2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.3 組合教案.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.3 組合教案 ●知識(shí)梳理 1.組合的概念：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，用C表示. 2.組合數(shù)公式C=. 3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）C=C；（2）C=C+C. ●點(diǎn)擊雙基 1.從4臺(tái)甲型電腦和5臺(tái)乙型電腦中任取3臺(tái)，其中兩種電腦都要取，則不同的取法種數(shù)是 A.140 B.84 C.70 D.35 解析：取3臺(tái)分兩類：①2臺(tái)甲型1臺(tái)乙型，有CC種； ②1臺(tái)甲型2臺(tái)乙型，有CC種. ∴CC+CC=30+40=70（種）. 答案：C 特別提示 先從甲型、乙型中各抽1臺(tái)，有CC種，再?gòu)挠嘞碌闹羞x1臺(tái)，有C種， 故有CCC=140（種）.解法不正確. 2.（xx年北京，理17）從長(zhǎng)度分別為1、2、3、4、5的五條線段中，任取三條的不同取法共有n種.在這些取法中，以取出的三條線段為邊可組成的鈍角三角形的個(gè)數(shù)為m，則等于 A. B. C. D. 解析：n=C=10，由余弦定理知可組成鈍角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2. ∴==. 答案：B 3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，滿足這個(gè)關(guān)系式的集合X共有_____________個(gè). A.2 B.6 C.4 D.8 解析：由題意知集合X中的元素1，2必取，另外可從3，4，5中可以不取，取1個(gè)，取2個(gè)，取3個(gè)， 故有C+C+C+C=8（個(gè)）. 答案：D 4.（xx年?yáng)|北三校模擬題）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色.若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為_____________. 解析：設(shè)四棱錐為P—ABCD.（1）P：C，A：C，B：C，C與B同色：1，D：C. （2）P：C，A：C，B：C，C與B不同色C，D：C. 共有CCC1C+CCCCC=420. 答案：420 5.某校準(zhǔn)備參加xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把10個(gè)名額分配給高三年級(jí)8個(gè)班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________種. 解析：把10個(gè)名額分成8份，每份至少一個(gè)名額即可，用隔板法：C=C=36. 答案：36 ●典例剖析 【例1】 某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選取會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法? 解：由題意可知，只會(huì)英語(yǔ)的有6人，只會(huì)日語(yǔ)的有2人，英語(yǔ)和日語(yǔ)都會(huì)的有1人. 以只會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)分類，CCC+CC=20. 【例2】 設(shè)集合A={1，2，3，…，10}， （1）設(shè)A的3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為n，求n的值； （2）設(shè)A的3個(gè)元素的子集中，3個(gè)元素的和分別為a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值. 解：（1）A的3元素子集的個(gè)數(shù)為n=C=120. （2）在A的3元素子集中，含數(shù)k（1≤k≤10）的集合個(gè)數(shù)有C個(gè)，因此a1+a2+…+an= C（1+2+3+…+10）=1980. 評(píng)述：在求從n個(gè)數(shù)中取出m（m≤n）個(gè)數(shù)的所有組合中各組合中數(shù)字的和時(shí)，一般先求出含每個(gè)數(shù)字的組合的個(gè)數(shù)，含每個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)一般都相等，故每個(gè)數(shù)字之和與個(gè)數(shù)之積便是所求結(jié)果. 【例3】 從1，2，…，30這30個(gè)自然數(shù)中，每次取不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？ 解：令A(yù)={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}組成三類數(shù)集，有以下四類符合題意：①A，B，C中各取一個(gè)數(shù)，有CCC種；②僅在A中取3個(gè)數(shù)，有C種；③僅在B中取3個(gè)數(shù)，有C種；④僅在C中取3個(gè)數(shù)，有C種.故由加法原理得共有CCC+3C=1360種. 評(píng)述：按元素的性質(zhì)分類是處理帶限制條件的組合問題的常用方法，對(duì)于某幾個(gè)數(shù)的和能被某數(shù)整除一類的問題，通常是將整數(shù)分類，凡余數(shù)相同者歸同一類. 思考討論 討論下面的問題： 用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的能被25整除的四位數(shù)多少個(gè)？ 提示：能被25整除的數(shù)的后兩位是25或50，后兩位是50的數(shù)有A個(gè)，后兩位是25的數(shù)有33=9個(gè)，所以能被25整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A+9=21. 【例4】 如圖，從一個(gè)34的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的最短路線有幾條？ 解：從A到B的最短路線，均需走7步，包括橫向的4步和縱向的3步，于是我們只要確定第1，2，…，7步哪些是橫向的，哪些是縱向的就可以了，實(shí)際只要確定哪幾步是橫向走.所以每一條從A到B的最短路線對(duì)應(yīng)著從第1，2，…，7步取出4步（橫向走）的一個(gè)組合，因此從A到B的最短路線共有C=C=35條. 深化拓展 1.某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，如下圖所示.要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？ 解：將相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的街道稱為一段，那么從A到B需要走（n+m－2）段，而這些段中，必須有東西方向的（n－1）段，其余的為南北方向的（m－1）段，所以共有C=C種走法. 2.從一樓到二樓樓梯一共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，規(guī)定用8步走完樓梯的方法種數(shù)是_____________. 解：設(shè)一步一級(jí)x步，一步兩級(jí)y步，則 故走完樓梯的方法有C=28種. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 A.240種 B.180種 C.120種 D.60種 解析：先從6雙手套中任選一雙，有C種取法，再?gòu)钠溆嗍痔字腥芜x2只，有C種，其中選一雙同色手套的選法為C種.故總的選法數(shù)為C（C－C）=240種. 答案：A 2.（xx年江蘇，3）從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 A.140種 B.120種 C.35種 D.34種 解析：7人中任選4人，共C種選法，扣除只有男生的選法C，就可得有既有男生，又有女生的選法C－C=34. 答案：D 3.（xx年湖北，理14）將標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有_____________種.（以數(shù)字作答） 解析：從10個(gè)盒中挑3個(gè)與球標(biāo)號(hào)不一致，共C種挑法，每一種3個(gè)盒子與球標(biāo)號(hào)全不一致的方法為2種，∴共有2C=240種. 答案：240 4.某年級(jí)有6個(gè)班，派3個(gè)數(shù)學(xué)老師任教，每位教師教兩個(gè)班，不同的任課方法種數(shù)有_______種. 解析：把6個(gè)班均勻分為3份，有種分法，再把這三份分給3位教師，所以不同的任課方法有A=CCC種. 答案：90 5.某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號(hào)相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)隊(duì)至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？ 解：由于每隊(duì)至少抽1輛，故問題轉(zhuǎn)化為從7個(gè)車隊(duì)中抽3輛車，分類討論. ①3輛車都從1個(gè)隊(duì)抽，有C種；②3輛車從2個(gè)隊(duì)抽，有A種；③3輛車從3個(gè)隊(duì)抽，有C種. 綜上所述，共有C+A+C=84種. 6.袋中有10個(gè)球，其中4個(gè)紅球，6個(gè)白球，若取到1個(gè)紅球記2分，取到1個(gè)白球記1分，那么從這10個(gè)球中取出4個(gè)，使總分不低于5分的取法有多少種? 解法一：取出4個(gè)球不低于5分只能是4紅或3紅1白或2紅2白或1紅3白. 故有C+CC+CC+CC=195種. 解法二：取出4個(gè)球總分低于5分只能是4個(gè)白球，故有C－C=195種. 培養(yǎng)能力 7.（理）有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名英語(yǔ)翻譯員，4名日語(yǔ)翻譯員，另兩名英、日語(yǔ)都精通，從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問這樣的分配名單共可開出幾張? 分析：既精通英語(yǔ)，又精通日語(yǔ)的“多面手”是特殊元素，所以可以從他們的參與情況入手進(jìn)行分類討論. 解：按“多面手”的參與情況分成三類. 第一類：多面手不參加，這時(shí)有CC種； 第二類：多面手中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有CCC+CCC種； 第三類：多面手中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，因此有CCC+CCC+CCCC種. 綜上分析，共可開出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC= 185種. 評(píng)述：首先注意分類方法，體會(huì)分類方法在解組合問題中的作用.本題也可以先安排翻譯英文人員，后安排翻譯日文人員進(jìn)行分類求解，共有CC+CCC+CCC=185種. （文）某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，鑒定結(jié)果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中選取3種. （1）其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種? （2）其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種? （3）恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種? （4）至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種? （5）至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種? 解：（1）C=561. （2）C=5984. （3）CC=2100. （4）CC+C=2555. （5）C+CC+CC=6090. 探究創(chuàng)新 8.有點(diǎn)難度喲！ 從1到100這100個(gè)正整數(shù)中，每次取出2個(gè)數(shù)使它們的和大于100，共有多少種取法? 解：（1）若取出的2個(gè)數(shù)都大于50，則有C種. （2）若取出的2個(gè)數(shù)有一個(gè)小于或等于50， 當(dāng)取1時(shí)，另1個(gè)只能取100，有C種取法； 當(dāng)取2時(shí)，另1個(gè)只能取100或99，有C種取法； …… 當(dāng)取50時(shí)，另1個(gè)數(shù)只能取100，99，98，…，51中的一個(gè)，有C種取法，所以共有1+2+3+…+50=. 故取法種數(shù)為C+=+=2500. ●思悟小結(jié) 1.組合數(shù)公式有連乘和階乘形式，階乘形式一般用于證明和計(jì)算，組合數(shù)的性質(zhì)常用于證明等式及合并組合數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算. 2.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）. 3.解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意至少、至多、最多、恰好等詞的含義. 4.各種與元素的位置、順序無關(guān)的組合問題，常見的有選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題，解答組合問題的關(guān)鍵是用好組合的定義和兩個(gè)基本原理，只選不排，合理分類、分步. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.要搞清組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系：組合與順序無關(guān)，排列與順序有關(guān)；排列可以分成先選?。ńM合）后排列兩個(gè)步驟進(jìn)行. 2.熟練掌握組合數(shù)公式的兩種形式. 拓展題例 【例題】 某籃球隊(duì)共7名老隊(duì)員，5名新隊(duì)員，根據(jù)下列情況分別求出有多少種不同的出場(chǎng)陣容. （1）某老隊(duì)員必須上場(chǎng)，某2新隊(duì)員不能出場(chǎng)； （2）有6名打前鋒位，4名打后衛(wèi)位，甲、乙兩名既能打前鋒又能打后衛(wèi)位. 解：（1）C=126種. （2）以2名既擅長(zhǎng)前鋒位又能打后衛(wèi)位的隊(duì)員是否上場(chǎng)，且上場(chǎng)后是前鋒還是后衛(wèi)作分類標(biāo)準(zhǔn)：①甲、乙都不上場(chǎng)有CC=120種；②甲、乙有一名上場(chǎng)，作前鋒位有C（CC）種，作后衛(wèi)位有C（CC）種，共C（CC）+C（CC）=340種；③甲、乙都上場(chǎng)，有CC+CC+C（CC）=176種.據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有120+340+176=636種.