2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊五 排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊五 排列組合問(wèn)題的常見(jiàn)模型1 知識(shí)內(nèi)容 1．基本計(jì)數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計(jì)數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成個(gè)子步驟，做第一個(gè)步驟有種不同的方法，做第二個(gè)步驟有種不同方法，……，做第個(gè)步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用 如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理． 分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法，這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素） 排列數(shù)：從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示． 排列數(shù)公式：，，并且． 全排列：一般地，個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列． 的階乘：正整數(shù)由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合． 組合數(shù)：從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中，任意取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示． 組合數(shù)公式：，，并且． 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問(wèn)題 解排列組合問(wèn)題，首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時(shí)要掌握一些常見(jiàn)類型的排列組合問(wèn)題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，常需要分類討論或分步計(jì)算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素，與其它元素進(jìn)行排列，然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個(gè)相同元素，分成組，每組至少一個(gè)的分組問(wèn)題——把個(gè)元素排成一排，從個(gè)空中選個(gè)空，各插一個(gè)隔板，有． 7．分組、分配法：分組問(wèn)題（分成幾堆，無(wú)序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個(gè)數(shù)相等，必須除以！ 8．錯(cuò)位法：編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，特別當(dāng)，3，4，5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1，2，9，44．關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算，可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問(wèn)題． 1．排列與組合應(yīng)用題，主要考查有附加條件的應(yīng)用問(wèn)題，解決此類問(wèn)題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)． 求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問(wèn)題；再通過(guò)分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；然后分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；最后列出式子計(jì)算作答． 2．具體的解題策略有： ①對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排； ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類，分類后要驗(yàn)證是否不重不漏； ③對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問(wèn)題一般是先選后排，以防出現(xiàn)重復(fù)； ④對(duì)于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對(duì)于元素間隔排列的問(wèn)題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問(wèn)題用除法處理；分幾排的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為直排問(wèn)題處理； ⑥對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問(wèn)題，可以考慮反面． ⑦對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問(wèn)題，需要構(gòu)造模型． 典例分析 排隊(duì)問(wèn)題 【例1】 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 ⑴ 如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？ ⑵ 如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？ ⑶ 如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？ 【例2】 個(gè)人站成一排： ⑴其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法？ ⑵其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法？ ⑶其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法？ ⑷其中甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？ 【例3】 7名同學(xué)排隊(duì)照相． ⑴ 若分成兩排照，前排3人，后排4人，有多少種不同的排法？ ⑵ 若排成兩排照，前排3人，后排4人，但其中甲必須在前排，乙必須在后排，有多少種不同的排法？ ⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必須相鄰，有多少種不同的排法？ ⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相鄰，有多少種不同的排法？ 【例4】 個(gè)隊(duì)員排成一排， ⑴共有多少種不同的排法？ ⑵若甲必須站在排頭，有多少種不同的排法？ ⑶若甲不能站排頭，也不能站排尾，問(wèn)有多少種不同的排法？ 【例5】 五個(gè)字母排成一排，若的位置關(guān)系必須按A在前、B居中、C在后的原則，共有_______種排法（用數(shù)字作答）． 【例6】 用1到8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，3與4相鄰， 5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有_ __個(gè)（用數(shù)字作答）． 【例7】 記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　 ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例8】 名同學(xué)合影，站成前排人后排人，現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例9】 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（ ） A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種 【例10】 在數(shù)字與符號(hào)五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例11】 計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩、4幅油畫(huà)、5幅國(guó)畫(huà)，排成一列陳列，要求同一品種的畫(huà)必須連在一起，并且水彩畫(huà)不放在兩端，那么不同的陳列方式有_____種． 【例12】 6人站一排，甲不站在排頭，乙不站在排尾，共有_________種不同的排法（用數(shù)字作答）． 【例13】 一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位，4人坐，要求3個(gè)空位中，有2個(gè)空位相鄰，另一個(gè)空位與2個(gè)相鄰位不相鄰，共有幾種坐法？ 【例14】 位男生和位女生共位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例15】 古代“五行”學(xué)說(shuō)認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有 種（結(jié)果用數(shù)值表示）． 【例16】 在的任一排列中，使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方式共有（ ）種． A． B． C． D． 【例17】 從集合與中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）．每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_________．（用數(shù)字作答） 【例18】 從集合與中各任取個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）．每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_________．（用數(shù)字作答） 【例19】 個(gè)人坐在一排個(gè)座位上，問(wèn) ⑴ 空位不相鄰的坐法有多少種? ⑵ 個(gè)空位只有個(gè)相鄰的坐法有多少種? ⑶ 個(gè)空位至多有個(gè)相鄰的坐法有多少種? 【例20】 位男生和位女生共位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【例21】 12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整的方法的總數(shù)有（ ） A． B． C． D． 【例22】 兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷本，共本．將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?，左邊本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是_______． 【例23】 年月中旬，我國(guó)南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見(jiàn)的雪災(zāi)，電煤庫(kù)存吃緊．為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi)，國(guó)家統(tǒng)一部署，加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運(yùn)電煤．某鐵路貨運(yùn)站對(duì)列電煤貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這列列車編成兩組，每組列，且甲與乙兩列列車不在同一小組．如果甲所在小組列列車先開(kāi)出，那么這列列車先后不同的發(fā)車順序共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 數(shù)字問(wèn)題 【例24】 給定數(shù)字、、、、、，每個(gè)數(shù)字最多用一次， ⑴可能組成多少個(gè)四位數(shù)？⑵可能組成多少個(gè)四位奇數(shù)？ ⑶可能組成多少個(gè)四位偶數(shù)？⑷可能組成多少個(gè)自然數(shù)？ 【例25】 用0到9這10個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 【例26】 在1，3，5，7，9中任取3個(gè)數(shù)字，在0，2，4，6，8中任取兩個(gè)數(shù)字，可組成多少個(gè)不同的五位偶數(shù)． 【例27】 用排成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，滿足的五位數(shù)有多少個(gè)？ 【例28】 用這十個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的絕對(duì)值是，則這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)？ 【例29】 用數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______個(gè)（用數(shù)學(xué)作答）． 【例30】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行．如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于，則不同的排法數(shù)一共有 種． ； 【例31】 有張卡片分別標(biāo)有數(shù)字，，，，，，，，從中取出張卡片排成行列，要求行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為，則不同的排法共有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例32】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行．如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于，則不同的排法共有____種（用數(shù)字作答）． 【例33】 用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是__________（用數(shù)字作答）． 【例34】 用數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且比大的五位偶數(shù)共有（ ） A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【例35】 從這個(gè)數(shù)中，取出兩個(gè)，使其和為偶數(shù)，則共可得到 個(gè)這樣的不同偶數(shù)？ 【例36】 求無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被整除的數(shù)有______個(gè)． 【例37】 用數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)學(xué)作答）． 【例38】 從這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例39】 從這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【例40】 從到的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問(wèn)： ⑴能組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？ ⑵上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？ ⑶⑴中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？ ⑷⑴其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)？ 【例41】 用到這九個(gè)數(shù)字．可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 【例42】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片，從這張卡片中取出張卡片排成一行．如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于，則不同的排法共有______種（用數(shù)字作答）． 【例43】 在由數(shù)字組成的所有沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)中，大于且小于的數(shù)共有（ ）個(gè) A．個(gè)　　　　　B．個(gè)　　　　C．個(gè)　　　D．個(gè) 【例44】 由0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則_____． A． B． C． D． 【例45】 從數(shù)字0、1、3、5、7中取出不同的三個(gè)作系數(shù)，可組成多少個(gè)不同的一元二次方程，其中有實(shí)數(shù)根的有幾個(gè)？ 【例46】 從中任選三個(gè)不同元素作為二次函數(shù)的系數(shù)，問(wèn)能組成多少條圖像為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限或第三象限的拋物線?