2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理 1.曲線的極坐標(biāo)方程. (1)極坐標(biāo)系:一般地,在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,自點(diǎn)O引一條射線Ox,同時(shí)確定一個(gè)長度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.其中,點(diǎn)O稱為極點(diǎn),射線Ox稱為極軸. (2)極坐標(biāo)(ρ,θ)的含義:設(shè)M是平面上任一點(diǎn),ρ表示OM的長度,θ表示以射線Ox為始邊,射線OM為終邊所成的角.那么,有序數(shù)對(ρ,θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).顯然,每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ),決定一個(gè)點(diǎn)的位置.其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑,θ稱為點(diǎn)M的極角. 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大區(qū)別在于:在直角坐標(biāo)系中,平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對之間的對應(yīng)關(guān)系是一一對應(yīng)的,而在極坐標(biāo)系中,對于給定的有序數(shù)對(ρ,θ),可以確定平面上的一點(diǎn),但是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是唯一的. (3)曲線的極坐標(biāo)方程:一般地,在極坐標(biāo)系中,如果平面曲線C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程f(ρ,θ)=0,并且坐標(biāo)適合方程f(ρ,θ)=0的點(diǎn)都在曲線C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程. 2.直線的極坐標(biāo)方程. (1)過極點(diǎn)且與極軸成φ0角的直線方程是θ=φ0和θ=π-φ0,如下圖所示. (2)與極軸垂直且與極軸交于點(diǎn)(a,0)的直線的極坐標(biāo)方程是ρcos θ=a,如下圖所示. (3)與極軸平行且在x軸的上方,與x軸的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程為ρsin θ=a,如下圖所示. 3.圓的極坐標(biāo)方程. (1)以極點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓的方程為ρ=r,如圖1所示. (2)圓心在極軸上且過極點(diǎn),半徑為r的圓的方程為ρ=2rcos_θ,如圖2所示. (3)圓心在過極點(diǎn)且與極軸成的射線上,過極點(diǎn)且半徑為r的圓的方程為ρ2rsin_θ,如圖3所示. 4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化. 若極點(diǎn)在原點(diǎn)且極軸為x軸的正半軸,則平面內(nèi)任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)M(ρ,θ)化為平面直角坐標(biāo)M(x,y)的公式如下: 或者ρ=,tan θ=, 其中要結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定角θ的值. 1.曲線的參數(shù)方程的定義. 在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù),即并且對于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x,y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù). 2.常見曲線的參數(shù)方程. (1)過定點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為α的直線: (t為參數(shù)), 其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0,y0)為起點(diǎn),點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量,又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離. 根據(jù)t的幾何意義,有以下結(jié)論: ①設(shè)A,B是直線上任意兩點(diǎn),它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,則|AB|=|tB-tA|=; ②線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于. (2)中心在P(x0,y0),半徑等于r的圓: (θ為參數(shù)) (3)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的橢圓: (θ為參數(shù)). 中心在點(diǎn)P(x0,y0),焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù)). (4)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的雙曲線: (θ為參數(shù)). (5)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線: (t為參數(shù),p>0). 注:sec θ=. 3.參數(shù)方程化為普通方程. 由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù),消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法,消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對x,y的限制. 1.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是(2,-2). 2.把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(,-)化為極坐標(biāo),結(jié)果為. 3.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4. 4.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(θ為參數(shù))的右頂點(diǎn),則常數(shù)a的值為3. 解析:由直線l:得y=x-a.由橢圓C:得==1.所以橢圓C的右頂點(diǎn)為(3,0).因?yàn)橹本€l過橢圓的右頂點(diǎn),所以0=3-a,即a=3. 一、選擇題 1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-).若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是(C) A. B. C. D. 2.若圓的方程為(θ為參數(shù)),直線的方程為(t為參數(shù)),則直線與圓的位置關(guān)系是(B) A.相離 B.相交 C.相切 D.不能確定 3.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長為(D) A. B.2 C. D.2 解析:由題意可得直線和圓的方程分別為x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圓心C(2,0),半徑r=2,圓心(2,0)到直線l的距離d=,由半徑,圓心距,半弦長構(gòu)成直角三角形,解得弦長為2. 4.已知動直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,則直線l與圓O:(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是(A) A.相交 B.相切 C.相離 D.過圓心 解析:動直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圓心(2,1)在直線l上,又圓O:的普通方程為x2+y2=9且22+12<9,故點(diǎn)(2,1)在圓O內(nèi),則直線l與圓O的位置關(guān)系是相交. 二、填空題 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程是(θ是參數(shù)),若以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為ρ2+4ρsin_θ+3=0. 解析:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,(θ是參數(shù)),∴根據(jù)sin2θ+cos2θ=1,可得x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0.∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρsin θ+3=0. 6.在平面直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心的極坐標(biāo)為. 三、解答題 7.求極點(diǎn)到直線ρ=(ρ∈R)的距離. 解析:由ρ=?ρsin θ+ρcos θ=1?x+y=1, 故d==. 8.極坐標(biāo)系中,A為曲線ρ2+2ρcos θ-3=0上的動點(diǎn),B為直線ρcos θ+ρsin θ-7=0上的動點(diǎn),求|AB|的最小值. 9.(xx大連模擬)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)伸長為原來的倍,得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(cos θ-2sin θ)=6. (1)求曲線C2和直線l的普通方程; (2)P為曲線C2上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最值. 解析:(1)由題意可得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),即C2:+=1, 直線l:ρ(cos θ-2sin θ)=6化為直角坐標(biāo)方程為x-2y-6=0. (2)設(shè)點(diǎn)P(2cos θ,sin θ),由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線l的距離為 d= = = =. 所以≤d≤2,故點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2,最小值為. 10.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA||PB|的值. 解析:(1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù)),得普通方程為(x-1)2+(y-2)2=16,即x2+y2-2x-4y=11=0. 直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為,直線的參數(shù)方程為(t是參數(shù)). (2)將直線的參數(shù)方程代入x2+y2-2x-4y-11=0,整理,得t2+(2+3)t-3=0,設(shè)方程的兩根分別為t1,t2,則t1t2=-3, 因?yàn)橹本€l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),所以|PA||PB|=|t1t2|=3.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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