2019-2020年高考數(shù)學總復習 第十章10.2 古典概型與幾何概型教案 理 北師大版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第十章10.2 古典概型與幾何概型教案 理 北師大版 考綱要求 1.理解古典概型及其概率計算公式. 2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 3.了解隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法估計概率. 4.了解幾何概型的意義. 知識梳理 1.基本事件有如下特點: (1)任何兩個基本事件是______的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________. 2.古典概型 一般地,一次試驗有下面兩個特征: (1)有限性,即在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結果只有有限個,即只有有限個不同的基本事件; (2)等可能性,每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的,稱具有這兩個特點的概率模型為古典概型. 判斷一個試驗是否是古典概型,在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征:試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現(xiàn)的等可能性. 3.古典概型的概率公式 如果一次試驗中所有可能出現(xiàn)的結果有n個,而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一個基本事件的概率都是______;如果某個事件A包含的結果有m個,那么事件A的概率P(A)=______. 4.幾何概型 向平面上有限區(qū)域(集合)G內隨機地投擲點M,若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的________成正比,而與G的形狀、位置無關,即P(點M落在G1)=____________, 則稱這種模型為幾何概型. 幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域,相應的概率是________之比或________之比. 5.幾何概型的特點 一是__________,即在一次試驗中,基本事件的個數(shù)是無限的; 二是________,即每一個事件發(fā)生的可能性是均等的. 6.幾何概型的試驗中,事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無關. 求試驗中幾何概型的概率,關鍵是求得事件所占區(qū)域和整個區(qū)域Ω的幾何度量,然后代入公式即可求解. 7.用隨機數(shù)估計事件發(fā)生的概率:利用計算機或計算器產生一些滿足一定條件的數(shù),其中每一個數(shù)產生的機會是一樣的,通過模擬一些試驗,可以替代我們進行大量的重復試驗,從而估計得到事件的概率. 基礎自測 1.有100張卡片(從1號到100號),從中任取1張,取到卡號是7的倍數(shù)的概率為( ). A. B. C. D. 2.從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a,從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b,則b>a的概率是( ). A. B. C. D. 3.一根木棒長5米,從任意位置砍斷,則截得兩條木棒都大于2米的概率為( ). A. B. C. D. 4.有一杯1 L的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1 L水,則小杯水中含有這個細菌的概率為( ). A.0 B.0.1 C.0.01 D.1 5.四邊形ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點,在長方形ABCD內隨機取一點,取到的點到O的距離大于1的概率為( ). A. B.1- C. D.1- 6.盒子中共有大小相同的3個白球,1個黑球,若從中隨機摸出兩個球,則它們顏色不同的概率是__________. 思維拓展 1.是不是所有的試驗都是古典概型? 提示:不是.在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結果是有限個,并且每個試驗結果出現(xiàn)的可能性是均等的,這樣的試驗才是古典概型. 2.怎樣理解古典概型中每個基本事件的等可能性? 提示:就是試驗的每種結果出現(xiàn)的可能性是均等的.例如先后拋擲兩枚均勻的硬幣,共出現(xiàn)“正、正”,“正、反”,“反、正”,“反、反”這四種等可能的結果.如果認為只有“兩個正面”,“兩個反面”、“一正一反”這三種結果,那么顯然這三種結果不是等可能的. 3.幾何概型與古典概型有何區(qū)別與聯(lián)系? 提示:幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗結果不是有限個,其特點是它的試驗結果在一個區(qū)域內均勻分布,所以幾何概型的概率的大小與該事件所在區(qū)域的形狀和位置無關,只與該區(qū)域的大小有關.利用幾何概型的概率公式P(A)=,求概率的思路與古典概型的概率求解思路一樣,都屬于“比例解法”. 一、古典概型及其概率計算 【例1】袋中有大小相同的5個白球,3個黑球和3個紅球,每球有一個區(qū)別于其他球的編號,從中摸出一個球. (1)有多少種不同的摸法?如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型,該模型是不是古典概型? (2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù),有多少個基本事件?以這些基本事件建立概率模型,該模型是不是古典概型? 方法提煉1.判斷一個概率問題是否為古典概型,關鍵是看它是否同時滿足兩個特征:有限性和等可能性,同時滿足這兩個特征的概率模型才是古典概型. 2.求古典概型的概率時,一般是先用列舉法把試驗所包含的基本事件一一列舉出來,然后再找出所求事件A所包含的基本事件的個數(shù),利用公式P(A)=即可求得事件A的概率. 請做[針對訓練]1 二、古典概型的應用 【例2-1】甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張. (1)設(i,j)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況; (2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少? (3)甲、乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認為此游戲是否公平,說明你的理由. 【例2-2】設平面向量am=(m,1),bn=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}. (1)請列出有序數(shù)組(m,n)的所有可能結果; (2)記“使得am⊥(am-bn)成立的(m,n)”為事件A,求事件A發(fā)生的概率. 方法提煉列舉法可以使我們明確基本事件的構成情況,該法適用于基本事件的個數(shù)較少的情況.列舉時要按規(guī)律分類列舉,以避免重復或遺漏的情況出現(xiàn). 請做[針對訓練]2 三、幾何概型及其應用 【例3-1】在鑄鐵過程中,經常出現(xiàn)鑄件里面混入氣泡的情況,但是如果在加工過程中氣泡不暴露在表面,對產品就不會造成影響,否則產品就會不合格.在一個棱長為4 cm的正方體鑄件中不小心混入一個半徑為0.1 cm的球形氣泡,在加工這個鑄件的過程中,如果將鑄件去掉0.5 cm的厚度后產品外皮沒有麻眼(即沒有露出氣泡),產品就合格,問產品合格的概率是多少? 【例3-2】已知關于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若a,b是一枚骰子先后投擲兩次所得到的點數(shù),求方程有兩個正實數(shù)根的概率; (2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求一元二次方程沒有實數(shù)根的概率. 方法提煉1.幾何概型的特征:一是基本事件的無窮性,二是基本事件的等可能性.常見的幾何概型問題有:與長度有關的幾何概型,與面積有關的幾何概型,與體積有關的幾何概型. 2.解決幾何概型問題的一般步驟: (1)明確取點的區(qū)域Ω;(2)確定所求概率的事件中的點的區(qū)域A;(3)計算區(qū)域Ω和區(qū)域A的幾何度量μΩ和μA;(4)計算所求問題的概率P(A)=. 請做[針對訓練]3 考情分析 從近三年的高考試題來看,古典概型與幾何概型是高考中經常考查的內容.其中,古典概型還是考查概率知識的重點.題型可以涉及選擇題、填空題和解答題等多種形式,題目難度以中低檔為主. 針對訓練 1.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù): 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( ). A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 2.(xx陜西高考,理10)甲乙兩人一起去游“xx西安世園會”,他們約定,各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽,每個景點參觀1小時,則最后一小時他們同在一個景點的概率是( ). A. B. C. D. 3.(xx福建高考,理4)如圖,矩形ABCD中,點E為邊CD的中點.若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q,則點Q取自△ABE內部的概率等于( ). A. B. C. D. 4.設關于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是從0,1,2,3四個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率. (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率. 參考答案 基礎梳理自測 知識梳理 1.(1)互斥 (2)基本事件的和 3. 4.面積 體積 長度 5.無限性 等可能性 基礎自測 1.A 解析:有100張卡片(從1號到100號),從中任取1張,有100種取法,而卡號是7的倍數(shù)的有14種,所以概率為. 2.D 解析:基本事件共有53=15種,其中滿足b>a的有b=2,a=1;b=3,a=1;b=3,a=2,共3種,所以b>a的概率為=. 3.A 解析:滿足條件的砍斷點應落在2<x<3的位置上,即1米長的線段上,故所求事件的概率為. 4.B 解析:小杯水含有這個細菌的概率為P==0.1. 5.B 解析:如圖,要使圖中的點到O的距離大于1,則該點需取在圖中陰影部分,故概率為P==1-. 6. 解析:基本事件總數(shù)為6種情況,其中顏色不同的共有3種情況,所以所求概率為P==. 考點探究突破 【例1】解:(1)由于共有11個球,且每個球有不同的編號,故共有11種不同的摸法.又因為所有球大小相同,因此每個球被摸中的可能性相等,故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型. (2)由于11個球共有3種顏色,因此共有3個基本事件,分別記為A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到紅球”,又因為所有球大小相同,所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為,而白球有5個,故一次摸球摸中白球的可能性為,同理可知摸中黑球、紅球的可能性均為,顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等,所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型. 【例2-1】解:(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示,紅桃2,紅桃3,紅桃4分別用2,3,4表示)為:(2,3),(2,4),(2,4′),(3,2),(3,4),(3,4′),(4,2),(4,3),(4,4′),(4′,2),(4′,3),(4′,4)共12種不同情況. (2)甲抽到3,乙抽到的牌只能是2或4或4′,因此乙抽到的牌的數(shù)字大于3的概率為. (3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2),(4,2),(4,3),(4′,2),(4′,3)5種,甲勝的概率為P1=,乙勝的概率為P2=, ∵<,∴此游戲不公平. 【例2-2】解:(1)有序數(shù)組(m,n)的所有可能結果為: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16個. (2)由am⊥(am-bn)得m2-2m+1-n=0, 即n=(m-1)2.由于m,n∈{1,2,3,4},故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個.又基本事件的總數(shù)為16,故所求的概率為P(A)==. 【例3-1】解:記產品合格為事件A,試驗的全部結果所構成的區(qū)域是棱長為4 cm的正方體.由條件可以發(fā)現(xiàn)要使產品合格,球心距離正方體表面要大于0.6 cm,所以球心必須在正方體內的一個棱長為2.8 cm的正方體內部才符合題意,所以構成事件A的區(qū)域是棱長為2.8 cm的正方體,這樣產品合格的概率P(A)==0.343. 【例3-2】解:(1)基本事件(a,b)共有36個,且a,b∈{1,2,3,4,5,6},方程有兩個正實數(shù)根等價于a-2>0,16-b2>0,△≥0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 設“一元二次方程有兩個正實數(shù)根”為事件A,則事件A所包含的基本事件數(shù)為(6,1),(6,2),(6,3),(5,3)共4個,故所求的概率為P(A)==. (2) 試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4},其面積為S(Ω)=16. 設“一元二次方程無實數(shù)根”為事件B,則構成事件B的區(qū)域為B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16},其面積為S(B)=π42=4π, 故所求的概率為P(B)==. 演練鞏固提升 針對訓練 1.B 解析:由題意可知,在20組隨機數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的隨機數(shù)為191,271,932,812,393,共5組隨機數(shù),故所求概率為=0.25. 2.D 解析:∵甲、乙參觀每一個景點是隨機且獨立的,∴在最后一個小時參觀哪一個景點是等可能的, ∴甲有6種可能性,乙也有6種可能性,基本事件空間總數(shù)n=36,事件“二人同在一個景點參觀”的基本事件數(shù)m=6,由古典概型概率公式得P==. 3.C 解析:由題意知,該題考查幾何概型,故P===. 4.解:設事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實根”. 當a≥0,b≥0時,方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個: (0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2). 其中第一個數(shù)表示a的取值,第二個數(shù)表示b的取值.事件A中包含9個基本事件,事件A發(fā)生的概率為 P(A)==. (2)試驗的全部結果所構成的區(qū)域為 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 構成事件A的區(qū)域為{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率為 P(A)==.- 配套講稿:
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