2019-2020年高中數學 空間向量與立體幾何 板塊五 用空間向量解柱體問題(1)完整講義（學生版）.doc

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2019-2020年高中數學 空間向量與立體幾何 板塊五 用空間向量解柱體問題(1)完整講義（學生版） 典例分析 【例1】 如圖，在直三棱柱中，，，點與分別為線段和的中點，點與分別為線段和上的動點．若，則線段長度的最小值是（ ） A． B． C． D． 【例2】 如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，側棱． ⑴ 求證：平面； ⑵ 求直線與平面所成角的正弦值； ⑶ 求二面角的余弦值． 【例3】 如圖，在正三棱柱中，，點是的中點，點在上，且． ⑴證明：平面平面； ⑵求直線和平面所成角的正弦值． 【例4】 如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，，，分別是棱、、的中點． ⑴證明：直線平面； ⑵求二面角的余弦值． 【例5】 已知正三棱柱，底面邊長，，點、分別是邊，的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系． ⑴求證：． ⑵若為的中點，試用基向量、、表示向量； ⑶求異面直線與所成角的余弦值． 【例6】 如圖，直三棱柱中，，，，側棱，側面的兩條對角線交點為，的中點為． ⑴求證：平面； ⑵求面與面所成二面角的大?。? 【例7】 如圖，正三棱柱的底面邊長為，側棱，是延長線上一點，且． ⑴求證：直線平面； ⑵求二面角的大?。? ⑶求三棱錐的體積． 【例8】 如圖，直三棱柱，底面中，，，棱，分別是的中點， ⑴求的長； ⑵求與的夾角的余弦值； ⑶求證：． 【例9】 如圖，正三棱柱所有棱長都是，是棱的中點，是棱的中點，交于點． ⑴ 求證：平面； ⑵ 求二面角的大?。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆? ⑶ 求點到平面的距離． 【例10】 如圖，已知正三棱柱的側棱長和底面邊長均為1，是底面邊上的中點，是側棱上的點，且． ⑴ 求證：面；（或若為的中點，求證：平面． ⑵ 若二面角的平面角的余弦值為，求的值； ⑶ 在第⑵的前提下，求點到平面的距離． 【例11】 直三棱柱中，．求證：． 【例12】 直四棱柱的底面為平行四邊形，其中，，，為中點，是棱上的動點． ⑴求異面直線與所成角的正切值； ⑵當時，證明； ⑶當的長為多少時，二面角的大小為？ 【例13】 如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且是圓直徑． ⑴ 證明：平面平面； ⑵ 設，在圓柱內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱內的概率為． （i）當點在圓周上運動時，求的最大值； （ii）記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值．