法,考查了推理能力和計算能力,屬于難題. 二、填空題:本大題共5小題.每小題5分,共25分.把答案填在答題卡的相應位置. 11.如果實數(shù)x,y滿足條件,那么z=2x﹣y的最大值為 5?。? 考點: 簡單線性規(guī)劃. 專題: 數(shù)形結(jié)合;不等式的解法及應用. 分析: 由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合的到最優(yōu)解,求得最優(yōu)解的坐標,代入目標函數(shù)得答案. 解答: 解:由約束條件作出可行域如圖, 化z=2x﹣y為y=2x﹣z, 由圖可知,當直線y=2x﹣z過C(2,﹣1)時直線在y軸上的截距最小,z最大, 為z=22﹣(﹣1)=5. 故答案為:5. 點評: 本題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題. 12.在△ABC中,邊a,b,c與角A,B,C分別成等差數(shù)列,且△ABC的面積為,那么b= ?。? 考點: 等差數(shù)列的通項公式;三角形的面積公式. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由題意易得B=,ac=2,由余弦定理可得b2=(2b)2﹣2(2+),解關于b的方程可得. 解答: 解:∵在△ABC中,邊a,b,c與角A,B,C分別成等差數(shù)列, ∴2b=a+c,2B=A+C,又∵A+B+C=π,∴B=, ∴△ABC的面積S=acsinB=ac=,解得ac=2, 由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB, ∴b2=(a+c)2﹣2ac﹣ac, ∴b2=(2b)2﹣2(2+), 解得b=, 故答案為:. 點評: 本題考查等差數(shù)列,涉及三角形的面積公式和余弦定理,屬中檔題. 13.若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e2,則lna1+lna2+…+lna20= 20?。? 考點: 數(shù)列的求和. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 由等比數(shù)列的性質(zhì)得,a10a11=a9a12=e2,根據(jù)對數(shù)的運算律化簡式子,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求值. 解答: 解:因為a10a11+a9a12=2e2, 由等比數(shù)列的性質(zhì)得,a10a11=a9a12=e2, 所以lna1+lna2+…+lna20 =ln(a1a2+…+a20)=ln =10lne2=20, 故答案為:20. 點評: 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),對數(shù)的運算律的應用,難度不大. 14.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=2,則球O的表面積為 49π . 考點: 球的體積和表面積. 專題: 空間位置關系與距離. 分析: 由于直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC為直角三角形,我們可以把直三棱柱ABC﹣A1B1C1補成四棱柱,則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,求出外接球的直徑后,代入外接球的表面積公式,即可求出該三棱柱的外接球的表面積. 解答: 解:由題意,三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱ABC﹣A1B1C1,底面ABC為直角三角形,把直三棱柱ABC﹣A1B1C1補成四棱柱, 則四棱柱的體對角線是其外接球的直徑, 所以外接球半徑為=, 則三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的表面積是4πR2=4π=49π. 故答案為:49π. 點評: 本題考查球的體積和表面積,球的內(nèi)接體問題,關鍵是由組合體的位置關系得到球的半徑,考查學生空間想象能力,是基礎題. 15.如圖所示,函數(shù)y=f(x)的圖象由兩條射線和三條線段組成. 若對?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),其中a>0,0<φ<,則φ的最小值為 ?。? 考點: 函數(shù)恒成立問題. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應用. 分析: 由題意得到x>x﹣12asinφ,再由對?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ),可得x﹣(x﹣12asinφ)≥4a﹣(﹣2a)=6a,即sinφ,由此求得φ的最小值. 解答: 解:∵0<φ<, ∴sinφ∈(0,1), 又a>0,則﹣12asinφ∈(﹣12a,0), ∴x>x﹣12asinφ, ∵對?x∈R,都有f(x)≥f(x﹣12asinφ), ∴x﹣(x﹣12asinφ)≥4a﹣(﹣2a)=6a, 即sinφ, ∴φ. 故答案為:. 點評: 本題考查了函數(shù)恒成立問題,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,關鍵是對題意的理解,是中檔題. 三、解答題:本大題共6小題.共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 16.函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示,該圖象與y軸交于點F(0,1),與x軸交于B,C兩點,M為圖象的最高點,且△MBC的面積為. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)增區(qū)間; (Ⅱ)若f(a﹣)=,求cos2(a﹣)的值. 考點: 二倍角的余弦;正弦函數(shù)的單調(diào)性;由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式. 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì). 分析: (Ⅰ)由△MBC的面積為可得周期T=π,ω=2,由f(0)=2sinφ=1,可解得φ的值,從而解得f(x)=2sin(2x+).由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得k(k∈Z)即可確定單調(diào)增區(qū)間; (Ⅱ)由f(α﹣)=,可求得sin2α=,故可求得cos2(α﹣)的值. 解答: 解:(Ⅰ)∵S△ABC=; ∴周期T=π,又∵,∴ω=2 由f(0)=2sinφ=1,得sinφ=, ∵0<φ<,∴φ=. ∴f(x)=2sin(2x+). 由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得k(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的調(diào)增區(qū)間為[kπ﹣,kπ+](k∈Z); (Ⅱ)由f(α﹣)=2sin2α=,得sin2α=, cos2(α﹣)===. 點評: 本題主要考察了由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題. 17.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且2Sn+1=4an,數(shù)列{bn}滿足()=an2. (Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式; (Ⅱ)令cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 考點: 數(shù)列的求和;等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合. 專題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: (Ⅰ)根據(jù)當n=1時S1=a1,當n≥2時an=Sn﹣Sn﹣1,化簡得到an=2an﹣1,由等比數(shù)列的定義和通項公式求出 an,再利用指數(shù)的運算性質(zhì)求出bn; (Ⅱ)由(Ⅰ)和題意求出cn,利用錯位相減法求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 解答: 解:(Ⅰ)由題意得,2Sn+1=4an, 當n=1時,2S1+1=4a1,解得a1=, 當n≥2時,2Sn+1=4an, 2Sn﹣1+1=4an﹣1,兩式相減得, 2an=4an﹣4an﹣1,得an=2an﹣1,即, 所以數(shù)列{an}是以為首項、2為公比的等比數(shù)列, 則an==2n﹣2, 因為()=an2,所以, 則bn=﹣2n+4; (Ⅱ)由(Ⅰ)得,cn==, 所以Tn=+ ①, Tn=+ ②, ①﹣②得,Tn=4﹣2[]﹣ =4﹣2﹣ = ==, 所以Tn=. 點評: 本題考查數(shù)列an與Sn的關系式,等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式,以及錯位相減法求出數(shù)列的前n項和,考查指數(shù)的運算性質(zhì),化簡計算能力. 18.已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,向量=(1,),=(sinA,2+cosA),且∥,邊AC長為2. (Ⅰ)求角A; (Ⅱ)若=3,求邊AB的長. 考點: 正弦定理. 專題: 三角函數(shù)的求值;解三角形;平面向量及應用. 分析: (Ⅰ)首先根據(jù)向量的共線直接求出A的值. (Ⅱ)先根據(jù)關系式求出tanB的值,進一步求出B的正弦和余弦值,最后利用正弦定理求出結(jié)果. 解答: 解:(Ⅰ)已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,向量=(1,),=(sinA,2+cosA),且∥, 所以: 進一步求得: 所以: ∵0<A<π 求得:A= (Ⅱ)已知: 所以:4sinB=2cosB 解得:tanB= 進一步解得:sinB=,cosB= sinC=sin()= 利用正弦定理: 解得: 點評: 本題考查的知識要點:向量的坐標運算,向量共線的充要條件,三角函數(shù)關系式的恒等變換,正弦定理的應用,屬于基礎題型. 19.如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2,AC、BD交于O點,點G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (Ⅰ)證明:PO⊥平面ABCD; (Ⅱ)GH∥EF; (Ⅲ)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. 考點: 直線與平面垂直的判定;棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積;直線與平面平行的性質(zhì). 專題: 空間位置關系與距離. 分析: (Ⅰ)首先,AC、BD交于點O,結(jié)合△PAC和△PBD均為等腰三角形,從而得到結(jié)果; (Ⅱ)首先,可以結(jié)合條件,得到BC∥EF,然后,BC∥GH,即得證明; (Ⅲ)設BD與EF交于點K,連接GK,得到PO∥GK,K為靠近點BD的四等分點,然后,得證. 解答: 解:(Ⅰ)∵四邊形ABCD為正方形,且AC、BD交于點O, ∴O為AC、BD的中點,由已知得 PA=PC,PB=PD, △PAC和△PBD均為等腰三角形, ∴PO⊥AC,PO⊥BD, 又AC、BD?平面ABCD,且AC∩BD=O, ∴PO⊥平面ABCD, (Ⅱ)∵BC∥平面GEFH, BC?平面ABCD,平面GEFH∩平面ABCD=EF, ∴BC∥EF, 同理可得,BC∥GH, ∴GH∥EF, (Ⅲ)設BD與EF交于點K,連接GK, ∵PO⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, ∴PO∥平面GEFH,又平面GEFH∩平面PBD=GK,PO?平面PBD, ∴PO∥GK, ∴GK為四邊形GEFH底邊上的高, 又因為BE=2,AB=8,得點E是靠近B點的AB的四等分點, ∵KE∥AD, ∴K為靠近點BD的四等分點, ∴K為OB的中點,又PO∥GK, ∴G為PB的中點,又GH∥BC, ∴H為PC的中點,又BC=8, ∴GH=4,又由已知得PB=2,OB=4, ∴PO=, ∴GK=PO=3, 又由BC∥EF,BE∥GK,可得EF=8, ∴S=(GH+EF)?GK=?(4+8)?3=18, 點評: 本題重點考查了空間中直線與直線平行和垂直、直線與平面平行和垂直、平面和平面平行和垂直的性質(zhì)和判定等知識,屬于中檔題. 20.某工廠引入一條生產(chǎn)線,投人資金250萬元,每生產(chǎn)x千件,需另投入成本w(x),當年產(chǎn)量不足80干件時,w(x)=x2+10x(萬元),當年產(chǎn)量不小于80千件時,w(x)=51x+﹣1450(萬元),當每件商品售價為500元時,該廠產(chǎn)品全部售完. (Ⅰ)寫出年利潤L(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關系式; (Ⅱ)年產(chǎn)量為多少千件時該廠的利潤最大. 考點: 函數(shù)模型的選擇與應用. 專題: 計算題;應用題;函數(shù)的性質(zhì)及應用. 分析: (Ⅰ)由題意可得x千件銷售額0.051000x=50x萬元,從而寫出0<x<80和x≥80時的函數(shù)關系式,進而用分段函數(shù)表示出年利潤L(x)(萬元)與年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)關系式; (Ⅱ)由題意分別求0<x<80和x≥80時函數(shù)的最大值,從而確定年產(chǎn)量為多少千件時該廠的利潤最大. 解答: 解:(Ⅰ)當每件商品售價為0.05萬元時,x千件銷售額0.051000x=50x(萬元) 當0<x<80時,L(x)=50x﹣(x2+10x)﹣250=﹣x2+40x﹣250; 當x≥80時,L(x)=50x﹣(51x+﹣1450)﹣250=1200﹣(x+); 故L(x)=; (Ⅱ)當0<x<80時,L(x)=﹣x2+40x﹣250; 當x=60時,L(x)有最大值為950; 當x≥80時,L(x)=1200﹣(x+); 當且僅當x=,即x=100時, L(x)有最大值為1000; ∴年產(chǎn)量為100千件時該廠的利潤最大. 點評: 本題考查了學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力,同時考查了分段函數(shù)的應用,屬于中檔題. 21.已知函數(shù)f(x)=x﹣1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值; (Ⅲ)當a=1的值時,若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值. 考點: 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 專題: 導數(shù)的綜合應用. 分析: (Ⅰ)依題意,f′(1)=0,從而可求得a的值; (Ⅱ)f′(x)=1﹣,分①a≤0時②a>0討論,可知f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,從而可求其極值; (Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+,則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點?方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解,分k>1與k≤1討論即可得答案. 解答: 解:(Ⅰ)由f(x)=x﹣1+,得f′(x)=1﹣, 又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸, ∴f′(1)=0,即1﹣=0,解得a=e. (Ⅱ)f′(x)=1﹣, ①當a≤0時,f′(x)>0,f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù),所以f(x)無極值; ②當a>0時,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna, x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0; ∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增, 故f(x)在x=lna處取到極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值. 綜上,當當a≤0時,f(x)無極值;當a>0時,f(x)在x=lna處取到極小值lna,無極大值. (Ⅲ)當a=1時,f(x)=x﹣1+,令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+, 則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點, 等價于方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解. 假設k>1,此時g(0)=1>0,g()=﹣1+<0, 又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解, 與“方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾,故k≤1. 又k=1時,g(x)=>0,知方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解, 所以k的最大值為1. 點評: 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,突出分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用,屬于中檔題.- 配套講稿:
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