2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 2第1課時(shí) 實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 2第1課時(shí) 實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)的意義課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W是時(shí)間t的函數(shù)W＝W(t)，則W′(t0)表示( ) A．t＝t0時(shí)做的功 B．t＝t0時(shí)的速度 C．t＝t0時(shí)的位移 D．t＝t0時(shí)的功率 [答案] D [解析] W′(t)表示t時(shí)刻的功率． 2．一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝1－t＋t2，(s的單位是s，t的單位是s)，那么物體在3 s末的瞬時(shí)速度是( ) A．7米/秒 B．6米/秒 C．5米/秒 D．8米/秒 [答案] C [解析] s′(t)＝2t－1， ∴s′(3)＝23－1＝5. 3．如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] 瞬時(shí)速度v＝ ＝ ＝3(6＋Δt)＝18. 4．如圖，設(shè)有定圓C和定點(diǎn)O，當(dāng)l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角度不超過90)時(shí)，它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，它的圖像大致是( ) [答案] D [解析] 由于是勻速旋轉(zhuǎn)，所以陰影部分的面積在開始和最后時(shí)段緩慢增加，而中間時(shí)段相對(duì)增速較快． 選項(xiàng)A表示面積的增速是常數(shù)，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)B表示最后時(shí)段面積的增速較快，也與實(shí)際不符； 選項(xiàng)C表示開始時(shí)段和最后時(shí)段面積的增速比中間時(shí)段快，與實(shí)際不符； 選項(xiàng)D表示開始和最后時(shí)段面積的增速緩慢，中間時(shí)段增速較快．符合實(shí)際． [點(diǎn)評(píng)] 函數(shù)變化的快慢可通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)體現(xiàn)出來，導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值越大，函數(shù)變化越快，函數(shù)圖像就比較“陡峭”，反之，函數(shù)圖像就“平緩”一些． 5．設(shè)一輛轎車在公路上做加速直線運(yùn)動(dòng)，假設(shè)速度v(單位：m/s)與時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為v＝v(t)＝t3＋3t，則t＝t0s時(shí)轎車的加速度為( )m/s2 A．t＋3t0 B．3t＋3 C．3t＋3t0 D．t＋3 [答案] B [解析] ∵v′(t)＝3t2＋3， 則當(dāng)t＝t0s時(shí)的速度變化率為v′(t0)＝3t＋3(m/s2)． 即t＝t0s時(shí)轎車的加速度為(3t＋3)m/s2. [點(diǎn)評(píng)] 運(yùn)動(dòng)方程s＝s(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，速度方程v＝v(t)的導(dǎo)數(shù)表示的是t時(shí)刻時(shí)的加速度． 二、填空題 6．人體血液中藥物的質(zhì)量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________． [答案] 服藥后2分鐘時(shí)血液中藥物的質(zhì)量濃度以每分鐘0.3mg/mL的速度增加． 7．假設(shè)某國家在20年間的平均通貨膨脹率為5%，物價(jià)p(單位：元)與時(shí)間t(單位：年)有如下函數(shù)關(guān)系：p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0為t＝0時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的p0＝1，那么在第10個(gè)年頭，這種商品價(jià)格上漲的速度大約是________元/年(精確到0.01)． [答案] 0.08 [解析] 因?yàn)閜0＝1，所以p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t，在第10個(gè)年頭，這種商品價(jià)格上漲的速度，即為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在t＝10時(shí)的函數(shù)值． 因?yàn)閜′(t)＝(1.05t)′＝1.05tln1.05， 所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)． 因此，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約以0.08元/年的速度上漲． 8.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為________． [答案] [解析] 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，側(cè)棱長(zhǎng)為l，則V＝x2sin60l， ∴l(xiāng)＝.∴S表＝2S底＋3S側(cè)＝x2sin60＋3xl＝x2＋. 令S表′＝x－＝0 ∴x3＝4V，即x＝，又當(dāng)x∈(0，)時(shí)，S表′<0；當(dāng)x∈(，V)時(shí)，S表′>0 ∴當(dāng)x＝時(shí)，表面積最?。? 三、解答題 9．甲、乙二人跑步的路程與時(shí)間的關(guān)系及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖①②，試問： (1)甲、乙二人哪一個(gè)跑得快？ (2)甲、乙二人百米賽跑，問快到終點(diǎn)時(shí)誰跑得較快？ [分析] 用路程與時(shí)間的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義來比較甲、乙二人誰跑得快． [解析] 從圖①可以看出在相同的時(shí)刻t，乙跑的路程要比甲跑的路程遠(yuǎn)，所以乙跑得快． 從圖②可以看出甲是勻速跑的，而乙快到終點(diǎn)時(shí)，變化率越來越大，即速度越來越快，所以快到終點(diǎn)時(shí)乙跑得較快． 10．某機(jī)械廠生產(chǎn)某種機(jī)器配件的最大生產(chǎn)能力為每日100件，假設(shè)日產(chǎn)品的總成本C(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系式為C(x)＝x2＋60x＋2 050.求： (1)日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本； (2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件，總成本的平均改變量； (3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本． [解析] (1)當(dāng)x＝75時(shí)，C(75)＝752＋6075＋2 050＝7 956.25(元)，∴≈106.08(元/件)． 故日產(chǎn)量75件時(shí)的總成本和平均成本分別為7 956.25元，106.08元/件． (2)當(dāng)日產(chǎn)量由75件提高到90件時(shí)，總成本的平均改變量＝＝101.25(元/件)． (3)當(dāng)日產(chǎn)量為75件時(shí)的邊際成本 ∴C′(x)＝x＋60， ∴C′(75)＝97.5(元). 一、選擇題 1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度v(單位：m/s)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，且v＝v(t)，則v′(1)表示( ) A．t＝1s時(shí)的速度 B．t＝1s時(shí)的加速度 C．t＝1s時(shí)的位移 D．t＝1s時(shí)的平均速度 [答案] B [解析] v(t)的導(dǎo)數(shù)v′(t)表示t時(shí)刻的加速度． 2．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2(t表示時(shí)間)，則t＝2時(shí)，汽車的加速度是( ) A．14 B．4 C．10 D．6 [答案] A [解析] 速度v(t)＝s′(t)＝6t2－10t. 所以加速度a(t)＝v′(t)＝12t－10，當(dāng)t＝2時(shí)，a(t)＝14，即t＝2時(shí)汽車的加速度為14. 3．下列四個(gè)命題： ①曲線y＝x3在原點(diǎn)處沒有切線； ②若函數(shù)f(x)＝，則f′(0)＝0； ③加速度是動(dòng)點(diǎn)位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)； ④函數(shù)y＝x5的導(dǎo)函數(shù)的值恒非負(fù)． 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] A [解析] ①中y′＝3x2，x＝0時(shí)，y′＝0，∴y＝x3在原點(diǎn)處的切線為y＝0； ②中f(x)在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在； ③中s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為瞬時(shí)速度； ④中y′＝5x4≥0. 所以命題①②③為假命題，④為真命題． 4．設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)R(t)．若球的體積以均勻速度C增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑( ) A．成正比，比例系數(shù)為C B．成正比，比例系數(shù)為2C C．成反比，比例系數(shù)為C D．成反比，比例系數(shù)為2C [答案] D [解析] 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用． 根據(jù)題意，V＝πR3(t)，S＝4πR2(t)， 球的體積增長(zhǎng)速度為V′＝4πR2(t)R′(t) 球的表面積增長(zhǎng)速度S′＝24πR(t)R′(t)， 又∵球的體積以均勻速度C增長(zhǎng)， ∴球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑成反比，比例系數(shù)為2C． 二、填空題 5．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t s后的位移為s＝3t2＋t，則速度v＝10時(shí)的時(shí)刻t＝________. [答案] [解析] s′＝6t＋1，則v(t)＝6t＋1，設(shè)6t＋1＝10， 則t＝. 三、解答題 6．一杯80℃的熱紅茶置于20℃的房間里，它的溫度會(huì)逐漸下降．溫度T(單位：℃)與時(shí)間t(單位：min)間的關(guān)系，由函數(shù)T＝f(t)給出．請(qǐng)問： (1)f′(t)的符號(hào)是什么？為什么？ (2)f′(3)＝－4的實(shí)際意義是什么？如果f(3)＝65℃，你能畫出函數(shù)在點(diǎn)t＝3min時(shí)圖像的大致形狀嗎？ [解析] (1)f′(t)是負(fù)數(shù)．因?yàn)閒′(t)表示溫度隨時(shí)間的變化率，而溫度是逐漸下降的，所以f′(t)為負(fù)數(shù)． (2)f′(3)＝－4表明在3min附近時(shí)，溫度約以4℃/min的速度下降，如圖所示． 7．當(dāng)銷售量為x，總利潤(rùn)為L(zhǎng)＝L(x)時(shí)，稱L′(x)為銷售量為x時(shí)的邊際利潤(rùn)，它近似等于銷售量為x時(shí)，再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品所增加或減少的利潤(rùn)． 某糕點(diǎn)加工廠生產(chǎn)A類糕點(diǎn)的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別是C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2. 求邊際利潤(rùn)函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是200 kg,250 kg和300 kg時(shí)的邊際利潤(rùn)． [解析] (1)總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，邊際利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)′(x)＝5－0.02 x. (2)當(dāng)日產(chǎn)量分別是200 kg、250 kg和300 kg時(shí)的邊際利潤(rùn)分別是L′(200)＝1(元)， L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)． 8.現(xiàn)有一批貨物由海上從A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35nmile/h，A地至B地之間的航行距離約為500nmile，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元． (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(nmile/h)的函數(shù)：y＝f(x)； (2)求x從10變到20的平均運(yùn)輸成本； (3)求f′(10)并解釋它的實(shí)際意義． [解析] (1)依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函數(shù)的定義域?yàn)?下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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