2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換教案 蘇教版選修4-4.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.3 平面坐標(biāo)系中幾種常見變換教案 蘇教版選修4-4 4．3.1平面直角坐標(biāo)系中的平移變換 課標(biāo)解讀 1.理解平移的意義，深刻認(rèn)識(shí)一個(gè)平移就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量． 2.掌握平移公式，并能熟練運(yùn)用平移公式簡(jiǎn)化函數(shù)的解析式. 1．平移 在平面內(nèi)，將圖形F上所有點(diǎn)按照同一個(gè)方向，移動(dòng)同樣長(zhǎng)度，稱為圖形F的平移，若以向量a表示移動(dòng)的方向和長(zhǎng)度，也稱圖形F按向量a平移． 2．平移變換公式 設(shè)P(x，y)，向量a＝(h，k)，平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′)，則(x，y)＋(h，k)＝(x′，y′)或 1．求平移后曲線的方程的步驟是什么？ 【提示】　步驟：(1)設(shè)平移前曲線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，平移后的曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(x′，y′)； (2)寫出變換公式并轉(zhuǎn)化為 (3)利用上述公式將原方程中的x，y代換； (4)按習(xí)慣，將所得方程中的x′，y′分別替換為x，y，即得所求曲線的方程． 2．在圖形平移過(guò)程中，每一點(diǎn)都是按照同一方向移動(dòng)同樣的長(zhǎng)度，你是如何理解的？ 【提示】　其一，平移所遵循的“長(zhǎng)度”和“方向”正是向量的兩個(gè)本質(zhì)特征，因此，從向量的角度看，一個(gè)平移就是一個(gè)向量． 其二，由于圖形可以看成點(diǎn)的集合，故認(rèn)識(shí)圖形的平移，就其本質(zhì)來(lái)講，就是要分析圖形上點(diǎn)的平移. 平移變換公式的應(yīng)用 　點(diǎn)M(8，－10)按a平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(－7,4)，求a. 【自主解答】　由平移公式得 解得即a＝(－15,14)． 把點(diǎn)A(－2,1)按a＝(3,2)平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)(x′，y′)． 【解】　由平移公式得 即對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)(1,3)． 平移變換公式在圓錐曲線中的應(yīng)用 　求雙曲線4x2－9y2－16x＋54y－29＝0的中心坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸方程、準(zhǔn)線方程和漸近線方程． 【思路探究】　把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解． 【自主解答】　將方程按x，y分別配方成4(x－2)2－9(y－3)2＝－36， 即－＝1. 令方程可化為－＝1. 雙曲線－＝1的中心坐標(biāo)為(0,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)和(0，－2)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)和(0，－)，對(duì)稱軸方程為x′＝0，y′＝0，準(zhǔn)線方程為y′＝，漸近線方程為＝0. 根據(jù)公式可得所求雙曲線的中心坐標(biāo)為(2,3)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,5)和(2,1)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3＋)和(2,3－)，對(duì)稱軸方程為x＝2，y＝3，準(zhǔn)線方程為y＝3，漸近線方程為＝0，即2x＋3y－13＝0和2x－3y＋5＝0. 幾何量a，b，c，e，p決定了圓錐曲線的幾何形狀，它們的值與圓錐曲線的位置無(wú)關(guān)，我們將其稱為位置不變量． 已知拋物線y＝x2＋4x＋7. (1)求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求將這條拋物線平移到頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)的函數(shù)解析式． 【解】　(1)設(shè)拋物線y＝x2＋4x＋7的頂點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(h，k)，那么 h＝－＝－2，k＝＝3， 即這條拋物線的頂點(diǎn)O′的坐標(biāo)為(－2,3)． (2)將拋物線y＝x2＋4x＋7平移， 使點(diǎn)O′(－2,3)與點(diǎn)O(0,0)重合，這種圖形的變換可以看做是將其按向量平移得到的，設(shè)的坐標(biāo)為(m，n)，那么 所以拋物線按(2，－3)平移，平移后的方程為y＝x2. 　(教材第40頁(yè)習(xí)題4.3第3題)寫出拋物線y2＝8x按向量(2,1)平移后的拋物線方程和準(zhǔn)線方程． 　(xx無(wú)錫質(zhì)檢)將函數(shù)y＝2x的圖象l按a＝(0,3)平移到l′，求l′的函數(shù)解析式． 【命題意圖】　本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中平移公式的運(yùn)用． 【解】　設(shè)P(x，y)為l的任意一點(diǎn)，它在l′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′，y′) 由平移公式得 ? 將它們代入y＝2x中得到y(tǒng)′－3＝2x′， 即函數(shù)的解析式為y＝2x＋3. 1．將點(diǎn)P(7,0)按向量a平移，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′(11,5)，則a＝________. 【答案】　(4,5) 2．直線l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________． 【答案】　3x－2y＝0 3．曲線x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐標(biāo)是________． 【解析】　配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1. 【答案】　(1，－1) 4．開口向上，頂點(diǎn)是(3,2)，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離是1的拋物線方程是________． 【解析】　開口向上，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)距離是1的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝4y，所以所求拋物線的方程是(x－3)2＝4(y－2)． 【答案】　(x－3)2＝4(y－2) 1．已知函數(shù)y＝x2圖象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求圖象F′的函數(shù)表達(dá)式． 【解】　在曲線F上任取一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)F′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′(x′，y′)，則x′＝x－2，y′＝y(tǒng)＋3， ∴x＝x′＋2，y＝y(tǒng)′－3. 將上式代入方程y＝x2， 得：y′－3＝(x′＋2)2， ∴y′＝(x′＋2)2＋3，即圖象F′的函數(shù)表達(dá)式為y＝(x＋2)2＋3. 2．求橢圓4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率及準(zhǔn)線方程． 【解】　因橢圓方程可化為＋＝1，其中心為(－3,1)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－3，1)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，短軸長(zhǎng)為4，離心率為，準(zhǔn)線方程為x＝－3. 3．圓x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求過(guò)點(diǎn)(3,4)的圓x2＋y2＝25的切線按向量a平移后的方程． 【解】　由題意可知a＝(1，－2)，因?yàn)槠揭魄斑^(guò)點(diǎn)(3,4)的圓x2＋y2＝25的切線方程為3x＋4y＝25，所以平移后的切線方程為3(x－1)＋4(y＋2)＝25，即3x＋4y－20＝0. 4．已知兩個(gè)點(diǎn)P(1,2)、P′(2,10)和向量a＝(－3,12)．回答下列問(wèn)題： (1)把點(diǎn)P按向量a平移，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)把某一點(diǎn)按向量a平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′，求這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)點(diǎn)P按某一向量平移，得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是P′，求這個(gè)向量的坐標(biāo)． 【解】　(1)平移公式為由x＝1，y＝2，解得x′＝－2，y′＝14，即所求的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,14)． (2)平移公式為由x′＝2，y′＝10，解得x＝5，y＝－2，即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，－2)． (3)平移公式為由x＝1，y＝2，x′＝2，y′＝10，解得h＝1，k＝8，所以所求的向量的坐標(biāo)為(1,8)． 5．將二次函數(shù)y＝x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y＝2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3,1)，求向量a的坐標(biāo)． 【解】　設(shè)a＝(h，k)，所以y＝x2平移后的解析式為y－k＝(x－h(huán))2，即y＝x2－2hx＋h2＋k與直線y＝2x－5只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線為拋物線在(3,1)處的切線，由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，知y＝x2－2hx＋h2＋k在(3,1)處切線的斜率為6－2h，從而6－2h＝2，h＝2.又點(diǎn)(3,1)在 y－k＝(x－h(huán))2上，解得k＝0，所以向量a的坐標(biāo)為(2,0)． 6．拋物線y＝x2－4x＋7按向量a平移后，得到拋物線的方程是y＝x2.求向量a及平移前拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)． 【解】　拋物線方程可化為y－3＝(x－2)2，平移后的拋物線方程為y＝x2，所以a＝(－2，－3)，因?yàn)閥＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，所以平移前拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0＋2，＋3)，即(2，)． 7．已知雙曲線的漸近線方程為4x＋3y＋9＝0與4x－3y＋15＝0，一條準(zhǔn)線的方程為y＝－，求此雙曲線的方程． 【解】　兩漸近線的交點(diǎn)即雙曲線中心，故由解得交點(diǎn)為(－3,1)，即中心為(－3,1)．又一條準(zhǔn)線方程為y＝－，說(shuō)明焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸平行于y軸，所以可設(shè)雙曲線方程為－＝1，它的漸近線方程可寫成＝0①，準(zhǔn)線方程為y－1＝②，而已知漸近線方程為4x＋3y＋9＝0，即4(x＋3)＋3(y－1)＝0，另一條漸近線方程為4x－3y＋15＝0，即4(x＋3)－3(y－1)＝0，合并即為＝0.對(duì)照①，得＝③.而已知準(zhǔn)線方程y＝－，即y－1＝－.對(duì)照②，得＝④.由③④，解得a＝4，b＝3，c＝5.故所求雙曲線方程為－＝1. 教師備選 8．已知拋物線y＝x2－4x－8， (1)求將這條拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)(3，－2)時(shí)的拋物線方程； (2)將此拋物線按怎樣的向量a平移，能使平移后的方程是y＝x2? 【解】　(1)將拋物線y＝x2－4x－8配方，得y＝(x－2)2－12， 故拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為P(2，－12)，將點(diǎn)(2，－12)移到(3，－2)時(shí)，其平移向量a＝(1,10)，于是平移公式為即 因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y＝x2－4x－8上，所以y′－10＝(x′－1)2－4(x′－1)－8， 即y′＝x′2－6x′＋7. 所以平移后的方程為y＝x2－6x＋7. (2)法一　設(shè)平移向量a＝(h，k)，則平移公式為 將其代入y＝x2－4x－8，得 y′－k＝(x′－h(huán))2－4(x′－h(huán))－8， 化簡(jiǎn)整理，得 y′＝x′2－(2h＋4)x′＋h2＋4h＋k－8. 令 解得此時(shí)y′＝x′2. 所以當(dāng)圖象按向量a＝(－2,12)平移時(shí)，可使函數(shù)的解析式化為y＝x2. 法二　將拋物線y＝x2－4x－8，即y＋12＝(x－2)2平移到y(tǒng)＝x2. 只需要作變換 所以平移對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為(－2,12)． 4．3.2平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 課標(biāo)解讀 1.了解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，能運(yùn)用伸縮變化進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換． 2.體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換給圖形帶來(lái)的變化. 1．橫坐標(biāo)的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當(dāng)k＞1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x′，y′)是變換后的點(diǎn))． 2．縱坐標(biāo)的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當(dāng)k＞1時(shí)，表示伸長(zhǎng)；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍(這里(x，y)是變換前的點(diǎn)，(x′，y′)是變換后的點(diǎn))． 3．伸縮變換 一般地，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換φ：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱為伸縮變換． 1．如果x軸的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，圓x2＋y2＝4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？ 【提示】　x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓：＋y2＝1. 伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀． 2．如何理解平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換？ 【提示】　在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長(zhǎng)度，將會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生影響．其特點(diǎn)是坐標(biāo)系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對(duì)應(yīng)的方程不發(fā)生變化．如在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出f(x，y)＝0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度；(2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的k倍； (3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的.第(1)種坐標(biāo)系中的意思是x軸與y軸上的單位長(zhǎng)度一樣，f(x，y)＝0的圖形就是我們以前學(xué)過(guò)的平面直角坐標(biāo)系中的f(x，y)＝0的圖形；第(2)種坐標(biāo)系中的意思是如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的；第(3)種坐標(biāo)系中的意思是如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，此時(shí)f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標(biāo)系中的圖形是不同的． 伸縮變換 　對(duì)下列曲線進(jìn)行伸縮變換(k≠0，且k≠1)． (1)y＝kx＋b； (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 【自主解答】　設(shè)P(x，y)是變換前的點(diǎn)，P′(x′，y′)是變換后的點(diǎn)，由題意，得即 (1)由y′＝k(x′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直線y＝kx＋b經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為y＝kx＋kb，仍然是一條直線． 當(dāng)b＝0時(shí)，該直線和原直線重合；當(dāng)b≠0時(shí)，該直線和原直線平行． (2)由(x′－a)2＋(y′－b)2＝r2，(x′－ka)2＋(y′－kb)2＝(kr)2，得圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為(x－ka)2＋(y－kb)2＝(kr)2，它是一個(gè)圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓． 在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 【解】　設(shè)變換為， 代入直線方程2x′－y′＝4 得：2λx－μy＝4，即λx－y＝2， 比較系數(shù)得： λ＝1，μ＝4， 即直線x－2y＝2圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的4倍可得到直線2x′－y′＝4. 伸縮變換的應(yīng)用 　曲線y＝2sin 3x變換成曲線y＝3sin 2x，求它的一個(gè)伸縮變換． 【思路探究】　設(shè)代入y′＝3sin 2x′，所得式再與y＝2sin 3x比較即可求λ、μ. 【自主解答】　將變換后的曲線y＝3sin 2x改成y′＝3sin 2x′. 設(shè)伸縮變換代入y′＝3sin 2x′； 得μy＝3sin(2λx) 即y＝sin(2λx)，與y＝2sin 3x比較系數(shù)， 得即 所以伸縮變換為 確定一個(gè)伸縮變換，實(shí)際上就是求其變換方法，將新舊坐標(biāo)分清，代入對(duì)應(yīng)的曲線方程，然后比較系數(shù)即可． (1)圓x2＋y2＝a2經(jīng)過(guò)什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)椋?(0＜b＜a)? (2)分析圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線和經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線經(jīng)過(guò)上述伸縮變換后的位置關(guān)系． 【解】　(1)橢圓＋＝1可以化為x2＋＝a2， 設(shè)即 所以圓x2＋y2＝a2經(jīng)過(guò)向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝，可以使方程變?yōu)椋?. (2)若圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y＝kx＋m，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過(guò)該弦中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝－x. 由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直線y＝kx＋m經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥＝x＋m. 由y′＝－x′，得y′＝－x′，所以直線y＝－x經(jīng)過(guò)變換，方程可變?yōu)閥＝－x. 此時(shí)，兩條直線的斜率乘積是定值－. 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為x＝n，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為y＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤＝n，y＝0.此時(shí)兩直線依然垂直． 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為y＝n，則經(jīng)過(guò)其中點(diǎn)的直徑所在直線的方程為x＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥＝n，x＝0.此時(shí)兩直線依然垂直． 　(教材第41頁(yè)習(xí)題4.3第8題)對(duì)下列曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝2： (1)x2－4y2＝16；(2)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 　(xx南京模擬)求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2＋y2＝1變成曲線＋＝1. 【命題意圖】　本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換． 【解】　設(shè)變換為代入方程＋＝1，得＋＝1.與x2＋y2＝1比較，將其變形為x2＋y2＝1，比較系數(shù)得λ＝3，μ＝2. ∴即將圓x2＋y2＝1上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得橢圓＋＝1. 1．直線x＋4y－6＝0按伸縮系數(shù)向著x軸的伸縮變換后，直線的方程是________． 【答案】　x＋8y－6＝0 2．直線2x－3y＝0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是________． 【答案】　2x－9y＝0 3．曲線x2＋y2＝4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是________． 【答案】?。? 4．y＝cos x經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開_____． 【解析】　由，得，代入y＝cos x， 得y′＝cos x′， 即y′＝3cos x′. 【答案】　y＝3cos 1．在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程． (1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1. 【解】　由伸縮變換得到① (1)將①代入2x＋3y＝0，得到經(jīng)過(guò)伸縮變換后的方程為x′＋y′＝0， 所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，直線2x＋3y＝0變成直線x＋y＝0. (2)將①代入x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，方程x2＋y2＝1變成＋＝1. 2．伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓x′2＋＝1.求曲線C的方程． 【解】　把代入x′2＋＝1， 得x2＋y2＝1， 即曲線C的方程為x2＋y2＝1. 3．設(shè)F：(x－1)2＋(y－1)2＝1在的伸縮變換下變?yōu)閳D形F′，求F′的方程． 【解】　由得所以(x－1)2＋(y－1)2＝1變換為(x′－1)2＋(y′－1)2＝1，即＋(y′－1)2＝1，所以F′的方程是＋(y－1)2＝1. 4．雙曲線－＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換能化為等軸雙曲線x2－y2＝1嗎？ 【解】　雙曲線方程－＝1可以化為()2－()2＝1.令則x′2－y′2＝1.所以雙曲線－＝1可以通過(guò)伸縮變換化為等軸雙曲線x2－y2＝1，具體步驟是：按伸縮系數(shù)向著y軸進(jìn)行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數(shù)向著x軸進(jìn)行伸縮變換． 5．已知G是△ABC的重心，經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸(或y軸)的伸縮變換后，得到G′和△A′B′C′.試判斷G′是否為△A′B′C′的重心． 【解】　設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，則G(，)．經(jīng)過(guò)伸縮系數(shù)k向著x軸的伸縮變換后，得到△A′B′C′的三個(gè)頂點(diǎn)及點(diǎn)G′的坐標(biāo)分別為A′(x1，ky1)、B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(，k)．由于△A′B′C′的重心坐標(biāo)為(，)，所以G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可證，若伸縮變換向著y軸方向，G′同樣也是△A′B′C′的重心． 6．已知：△ABC經(jīng)過(guò)伸縮變換(k≠0，且k≠1)后，得到△A′B′C′.求證：△A′B′C′和△ABC相似，且面積比為k2. 【證明】　設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則 A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky2)． 所以A′B′＝ ＝|k| ＝|k|AB. 同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC， 所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′， S△A′B′C′＝(|k|AB)(|k|AC)sin A′ ＝k2[(ABAC)sin A]＝k2S△ABC. 7．設(shè)P1、P2是直線l上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使＝λPP2，稱λ為點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比．設(shè)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，點(diǎn)P分有向線段P1P2所成比為λ，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，點(diǎn)P1、P2和P分別變?yōu)镻1′、P2′和P′.求證：P1′、P2′和P′三點(diǎn)依然共線，且P′分有向線段P1′P2′所成比等于λ. 【證明】　設(shè)P(x0，y0)，由＝λ，得(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x0，y2－y0)， 所以 設(shè)給定伸縮變換為則有 P1′(k1x1，k2y1)、P2′(k1x2，k2y2)、 P′(k1，k2)． ＝(k1－k1x1，k2－k2y1)＝λ(，)， ＝(k1x2－k1，k2y2－k2)＝(，)， 所以＝λ. 所以P1′、P2′和P′三點(diǎn)依然共線，且P′分有向線段P1′P2′所成比等于λ. 教師備選 8．在下列平面直角坐標(biāo)系中，分別作出雙曲線－＝1的圖形： (1)x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度； (2)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的2倍； (3)x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸上單位長(zhǎng)度的倍． 【解】　(1)建立平面直角坐標(biāo)系，使x軸與y軸具有相同的單位長(zhǎng)度，雙曲線－＝1的圖形如下： (2)如果x軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，y軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線－＝1的圖形如下： (3)如果y軸上的單位長(zhǎng)度保持不變，x軸上的單位長(zhǎng)度縮小為原來(lái)的，雙曲線－＝1的圖形如下：  選修4－4 　　　　　　 階段歸納提升 坐標(biāo)系)) 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式或當(dāng)不能直接使用公式時(shí)，可通過(guò)適當(dāng)變換，化成能使用的形式． 　把下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)M(5，π)；(2)N(2，π)；(3)P(2，π)；(4)Q(2，－)． 【解】　(1)由題意知x＝5cos π＝5(－)＝－，y＝5sin π＝5＝. 所以M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－，)． (2)x＝2cos π＝20＝0， y＝2sin π＝2(－1)＝－2. 所以N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，－2)． (3)x＝2cos π＝2(－)＝－， y＝2sin π＝2(－)＝－. 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－，－)． (2)x＝2cos(－)＝2＝， y＝2sin(－)＝2(－)＝－1. 所以Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Q(，－1). 極坐標(biāo)的應(yīng)用 主要應(yīng)用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式解決問(wèn)題，注意極坐標(biāo)系中的ρ和θ的含義． 　(xx陜西高考)直線2ρcos θ＝1與圓ρ＝2cos θ相交的弦長(zhǎng)為________． 【解析】　直線2ρcos θ＝1可化為2x＝1，即x＝；圓ρ＝2cos θ兩邊同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化為直角坐標(biāo)方程是x2＋y2＝2x. 將x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝， ∴y＝. ∴弦長(zhǎng)為2＝. 【答案】　 伸縮變換 變換公式其中P(x，y)為變換前的點(diǎn)，P′(x′，y′)為變換后的點(diǎn)． 　將圓錐曲線C按伸縮變換公式變換后得到雙曲線x′2－y′2＝1，求曲線C的方程． 【解】　設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，通過(guò)伸縮變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′(x′，y′)， 由 得 代入x′2－y′2＝1 得()2－()2＝1，即－＝1為所求． 綜合檢測(cè)(一) (時(shí)間90分鐘，滿分120分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)把答案填在題中橫線上) 1．極坐標(biāo)為M(8，－)，N(8，)，P(－8，)，Q(－8，)的四點(diǎn)中，與點(diǎn)A(8，)表示同一點(diǎn)的有________個(gè)． 【答案】　3 2．已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－，3)，其極坐標(biāo)為________． 【答案】　(2，) 3．曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝－4sin θ化成直角坐標(biāo)方程為________． 【答案】　x2＋(y＋2)2＝4 4．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于點(diǎn)A、B，則AB＝________. 【解析】　平面直角坐標(biāo)系中，曲線ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分別表示圓x2＋(y＋2)2＝4和直線x＝1，作圖易知AB＝2. 【答案】　2 5．極坐標(biāo)方程ρ＝表示的曲線是______． 【答案】　橢圓 6．以(1，π)為圓心，且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程是________． 【答案】　ρ＝－2cos θ 7．(xx北京高考)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離等于________． 【解析】　極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為(，1)．極坐標(biāo)系中直線ρsin θ＝2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線y＝2.故所求距離為1. 【答案】　1 8．已知點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為(，，)，則點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為________，球坐標(biāo)為________． 【解析】　設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(x，y，z)，柱坐標(biāo)為(ρ，θ，z)，球坐標(biāo)為(r，φ，θ)， 由　　得 由 得 即 所以點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(－，，)， 球坐標(biāo)為(，，)． 【答案】　(－，π，π)　(π，，π) 9．在極坐標(biāo)系中，曲線ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置關(guān)系是________． 【答案】　相切 10．極坐標(biāo)方程sin θ＝－表示的曲線是______． 【答案】　兩條直線 11．(xx天津高考)已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，圓心為C，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，則|CP|＝________. 【解析】　由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圓心C的直角坐標(biāo)為(2,0)．又點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2,2)， 因此|CP|＝2. 【答案】　2 12．(xx湖南高考)在極坐標(biāo)系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個(gè)交點(diǎn)在極軸上，則a＝________. 【解析】　ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1對(duì)應(yīng)的普通方程為x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)對(duì)應(yīng)的普通方程為x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.將(，0)代入x2＋y2＝a2得a＝. 【答案】　 13．在同一平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)過(guò)伸縮變換后曲線C變?yōu)榍€2x′2＋8y′2＝1，則曲線C的方程為________． 【解析】　將代入2x′2＋8y′2＝1，得： 2(5x)2＋8(3y)2＝1，即50x2＋72y2＝1. 【答案】　50x2＋72y2＝1 14．已知圓的極坐標(biāo)方程ρ＝2cos θ，直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，則圓心到直線的距離為________． 【解析】　將ρ＝2cos θ化為ρ2＝2ρcos θ，即有 x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1. 將ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化為x－2y＋7＝0， 故圓心到直線的距離d＝＝. 【答案】　 二、解答題(本大題共4小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M坐標(biāo)是(2，)，曲線C的方程為ρ＝2sin(θ＋)；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和極點(diǎn)． (1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)． 【解】　(1)∵直線l過(guò)點(diǎn)M(2，)和極點(diǎn)， ∴直線l的極坐標(biāo)方程是θ＝(ρ∈R)． ρ＝2sin(θ＋)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－2y＝0. (2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1，)，直線l過(guò)點(diǎn)M和原點(diǎn)， ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝x. 曲線C的圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑r＝，圓心到直線l的距離為d＝，∴AB＝＋2. 16．(本小題滿分12分)在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C變?yōu)榍€(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲線C的方程，并判斷其形狀． 【解】　將代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1， 得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1. 化簡(jiǎn)，得(x－)2＋(y＋3)2＝. 該曲線是以(，－3)為圓心，半徑為的圓． 17．(本小題滿分13分)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的頂點(diǎn)O，作兩垂直的弦OA、OB，求△AOB的面積的最小值． 【解】　取O為極點(diǎn)，Ox軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，將拋物線方程化成極坐標(biāo)方程，有ρ2sin2θ＝2pρcos θ，設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)，因?yàn)镺A⊥OB，所以A的極坐標(biāo)為(ρ2，＋θ)． 所以ρ1＝，ρ2＝. 所以S△AOB＝OAOB ＝ ＝＝≥4p2， 當(dāng)θ＝時(shí)取到等號(hào)，因此△AOB的面積的最小值為4p2. 18．(本小題滿分13分)過(guò)曲線ρ＝的右焦點(diǎn)作一傾斜角為60的直線l，求l被曲線截得的弦長(zhǎng)． 【解】　設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B. 設(shè)A(ρ1，θ)，則B(ρ2，π＋θ)． 弦長(zhǎng)AB＝|ρ1＋ρ2|＝|＋| ＝|＋|＝|| ＝||＝.