2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第3講 幾何概型教案 理 新人教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二篇 概率、隨機(jī)變量及其分布 第3講 幾何概型教案 理 新人教版 【xx年高考會(huì)這樣考】 以選擇題或填空題的形式考查與長(zhǎng)度或面積有關(guān)的幾何概型的求法是高考對(duì)本內(nèi)容的熱點(diǎn)考法,特別是與平面幾何、函數(shù)等結(jié)合的幾何概型是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.新課標(biāo)高考對(duì)幾何概型的要求較低,因此高考試卷中此類(lèi)試題以低、中檔題為主. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí),準(zhǔn)確理解幾何概型的意義、構(gòu)造出度量區(qū)域是用幾何概型求隨機(jī)事件概率的關(guān)鍵,復(fù)習(xí)時(shí)要多反思和多領(lǐng)悟,掌握方法要領(lǐng).同時(shí)要加強(qiáng)與平面區(qū)域、空間幾何體、平面向量、函數(shù)結(jié)合等方面的訓(xùn)練. 基礎(chǔ)梳理 1.幾何概型 事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A,A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比,而與A的位置和形狀無(wú)關(guān).滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型. 2.幾何概型中,事件A的概率計(jì)算公式 P(A)=. 3.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn) (1)無(wú)限性:在一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè); (2)等可能性:每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 一條規(guī)律 對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí),它只與大小有關(guān),而與形狀和位置無(wú)關(guān),在解題時(shí),要掌握“測(cè)度”為長(zhǎng)度、面積、體積、角度等常見(jiàn)的幾何概型的求解方法. 兩種類(lèi)型 (1)線型幾何概型:當(dāng)基本事件只受一個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí). (2)面型幾何概型:當(dāng)基本事件受兩個(gè)連續(xù)的變量控制時(shí),一般是把兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決. 雙基自測(cè) 1.(人教A版教材習(xí)題改編)在線段[0,3]上任投一點(diǎn),則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為( ). A. B. C. D.1 解析 點(diǎn)坐標(biāo)小于1的區(qū)間長(zhǎng)度為1,故所求其概率為. 答案 B 2.一個(gè)路口的紅綠燈,紅燈的時(shí)間為30秒,黃燈的時(shí)間為5秒,綠燈的時(shí)間為40秒,當(dāng)某人到達(dá)路口時(shí)看見(jiàn)的是紅燈的概率是( ). A. B. C. D. 解析 以時(shí)間的長(zhǎng)短進(jìn)行度量,故P==. 答案 B 3.(xx衡陽(yáng)模擬)有四個(gè)游戲盤(pán),將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是( ). 解析 P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=, ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B). 答案 A 4.某人隨機(jī)地在如圖所示正三角形及其外接圓區(qū)域內(nèi)部投針(不包括三角形邊界及圓的邊界),則針扎到陰影區(qū)域(不包括邊界)的概率為( ). A. B. C. D.以上全錯(cuò) 解析 設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為a,則外接圓半徑r=a=a, ∴所求概率P==. 答案 B 5.在區(qū)間[-1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈[0,1]的概率為_(kāi)_______. 解析 如圖,這是一個(gè)長(zhǎng)度型的幾何概型題,所求概率P==. 答案 考向一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 【例1】?點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn).若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B,則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_______. [審題視點(diǎn)] 用劣弧的長(zhǎng)度與圓周長(zhǎng)的比值. 解析 如右圖,設(shè)A、M、N為圓周的三等分點(diǎn),當(dāng)B點(diǎn)取在優(yōu)弧上時(shí),對(duì)劣弧來(lái)說(shuō),其長(zhǎng)度小于1,故其概率為. 答案 將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解. 【訓(xùn)練1】 一只螞蟻在三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形的邊上爬行,某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率為_(kāi)_______. 解析 如圖,該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的長(zhǎng)度為:1+2+3=6,故所求概率為P==. 答案 考向二 與面積有關(guān)的幾何概型 【例2】?(xx華東師大附中模擬)設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0. (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率; (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率. [審題視點(diǎn)] (1)為古典概型,利用列舉法求概率. (2)建立ab平面直角坐標(biāo)系,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的幾何概型. 解 設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”. 當(dāng)a≥0,b≥0時(shí),方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè):(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.事件A中包含9個(gè)基本事件,事件A發(fā)生的概率為P(A)==. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以所求的概率為P(A)==. 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式,在圖形中畫(huà)出事件A發(fā)生的區(qū)域,利用公式可求. 【訓(xùn)練2】 (xx福建)如圖, 矩形ABCD中,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn).若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于( ). A. B. C. D. 解析 S△ABE=|AB||AD|,S矩形ABCD=|AB||AD|. 故所求概率P==. 答案 C 考向三 與角度、體積有關(guān)的幾何概型 【例3】?在Rt△ABC中,∠A=30,過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. [審題視點(diǎn)] 如圖所示, 因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)作射線是均勻的,因而應(yīng)把在∠ACB內(nèi)作射線CM看做是等可能的,基本事件是射線CM落在∠ACB內(nèi)任一處,使|AM|>|AC|的概率只與∠BCC′的大小有關(guān),這符合幾何概型的條件. 解 設(shè)事件D為“作射線CM,使|AM|>|AC|”.在AB上取點(diǎn)C′使|AC′|=|AC|,因?yàn)椤鰽CC′是等腰三角形,所以∠ACC′==75, μA=90-75=15,μΩ=90, 所以P(D)==. 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測(cè)度”,如本例以角度為“測(cè)度”.因?yàn)樯渚€CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的.若以長(zhǎng)度為“測(cè)度”,就是錯(cuò)誤的,因?yàn)镸在AB上的落點(diǎn)不是等可能的. 【訓(xùn)練3】 (xx長(zhǎng)沙模擬)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為_(kāi)_______. 解析 點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心,以1為半徑的半球外.記點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1為事件A,則P(A)==1-. 答案 1- 規(guī)范解答21——如何解決概率與函數(shù)的綜合問(wèn)題 【問(wèn)題研究】 所謂概率,就是某種事件發(fā)生的可能性的大小,而“事件”可以是日常生活中常見(jiàn)的例子,也可以是有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,如以函數(shù)的基本性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)為背景,設(shè)置概型,提出問(wèn)題,考查考生綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 【解決方案】 首先認(rèn)真閱讀題目,把其中的有用信息向我們熟悉的知識(shí)方面轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移,然后再利用概率的知識(shí)去解決. 【示例】? (本題滿分12分)(xx濰坊模擬)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1. (1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率; (2)設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn), 求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)的概率. 本題以“二次函數(shù)的單調(diào)性”為背景,首先寫(xiě)出事件發(fā)生所滿足的條件,在第(1)問(wèn)中,給出了有限個(gè)數(shù)據(jù),從而判斷是古典概型問(wèn)題,利用列舉法寫(xiě)出事件發(fā)生的總數(shù)以及滿足條件的事件發(fā)生的個(gè)數(shù),再利用公式求之;第(2)問(wèn)中,a和b有無(wú)限個(gè)數(shù)據(jù),所以是幾何概型問(wèn)題,首先計(jì)算事件發(fā)生的總數(shù)與滿足條件的事件發(fā)生的個(gè)數(shù)的測(cè)度,再利用公式求之. [解答示范] (1)∵函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為直線x=,要使f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1,即2b≤a.(2分) 若a=1,則b=-1; 若a=2,則b=-1或1; 若a=3,則b=-1或1. ∴事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5.(5分) ∴所求事件的概率為=.(6分) (2)由(1),知當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a>0時(shí), 函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),(8分) 依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? ,構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠郑? 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為,(10分) ∴所求事件的概率為P==.(12分) 本題中先將f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足條件2b≤a且a>0,然后再聯(lián)系已知條件,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型,實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的逐步遷移,這種轉(zhuǎn)化遷移的思想值得考生注意,另外,對(duì)于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一區(qū)間[m,+∞)上單調(diào)遞增的充要條件是 切勿漏掉a>0. 【試一試】 已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0. (1)若a,b是一枚骰子擲兩次所得到的點(diǎn)數(shù),求方程有兩正根的概率; (2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求方程沒(méi)有實(shí)根的概率. [嘗試解答] (1)基本事件(a,b)共有36個(gè),方程有正根等價(jià)于a-2>0,16-b2>0,Δ≥0, 即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 設(shè)“方程有兩個(gè)正根”為事件A,則事件A包含的基本事件為(6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共4個(gè), 故所求的概率為P(A)==. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4}, 其面積為S(Ω)=16, 設(shè)“方程無(wú)實(shí)根”為事件B,則構(gòu)成事件B的區(qū)域?yàn)? B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16}, 其面積為S(B)=π42=4π, 故所求的概率為P(B)==- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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