2019-2020年高考數(shù)學5月模擬試卷 理（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學5月模擬試卷 理（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素個數(shù)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 2．（5分）已知復數(shù)z滿足（4+3i）z=25（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（） A． ﹣3 B． 3 C． ﹣ D． 3．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=2x，則其離心率為（） A． 5 B． C． D． 4．（5分）已知向量，若與平行，則實數(shù)x的值是（） A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2 5．（5分）如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是（） A． i≤xx？ B． i≤xx？ C． i≤xx？ D． i≤xx？ 6．（5分）某班有34位同學，座位號記為01，02，…34，用如圖的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學的座號．選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第4個志愿者的座號是（） A． 23 B． 09 C． 02 D． 16 7．（5分）等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，若a2?a9=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 2+log35 8．（5分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真命題的序號是（） ①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，則l∥m； ③若l∥α，α∥β，則l∥β； ④若l⊥α，l∥m，α∥β，則m⊥β． A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ②③ 9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面積為c，則ab的最小值為（） A． 24 B． 12 C． 6 D． 4 10．（5分）若對任意的正實數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D． （﹣∞，2] 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上. 11．（4分）二項式的展開式中常數(shù)項為． 12．（4分）已知圓C：x2+y2﹣6y+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點在第二象限，則實數(shù)k=． 13．（4分）若不等式組表示的平面區(qū)域為M，不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域為N．現(xiàn)隨機向區(qū)域M內撒下一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為． 14．（4分）已知函數(shù)f（x）=，有下列四個結論： ①函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上是增函數(shù)： ②點（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心； ③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到； ④若x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域為[0，]． 則所有正確結論的序號是． 15．（4分）計算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法： 構造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對x求導，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 在上式中令x=1，得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1， 類比上述計算方法，計算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=． 三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答寫在答題卡相應位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 16．（13分）甲、乙、丙三人參加某次招聘會，若甲應聘成功的概率為，乙、丙應聘成功的概率均為（0＜t＜3），且三人是否應聘成功是相互獨立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都應聘成功的概率是，求t的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù)，求ξ的數(shù)學期望． 17．（13分）已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按從小到達的順序排成數(shù)列{an}（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求Sn的表達式． 18．（13分）如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點E，點G，H分別在線段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結BD、CD，AC、BE． （Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）當三棱錐B﹣GHE的體積最大時，求直線BG與平面BCD所成角的正弦值． 19．（13分）已知動圓Q過定點A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長為4． （Ⅰ）求動圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）已知點P（﹣2，1），動直線l和坐標軸不垂直，且與軌跡C相交于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一定點G，使直線l過點G，且使得直線PA，PG，PB的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請求出定點G的坐標；否則，請說明理由． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a∈R且a為常數(shù)）． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線過點（1，2），求實數(shù)a的值； （Ⅱ）若存在實數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅲ）判斷函數(shù)φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零點個數(shù)，并說明理由． 本題設有三個選答題，每小題7分，請考生任選2個小題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中． 21．（7分）已知線性變換T1是按逆時針方向旋轉90的旋轉變換，其對應的矩陣為M，線性變換T2：對應的矩陣為N． （Ⅰ）寫出矩陣M、N； （Ⅱ）若直線l在矩陣NM對應的變換作用下得到方程為y=x的直線，求直線l的方程． 22．（7分）已知曲線C的方程為=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標系，直線l的極坐標方程為． （Ⅰ）求直線l的直角坐標方程； （Ⅱ）已知M是曲線C上任意一點，求點M到直線l距離的最小值． 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣3． （Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求g（x）=3的最大值． 福建省龍巖市xx高考數(shù)學模擬試卷（理科）（5月份） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1．（5分）已知集合M={1，2}，N={2，3}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，P中元素個數(shù)為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點： 集合中元素個數(shù)的最值． 專題： 集合． 分析： 直接求出結合P，然后推出結果即可． 解答： 解：集合M={1，2}，N={2，3}， P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}={3，4，5}， P中元素個數(shù)為5． 故選：B． 點評： 本題考查結合的基本概念，基本知識的考查． 2．（5分）已知復數(shù)z滿足（4+3i）z=25（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（） A． ﹣3 B． 3 C． ﹣ D． 考點： 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 專題： 數(shù)系的擴充和復數(shù)． 分析： 直接利用復數(shù)的乘除運算法則化簡，求出復數(shù)的虛部即可． 解答： 解：復數(shù)z滿足（4+3i）z=25 則：z===4﹣3i． 復數(shù)的虛部為﹣3． 故選：A． 點評： 本題考查復數(shù)的基本運算，復數(shù)的基本概念． 3．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=2x，則其離心率為（） A． 5 B． C． D． 考點： 雙曲線的簡單性質． 專題： 圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： 根據(jù)雙曲線漸近線的方程，確定a，b的關系，進而利用離心率公式求解． 解答： 解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=x， ∴，即b=2a， ∴， ∴離心率e=． 故選：D． 點評： 本題主要考查雙曲線的性質，要求熟練掌握雙曲線的漸近線方程和離心率的公式． 4．（5分）已知向量，若與平行，則實數(shù)x的值是（） A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2 考點： 平面向量共線（平行）的坐標表示；平面向量的坐標運算． 專題： 計算題． 分析： 由題意分別可得向量與的坐標，由向量平行的充要條件可建立關于x的方程，解之即可． 解答： 解：由題意可得=（3，x+1），=（﹣1，1﹣x）， 因為與平行，所以3（1﹣x）﹣（x+1）（﹣1）=0， 解得x=2 故選D 點評： 本題為向量平行的問題，熟練應用向量平行的充要條件是解決問題的關鍵，屬基礎題． 5．（5分）如圖給出的是計算的值的程序框圖，其中判斷框內應填入的是（） A． i≤xx？ B． i≤xx？ C． i≤xx？ D． i≤xx？ 考點： 程序框圖． 專題： 圖表型；算法和程序框圖． 分析： 根據(jù)流程圖寫出每次循環(huán)i，S的值，和比較即可確定退出循環(huán)的條件，得到答案． 解答： 解：根據(jù)流程圖，可知 第1次循環(huán)：i=2，S=； 第2次循環(huán)：i=4，S=； … 第1008次循環(huán)：i=xx，S=； 此時，設置條件退出循環(huán)，輸出S的值． 故判斷框內可填入i≤xx． 故選：B． 點評： 本題主要考察循環(huán)結構的程序框圖和算法，屬于基礎題． 6．（5分）某班有34位同學，座位號記為01，02，…34，用如圖的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的五位同學的座號．選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第6列和第7列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第4個志愿者的座號是（） A． 23 B． 09 C． 02 D． 16 考點： 簡單隨機抽樣． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 根據(jù)隨機數(shù)表，依次進行選擇即可得到結論． 解答： 解：從隨機數(shù)表第1行的第6列和第7列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字中小于34的編號依次為21，32，09，16，其中第4個為16． 故選：D 點評： 本題主要考查簡單隨機抽樣的應用，正確理解隨機數(shù)法是解決本題的關鍵，比較基礎． 7．（5分）等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，若a2?a9=9，則log3a1+log3a2+…+log3a10=（） A． 12 B． 10 C． 8 D． 2+log35 考點： 等比數(shù)列的前n項和． 專題： 計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 利用等比數(shù)列和對數(shù)的性質，結合題設條件導出log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1?a2?a3…a10）=log3（a2?a9）5，由此能夠求出其結果． 解答： 解：∵等比數(shù)列{an}中，每項均是正數(shù)，且a2?a9=9， ∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1?a2?a3…a10） =log3（a2?a9）5 =log3310 =10． 故選：B． 點評： 本題考查等比數(shù)列的性質和應用，解題時要注意等比數(shù)列的通項公式和對數(shù)性質的合理運用． 8．（5分）已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題為真命題的序號是（） ①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，則l∥m； ③若l∥α，α∥β，則l∥β； ④若l⊥α，l∥m，α∥β，則m⊥β． A． ①④ B． ①③ C． ②④ D． ②③ 考點： 命題的真假判斷與應用． 專題： 空間位置關系與距離． 分析： ①由已知可得：α∥β或相交，即可判斷出正誤； ②利用線面平行的性質定理即可判斷出正誤； ③利用線面面面平行的性質定理即可判斷出正誤； ④利用面面線面的平行與垂直的性質定理即可判斷出． 解答： 解：①若l?α，m?α，l∥β，m∥β，則α∥β或相交，因此不正確； ②若l?α，l∥β，α∩β=m，∴m?β，l?β，m?α，m?α，∴l(xiāng)∥m，因此正確； ③若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β，因此不正確； ④若l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，又l∥m，∴m⊥β，則m⊥β，正確． 故選：C． 點評： 本題考查了線面面面平行與垂直的判定與性質定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于中檔題． 9．（5分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，且a2+b2﹣c2﹣ab=0，若△ABC的面積為c，則ab的最小值為（） A． 24 B． 12 C． 6 D． 4 考點： 余弦定理；正弦定理． 專題： 解三角形． 分析： 由題意和余弦定理可得C的值，進而由面積公式可得c和ab的關系，代入已知式子由基本不等式可得ab的不等式，解不等式可得． 解答： 解：∵a2+b2﹣c2﹣ab=0，∴a2+b2﹣c2=ab， ∴由余弦定理可得cosC==， ∵C∈（0，π），∴C=， ∵△ABC的面積為c，∴absinC=c， ∴ab?=c，∴c=ab， 代入已知式子可得a2+b2﹣（ab）2﹣ab=0， ∴（ab）2+ab=a2+b2≥2ab， 整理可得（ab）2﹣4ab≥0， 解關于ab的不等式可得ab≥4，或ab≤0（舍去） 當且僅當a=b=2時取到等號， ∴ab的最小值為4， 故選：D． 點評： 本題考查解三角形，涉及余弦定理和三角形的面積公式以及基本不等式和不等式的解法，屬中檔題． 10．（5分）若對任意的正實數(shù)t，函數(shù)f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（） A． B． C． D． （﹣∞，2] 考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性． 專題： 綜合題；導數(shù)的綜合應用． 分析： 利用f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)，可得f′（x）=3（x﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立，分離參數(shù)a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2，再求出右邊的最小值，即可得出結論． 解答： 解：∵f（x）=（x﹣t）3+（x﹣lnt）3﹣3ax在R上都是增函數(shù)， ∴f′（x）=3（x﹣t）2+3（x﹣lnt）2﹣3a≥0在R上恒成立， ∴a≤（x﹣t）2+（x﹣lnt）2， （x﹣t）2+（x﹣lnt）2=2（x﹣）2+≥， 令y=t﹣lnt，則y′=1﹣， ∴（0，1）上，y′＜0，（1，+∞）上，y′＞0， ∴t=1時，ymin=1， ∴的最小值為， ∴a≤， 故選：A． 點評： 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，正確分離參數(shù)求最值是關鍵． 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上. 11．（4分）二項式的展開式中常數(shù)項為7． 考點： 二項式定理． 專題： 計算題． 分析： 利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項． 解答： 解：展開式的通項是= 令解得r=6 故展開式的常數(shù)項為=7 故答案為7 點評： 本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具． 12．（4分）已知圓C：x2+y2﹣6y+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點在第二象限，則實數(shù)k=﹣2． 考點： 圓的切線方程． 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 求出圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條件：d=r，由點到直線的距離公式計算即可得到k，結合切點在第二象限，進而得到k的值． 解答： 解：圓C：x2+y2﹣6y+8=0的圓心為（0，3），半徑為r=1， 直線y=kx與圓C相切，即有 d==1， 解得k=2． 由于切點在第二象限，則k=﹣2． 故答案為：． 點評： 本題考查直線和圓的位置關系：相切，主要考查直線和圓相切的條件：d=r，注意點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題． 13．（4分）若不等式組表示的平面區(qū)域為M，不等式y(tǒng)≥x表示的平面區(qū)域為N．現(xiàn)隨機向區(qū)域M內撒下一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內的概率為． 考點： 幾何概型；簡單線性規(guī)劃． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： 畫出區(qū)域M，N表示的圖形，利用幾何概型公式，只要求出兩個區(qū)域的面積即可． 解答： 解：由題意，區(qū)域M，N表示的圖形如圖 其中區(qū)域M是COE，區(qū)域N表示是區(qū)域OCD，由幾何概型公式可得豆子落在區(qū)域N內的概率為： ==； 故答案為：． 點評： 本題考查幾何概型，將基本事件“幾何化”，實際問題轉化為數(shù)學問題，將隨機事件的概率抽象為幾何概型是研究的關鍵． 14．（4分）已知函數(shù)f（x）=，有下列四個結論： ①函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣，]上是增函數(shù)： ②點（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心； ③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到； ④若x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域為[0，]． 則所有正確結論的序號是①②． 考點： 正弦函數(shù)的圖象． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質． 分析： 畫出函數(shù)的圖象，①根據(jù)函數(shù)的單調性即可求出單調增區(qū)間； ②根據(jù)函數(shù)的對稱中心即可求出函數(shù)f（x）的對稱中心； ③根據(jù)函數(shù)圖象的平移即可得到結論； ④根據(jù)函數(shù)單調性和定義域即可求出值域，進而得到正確結論的個數(shù) 解答： 解：∵f（x）=，畫出函數(shù)的圖象如圖所示 ∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為{x|﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈z} 即{x|﹣π+kπ≤x≤+kπ，k∈z}， ∴區(qū)間[﹣，]是函數(shù)f（x）一個增函數(shù)：故①正確， ∴函數(shù)f（x）圖象的對稱中心為2x+=kπ，即x=kπ﹣， 當k=1時，x=， ∴點（，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個對稱中心，故②正確， 對于③函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移得到，故③錯誤； 對于④x∈[0，]，則函數(shù)f（x）的值域為[﹣1，]，故④錯誤． 故答案為：①② 點評： 本題考查了正弦函數(shù)的單調性及對稱性，同時要求學生掌握三角函數(shù)的有關性質（單調性，周期性，奇偶性，對稱性等）． 15．（4分）計算Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1，可以采用以下方法： 構造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對x求導，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 在上式中令x=1，得Cn1+2?Cn22+…+n?Cnn2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n?3n﹣1， 類比上述計算方法，計算Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n（2n+1）3n﹣2． 考點： 類比推理． 專題： 綜合題；推理和證明． 分析： 構造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n，兩邊對x求導，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1，兩邊同乘以x，得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx（1+2x）n﹣1，再兩邊對x求導，x=1，得結論． 解答： 解：構造恒等式Cn0+Cn12x+Cn222x2+…+Cnn2nxn=（1+2x）n， 兩邊對x求導，得Cn12+2?Cn222x+…+n?Cnn2nxn﹣1=2n（1+2x）n﹣1， 兩邊同乘以x，得Cn12x+2?Cn222x2+…+n?Cnn2nxn=2nx（1+2x）n﹣1， 再兩邊對x求導，得Cn12+22?Cn222x+…+n2?Cnn2nxn﹣1=2n（2n+1）（1+2x）n﹣2， 在上式中令x=1，得Cn12+22Cn222+32Cn323+…+n2Cnn2n=2n（2n+1）3n﹣2． 故答案為：2n（2n+1）3n﹣2 點評： 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）． 三、解答題：本大題共5小題，共80分．解答寫在答題卡相應位置，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 16．（13分）甲、乙、丙三人參加某次招聘會，若甲應聘成功的概率為，乙、丙應聘成功的概率均為（0＜t＜3），且三人是否應聘成功是相互獨立的． （Ⅰ）若甲、乙、丙都應聘成功的概率是，求t的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設ξ表示甲、乙兩人中被聘用的人數(shù)，求ξ的數(shù)學期望． 考點： 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列． 專題： 概率與統(tǒng)計． 分析： （I）利用相互獨立事件概率計算公式可得：，解出即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙應聘成功的概率均為．ξ可取0，1，2．利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式、數(shù)學期望計算公式即可得出． 解答： 解：（Ⅰ）依題意， ∴t=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得乙應聘成功的概率均為． ξ可取0，1，2． ， ，， ∴． 點評： 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式、隨機變量的數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 17．（13分）已知函數(shù)f（x）=，方程f（x）=在（0，+∞）上的解按從小到達的順序排成數(shù)列{an}（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，求Sn的表達式． 考點： 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）方程f（x）=化為，可得=0，x∈（0，+∞），于是2x﹣=kπ，解得即可得出； （2）bn=，利用“裂項求和”即可得出． 解答： 解：（1）方程f（x）=化為，∴=0，x∈（0，+∞）， ∴2x﹣=kπ，解得x=，k∈Z． ∴an=．（n∈N*）． （2）bn===， ∴Sn=π = =． 點評： 本題考查了兩角和差公式、數(shù)列“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 18．（13分）如圖1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于點E，點G，H分別在線段DA，DE上，且GH∥AE．將圖1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如圖2所示），連結BD、CD，AC、BE． （Ⅰ）求證：平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）當三棱錐B﹣GHE的體積最大時，求直線BG與平面BCD所成角的正弦值． 考點： 直線與平面所成的角；棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定． 專題： 空間位置關系與距離；空間角；空間向量及應用． 分析： （Ⅰ）根據(jù)折疊前后的邊角關系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE為正方形，從而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根據(jù)面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）根據(jù)已知條件知道三直線EA，EC，ED兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出一些點的坐標，設EH=x，從而表示出HG=2﹣x，三棱錐B﹣GHE的高為AB=2，從而可表示出三棱錐B﹣GHE的體積V=，從而看出x=1時V最大，這時G為AD中點．從而可求G點坐標，求出向量坐標，可設平面BCD的法向量為={x，y，z}，根據(jù)即可求出，設直線BG與平面BCD所成角為θ，而根據(jù)sinθ=求出sinθ． 解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AB∥CD，∠ABC=90，CD=2AB=4； 又AE∥BC交CD于點E； ∴四邊形ABCE是邊長為2的正方形； ∴AC⊥BE，DE⊥AE； 又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE； ∴DE⊥平面ABCE； ∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE； 又DE∩BE=E； ∴AC⊥平面DBE； ∵AC?平面DAC； ∴平面DAC⊥平面DEB； （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC； 以E為原點，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，則： A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）； 設EH=x，則GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）； ∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE； ∴=； ∵0＜x＜2，∴x=1時，三棱錐B﹣GHE體積最大，此時，H為ED中點； ∵GH∥AE，∴G也是AD的中點，∴G（1，0，1），； 設是面BCD的法向量； 則 令y=1，得； 設BG與面BCD所成角為θ； 則=； ∴BG與平面BCD所成角的正弦值為． 點評： 考查對折疊前后圖形的觀察能力，面面垂直的性質定理，線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，以及建立空間直角坐標系，利用空間向量解決線面角問題的方法，棱錐的體積公式，兩非零向量垂直的充要條件，平面法向量的概念及求法，直線和平面所成角的概念，直線和平面所成角與直線和平面法向量夾角的關系，向量夾角余弦的坐標公式． 19．（13分）已知動圓Q過定點A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長為4． （Ⅰ）求動圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）已知點P（﹣2，1），動直線l和坐標軸不垂直，且與軌跡C相交于A，B兩點，試問：在x軸上是否存在一定點G，使直線l過點G，且使得直線PA，PG，PB的斜率依次成等差數(shù)列？若存在，請求出定點G的坐標；否則，請說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： （Ⅰ）根據(jù)動圓Q過定點A（2，0）且與y軸截得的弦MN的長為4，建立方程，即可求動圓圓心Q的軌跡C的方程； （Ⅱ）設直線的方程為x=ny+m，代入y2=4x，利用韋達定理，結合kPA+kPB=2kPG，即可得出結論． 解答： 解：（Ⅰ）設Q（x，y），根據(jù)題意得，…（2分） 整理得y2=4x，所以動圓圓心Q的軌跡C的方程是y2=4x．…（4分） （Ⅱ）設存在符合題意的定點G． 設直線的方程為x=ny+m（n≠0且n∈R），則G（m，0）．…（5分） 將x=m+ny代入y2=4x，整理得y2﹣4ny﹣4m=0． 由題意得△=16n2+16m＞0，即n2+m＞0． 設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=4n，y1y2=﹣4m， ，，， 由題意得kPA+kPB=2kPG，即kPA+kPB﹣2kPG=0， 所以，…（7分） 即…（9分） 把y1+y2=4n，y1y2=﹣4m代入上式， 整理得（m﹣2）n=（m+2）（2﹣m），…（11分） 又因為n∈R，所以，解得m=2． 所以存在符合題意的定點G，且點G的坐標為（2，0）．…（13分） 點評： 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex（sinx+cosx）+a，g（x）=（a2﹣a+10）ex（a∈R且a為常數(shù)）． （Ⅰ）若曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線過點（1，2），求實數(shù)a的值； （Ⅱ）若存在實數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，求實數(shù)a的取值范圍； （Ⅲ）判斷函數(shù)φ（x）=+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零點個數(shù)，并說明理由． 考點： 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)零點的判定定理；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性． 專題： 導數(shù)的綜合應用． 分析： （Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f（0）=列式求得a的值； （Ⅱ）把存在實數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立，轉化為，然后利用導數(shù)分別求出g（x）min和f（x）max，代入 ，求解關于a的不等式得答案； （Ⅲ）由φ（x）=0，得，轉化為，分別構造函數(shù)h（x）=1﹣x﹣xlnx，，利用導數(shù)分別求得h（x）的最大值和t（x）的最小值，由t（x）＞h（x）max，判斷函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上沒有零點． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=ex（sinx+cosx）+a，得 f（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx， 又曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線過點（1，2），得f（0）=， 即2=1﹣a，解得a=﹣1； （Ⅱ）存在實數(shù)x1，x2∈[0，π]，使得g（x2）＜f（x1）+13﹣e成立， 即， 由（Ⅰ）知f（x）=2excosx=0在x∈[0，π]上的解為， 函數(shù)f（x）在上遞增，在上遞減，∴， 又a2﹣a+10＞0恒成立，g（x）=（a2﹣a+10）ex在[0，π]上遞增，， 故，得a2﹣2a﹣3＜0， 實a的取值范圍是（﹣1，3）； （Ⅲ）由（x＞0），得 ，化為， 令h（x）=1﹣x﹣xlnx，則h（x）=﹣2﹣lnx， 由h（x）=﹣2﹣lnx=0，得x=e﹣2， 故h（x）在上遞增，在上遞減，． 再令， ∵b＞1，∴函數(shù)在（0，+∞）上遞增，． 知t（x）＞h（x）max，由此判斷函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上沒有零點， 故φ（x）零點個數(shù)為0． 點評： 本題主要考查基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、存在量詞等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力以及應用意識，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想等，是壓軸題． 本題設有三個選答題，每小題7分，請考生任選2個小題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中． 21．（7分）已知線性變換T1是按逆時針方向旋轉90的旋轉變換，其對應的矩陣為M，線性變換T2：對應的矩陣為N． （Ⅰ）寫出矩陣M、N； （Ⅱ）若直線l在矩陣NM對應的變換作用下得到方程為y=x的直線，求直線l的方程． 考點： 幾種特殊的矩陣變換． 專題： 矩陣和變換． 分析： （Ⅰ）通過變換的特征即得結論； （Ⅱ）由（I）得，通過題意可得，利用x′=y′計算即可． 解答： 解：（Ⅰ）通過題意，易得M=，N=； （Ⅱ）由（I）得， 由=， 得， 由題意得x′=y′得3x=﹣2y， ∴直線l的方程為3x+2y=0． 點評： 本題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力及化歸與轉化思想，屬于基礎題． 22．（7分）已知曲線C的方程為=1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐 標系，直線l的極坐標方程為． （Ⅰ）求直線l的直角坐標方程； （Ⅱ）已知M是曲線C上任意一點，求點M到直線l距離的最小值． 考點： 簡單曲線的極坐標方程． 專題： 計算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質與方程． 分析： （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得直線l的直角坐標方程； （Ⅱ）設，M到l的距離為d，運用點到直線的距離公式，結合兩角差的余弦公式，以及余弦函數(shù)的值域，即可得到最小值． 解答： 解：（Ⅰ）由，x=ρcosθ，y=ρsinθ， 得x+y﹣4=0， ∴直線l的直角坐標方程為x+y﹣4=0． （Ⅱ）設，M到l的距離為d， 則d===， 其中， 當cos（θ﹣φ）=1時，d有最小值， ∴M到直線l的距離的最小值為． 點評： 本題考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查點到直線的距離公式的運用，同時考查余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題． 23．已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣3． （Ⅰ）若f（x）＜0，求x的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求g（x）=3的最大值． 考點： 分段函數(shù)的應用；函數(shù)的最值及其幾何意義；二維形式的柯西不等式． 專題： 函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用． 分析： （Ⅰ）運用絕對值不等式的解集，即可得到所求范圍； （Ⅱ）由柯西不等式，即可得到最大值，注意等號成立的條件． 解答： 解：（Ⅰ）由f（x）＜0?|x﹣2|＜3?﹣3＜x﹣2＜3?﹣1＜x＜5， 所以x的取值范圍是（﹣1，5）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 由柯西不等式可得， （32+42）[（）2+（）2]≥（3+4）2， 所以g（x）≤=5． 當且僅當即時， g（x）取最大值5． 點評： 本題考查絕對值函數(shù)的性質和運用，主要考查絕對值不等式的解法和柯西不等式的運用：求最值，注意等號成立的條件，屬于中檔題．