2019-2020年高中數學 第3章 空間向量與立體幾何 1.1空間向量及其線性運算 蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數學 第3章 空間向量與立體幾何 1.1空間向量及其線性運算 蘇教版選修2-1 課時目標　1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示和字母表示.2.掌握空間向量的加減運算及其運算律，能借助圖形理解空間向量及其運算的意義． 1．空間向量中的基本概念 (1)空間向量：在空間，我們把既有________又有________的量，叫做空間向量． (2)相等向量：________相同且________相等的有向線段都表示同一向量或者相等向量． (3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線______________或________，那么這些向量叫做共線向量或平行向量． 2．空間向量的線性運算及運算律 類似于平面向量，我們可以定義空間向量的加法和減法運算及數乘運算： ＝＋＝________， ＝－＝________， ＝λa (λ∈R)． 　　 空間向量加法的運算律 (1)交換律：______________. (2)結合律：(a＋b)＋c＝____________. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb (λ∈R)． 3．共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b (a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數λ，使__________． 規(guī)定：零向量與任意向量共線． 一、填空題 1．判斷下列各命題的真假： ①向量的長度與向量的長度相等； ②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反； ③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同； ④兩個有公共終點的向量，一定是共線向量； ⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段． 其中假命題的個數為________． 2.已知向量，，滿足||＝||＋||，則下列敘述正確的是________．(寫出所有正確的序號) ①＝＋； ②＝－－； ③與同向； ④與同向． 3.在正方體ABCD-A1B1C1D中，向量表達式－＋化簡后的結果是________． 4.在平行六面體ABCD-A1B1C1D中，用向量，，來表示向量AC1的表達式為________________________________________________________________________． 5.四面體ABCD中，設M是CD的中點，則＋(＋)化簡的結果是________． 6．平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，下列結論中正確的有________．(寫出所有正確的序號) ①＋＋＝0；②－－＝0； ③＋－＝0；④－＋＝0. 7.如圖所示，a,b是兩個空間向量，則與是________向量，與是________向量． 8.在正方體ABCD-A1B1C1D中，化簡向量表達式＋＋＋的結果為________． 二、解答題 9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連結AC，BD，E，F，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡(1)＋＋，(2)＋＋，并標出化簡結果的向量． 10．設A是△BCD所在平面外的一點，G是△BCD的重心． 求證：＝(＋＋)． 能力提升 11.在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若＝a，＝b，則＝______________________. 12．證明：平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分． 1．在掌握向量加減法的同時，應掌握有特殊位置關系的兩個向量的和或差，如共線、共起點、共終點等． 2．共線向量定理包含兩個命題，特別是對于兩個向量a、b，若存在惟一實數λ，使b＝λa (a≠0)?a∥b，可作為以后證明線線平行的依據，但必須保證兩線不重合． 再者向量共線不具有傳遞性，如a∥b，b∥c，不一定有a∥c，因為當b＝0時，雖然a∥b，b∥c，但a不一定與c平行． 3．運用空間向量的運算法則化簡向量表達式時，要結合空間圖形，觀察分析各向量在圖形中的表示，然后運用運算法則把空間向量轉化為平面向量解決，并要化簡到最簡為止． 第3章　空間向量與立體幾何 3.1　空間向量及其運算 3．1.1　空間向量及其線性運算 知識梳理 1．(1)大小　方向　(2)方向　長度　(3)互相平行　重合 2．a＋b　a－b　(1)a＋b＝b＋a　(2)a＋(b＋c) 3．b＝λa 作業(yè)設計 1．3 解析　①真命題；②假命題，若a與b中有一個為零向量時，其方向是不確定的；③真命題；④假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；⑤假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段． 2．④ 解析　由||＝||＋||＝||＋||，知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以與同向． 3. 解析　如圖所示， ∵＝，－＝－＝， ＋＝， ∴－＋＝. 4.＝＋＋ 解析　因為＋＝，＋＝， 所以＝＋＋. 5. 解析　如圖所示， 因為(＋)＝， 所以＋(＋) ＝＋＝. 6．① 解析　觀察平行六面體ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相連，于是＋＋＝0. 7．相等　相反 8．0 解析　在任何圖形中，首尾相接的若干個向量和為零向量． 9． 解　(1)＋＋＝＋＝. (2)∵E，F，G分別為BC，CD，DB的中點． ∴＝，＝. ∴＋＋＝＋＋＝. 故所求向量，，如圖所示． 10． 證明　連結BG，延長后交CD于E，由G為△BCD的重心， 知＝. ∵E為CD的中點， ∴＝＋. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝(＋＋)． 11.a＋b 解析?。剑? ＝a＋ ＝a＋(b－a) ＝a＋b. 12．證明　如圖所示，平行六面體ABCD—A′B′C′D′，設點O是AC′的中點， 則＝ ＝(＋＋)． 設P、M、N分別是BD′、CA′、DB′的中點． 則＝＋＝＋ ＝＋(＋＋) ＝＋(－＋＋) ＝(＋＋)． 同理可證：＝(＋＋) ＝(＋＋)． 由此可知O，P，M，N四點重合． 故平行六面體的對角線相交于一點，且在交點處互相平分．