2019-2020年高中數學 2.3 變換的復合與矩陣的乘法教案 蘇教版選修4-2.doc

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2019-2020年高中數學 2.3 變換的復合與矩陣的乘法教案 蘇教版選修4-2 2．3.1矩陣乘法的概念 2．3.2矩陣乘法的簡單性質 課標解讀 1.熟練掌握兩個矩陣的乘法法則，并能從變換的角度理解它們． 2．會從幾何變換的角度求MN的乘積矩陣． 3．通過具體的幾何圖形變換，理解矩陣乘法不滿足交換律. 1．矩陣的乘法 一般地，對于矩陣M＝，N＝，規(guī)定乘法法則如下： MN＝ ＝. 2．矩陣乘法的幾何意義 (1)變換的復合：在數學中，一一對應的平面幾何變換?？梢钥醋鍪巧靿?、反射、旋轉、切變變換的一次或多次復合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換；對應的矩陣叫做初等變換矩陣． (2)矩陣乘法的幾何意義： 矩陣乘法MN的幾何意義為：對向量α＝連續(xù)實施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復合變換． (3)當連續(xù)對向量實施(n＞1且n∈N*)次變換TM時，對應地我們記Mn＝MM…M. 3．矩陣乘法的運算性質 (1)矩陣乘法不滿足交換律 對于二階矩陣A、B來說，盡管AB、BA均有意義，但可能AB≠BA. (2)矩陣乘法滿足結合律 設M、N、P均為二階矩陣， 則一定有(MN)P＝M(NP)． (3)矩陣乘法不滿足消去律 設A、B、C為二階矩陣，當AB＝AC時，可能B≠C. 1．矩陣的乘法與實數的乘法有什么異同？ 【提示】　(1)運算條件不同，任何兩個實數均可作乘法，而兩個矩陣只有當前一個矩陣的列數與后一個矩陣的行數相同時，才能作乘法． (2)從運算律上看，實數的乘法滿足交換律、結合律及消去律，而矩陣的乘法只滿足結合律． 2．矩陣的乘法與變換的復合有什么關系？簡單變換與復合變換有什么關系？ 【提示】　矩陣的乘法對應著變換的復合，這樣使得若干個簡單變換可以復合成較為復雜的變換；反過來較為復雜的變換可以分解成若干個簡單的變換． 3．矩陣乘法MN與NM的幾何意義一致嗎？為什么？ 【提示】　不一致；因為前一個對應著先TN后TM的兩次幾何變換，而后者對應著先TM后TN的兩次幾何變換. 矩陣的乘法運算 　(1)已知A＝，B＝，計算AB. (2)已知A＝，B＝，計算AB，BA. (3)已知A＝，B＝，計算A2、B2. 【思路探究】　利用矩陣乘法法則計算，根據矩陣乘法的幾何意義說明． 【自主解答】　(1)AB＝ ＝ ＝. (2)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (3)A2＝＝， B2＝＝. 這些計算只需利用矩陣的乘法公式即可，但對揭示矩陣乘法的性質卻有著重要的意義．(1)中盡管A、B均為非零矩陣，但它們的乘積卻是零矩陣；(2)中AB≠BA；(3)中盡管B≠C，但有AB＝AC，這與一般數乘有著本質的區(qū)別；(4)中A2＝A，B2＝0，這里0是一個二階零矩陣． 證明下列等式并從幾何變換的角度給予解釋． ＝ 【解】　∵左＝ ＝， 右＝＝， ∴左＝右． 對應的變換將平面上的點垂直投影到x軸，而x軸上的點沿x軸的切變變換是不動點.，均為沿x軸的切變變換，自然有等式成立. 矩陣乘法的簡單性質 　已知正方形ABCD，點A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)、D(0,0)，變換T1所對應的矩陣M＝，變換T2所對應的矩陣N＝，計算MN、NM，比較它們是否相同，并從幾何變換的角度予以解釋． 【思路探究】　利用具體的幾何變換驗證． 【自主解答】　MN＝＝， NM＝ ＝. 故MN≠NM. 從幾何變換的角度來看，矩陣M表示T1為向x軸壓縮為一半的變換，矩陣N表示T2為逆時針旋轉90的變換． 這樣MN表示矩陣ABCD先經T2，再經T1的變換，變換結果如圖所示： 而NM表示矩形ABCD先經T1，再經T2的變換，變換結果如圖． (2) 從圖(1)以及圖(2)可知，MN和NM表示的不是同一個變換． 一個旋轉變換與一個伸壓變換的乘積一般不滿足交換律．但兩個旋轉變換、兩個反射變換滿足交換律． 算式＝表示AB＝AC，但A≠0且有B≠C，請通過計算驗證這個結果，并從幾何上給予解釋． 【解】　左邊＝＝ 右邊＝＝. ∴左邊＝右邊． 表示先將平面上的點橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再往x軸上投影． 表示先將平面上的點橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的，再往x軸上投影. 變換的復合問題 　已知圓C：x2＋y2＝1，先將圓C作關于矩陣P＝的伸壓變換，再將所得圖形繞原點逆時針旋轉90，求所得曲線的方程． 【思路探究】　先求出旋轉90的矩陣Q，進而求QP，再求曲線方程． 【自主解答】　繞原點逆時針旋轉90的變換矩陣Q＝， 則M＝QP ＝＝. 4分 設A(x0，y0)為圓C上的任意一點，在TM變換下變?yōu)榱硪稽cA′(x′0，y′0)， 則＝， 即所以 又因為點A(x0，y0)在曲線x2＋y2＝1上， 所以(y′0)2＋2＝1. 故所得曲線的方程為＋y2＝1. 矩陣的乘法對應著變換的復合，而兩個變換的復合仍是一個變換，且兩個變換的復合過程是有序的，不能顛倒． 若將本例中兩次變換的順序交換，則曲線的方程如何？ 【解】　繞原點逆時針旋轉90的變換矩陣 Q＝， 則M＝PQ＝＝. 設A(x0，y0)為圓C上的任意一點，在TM變換下變?yōu)榱硪稽cA′(x′0，y′0)，則＝， 即所以 又因為點A(x0，y0)在曲線x2＋y2＝1上， 所以2＋(－x′0)2＝1. 故所得曲線的方程為x2＋＝1. 　(教材第47頁習題2.3第5題)已知△ABC，A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，對它先作M＝對應的變換，再作N＝對應的變換，試研究變換作用后的結果，并用一個矩陣來表示這兩次變換． 　(xx南京模擬)已知曲線C1：x2＋y2＝1，對它先作矩陣A＝對應的變換，再作矩陣B＝對應的變換，得到曲線C2：＋y2＝1.求實數b的值． 【命題意圖】　本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解能力． 【解】　從曲線C1變到曲線C2的變換對應的矩陣為BA＝＝. 在曲線C1上任意選一點P(x0，y0)，設它在矩陣BA對應的變換作用下變?yōu)镻′(x′，y′)， 則有＝，即＝. 故解得代入曲線C1方程得，y′2＋(x′)2＝1. 即曲線C2方程為：()2x2＋y2＝1. 與已知的曲線C2的方程＋y2＝1比較得(2b)2＝4. 所以b＝1. 1．若A＝，B＝，則AB＝________，BA＝________. 【解析】　AB＝＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. 【答案】　　　 2．若A＝，B＝，C＝，則AB＝________，AC＝________. 【解析】　AB＝＝， AC＝＝. 【答案】　　　 3．若A＝，則A2＝________. 【解析】　A2＝＝ ＝. 【答案】　 4．矩陣乘法的幾何意義是________． 【解析】　幾何意義是先施以沿y軸方向的伸壓變換，再施以原點為中心的反射變換． 【答案】　先施以沿y軸方向的伸壓變換，再施以原點為中心的反射變換 1．已知A＝，B＝，C＝，計算AB、AC. 【解】　AB＝＝， AC＝＝. 2．計算. 【解】　原式＝ ＝ ＝. 3．已知M＝，W＝，試求滿足MZ＝W的二階矩陣Z. 【解】　設Z＝，則MZ＝＝.又因為MZ＝W，且W＝，所以＝， 所以解得 故Z＝. 4．驗證下列等式，并說明其幾何意義(結合法從右到左進行)． (1)＝； (2)＝. 【解】　(1)右邊＝ ＝＝＝左邊．故等式成立． 從幾何變換上說，矩陣把點P(x，y)切變到點P1(y，x＋y)；矩陣把點P1(y，x＋y)切變到點P2(x＋2y，x＋y)；矩陣把點P2(x＋2y，x＋y)垂直于x軸伸長2倍變成點P3(x＋2y,2x＋2y)；矩陣把點P3(x＋2y,2x＋2y)向y軸正向切變到點P4(x＋2y,3x＋4y)．這樣連續(xù)實施以上四次變換的結果與用矩陣直接把點P(x，y)變到點P4(x＋2y,3x＋4y)是一致的． (2)右邊＝＝＝左邊．故等式成立．從幾何上看，矩陣把點A(x，y)以直線y＝x為對稱軸，反射到其點A1(y，x)；而把點A1(y，x)平行于x軸切變到點A2(y＋kx，x)；矩陣把點A2(y＋kx，x)以直線y＝x為對稱軸，反射到對稱點A3(x，y＋kx)．這樣連續(xù)三次變換的結果與用矩陣直接把點A(x，y)沿y軸切變到A3(x，y＋kx)是一致的． 5．試求曲線y＝sin x在矩陣MW變換下的函數解析式，其中M＝，W＝. 【解】　MW＝ ＝＝. 設(x′，y′)是曲線y＝sin x上任意一點，變換后曲線上與之對應的點為(x，y)， 則有＝，即＝， 所以即 所以y＝sin 2x，即y＝2sin 2x. 故曲線y＝sin x在矩陣MW變換下的函數解析式為y＝2sin 2x. 6．求曲線2x2－2xy＋1＝0在矩陣MN對應的變換作用下得到的曲線方程，其中M＝，N＝. 【解】　MN＝＝， 設P(x′，y′)是曲線2x2－2xy＋1＝0上任意一點，點P在矩陣MN對應的變換下變?yōu)辄cP′(x，y)， 則有＝＝ 于是x′＝x，y′＝x＋. 代入2x′2－2x′y′＋1＝0得xy＝1， 所以曲線2x2－2xy＋1＝0在MN對應的變換作用下得到的曲線方程為xy＝1. 7．已知晴天和陰天的轉移矩陣A，及表示今天天氣晴、陰的概率α分別為A＝明天，α＝今天 (1)計算A2、A3，并分別說明A2、A3的實際意義； (2)請用矩陣A與向量α表示出明天，后天與再后天的天氣晴、陰的概率． 【解】　(1)A2＝，A3＝， 它們分別表示 A2＝后天， A3＝再后天. (2)明天天氣晴、陰概率Aα＝； 后天天氣晴、陰概率A2α＝； 再后天天氣晴、陰概率A3α＝. 教師備選 8．設TA是繞原點旋轉且旋轉60的旋轉變換，TB是以直線x＋y＝0為軸的反射變換，求先進行TA變換后進行TB變換的復合變換對應的矩陣． 【解】　若逆時針方向旋轉，則TA，TB對應的矩陣分別為 A＝＝， B＝， 故所求矩陣為 BA＝＝. 若順時針方向旋轉， 則TA，TB對應的矩陣分別為 A＝＝， B＝，故所求矩陣為 BA＝＝. 綜上所述，所求矩陣為 或.  一、矩陣的乘法運算 矩陣與矩陣的乘法運算是高考考查本章知識的一個重要考點． 　已知二階矩陣M滿足M＝，M＝，求M2. 【解】　設M＝， 由M＝得＝， 所以a＝1，c＝0. 由M＝得＝， 所以b＝1，d＝2. 所以M＝. 所以M2＝＝. 所以M2＝＝. 二、矩陣的乘法與變換的復合問題 以矩陣乘法為載體考查矩陣變換的有關知識是高考考查的熱點． 　在平面直角坐標系中，△OAB的頂點O(0,0)，A(2,0)，B(1，)，求 △OAB在矩陣MN的作用變換下所得圖形的面積，其中M＝， N＝. 【解】　MN＝ ＝ ＝. 又因為＝， ＝， ＝， 所以O，A，B三點在矩陣MN的作用變換下所得點分別為O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)， 所以S△O′A′B′＝21＝1. 故△OAB在矩陣MN的作用變換下所得圖形的面積為1. 　已知矩陣A＝，B＝，求拋物線y2＝x經過矩陣AB作用下變換得到的曲線方程． 【解】　AB＝＝. 在曲線y2＝x上任取一點P(x，y)，它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)镻′(x′，y′)，則有＝，即即代入y2＝x，得y′＝x′2，所以曲線y2＝x經過矩陣AB作用下變換得到的曲線方程為y＝x2. 三、數形結合思想 我們從平面變換的觀點引入了二階矩陣的乘法，矩陣變換是數學中變換的一種方法，利用矩陣的方法實際上是把某些幾何圖形的變換轉化為代數的運算，使具體的問題抽象化，把某些方法進行統一．在解決代數問題時，矩陣方法主要是對運算過程的一種簡化，也是對運算本質的一種提煉．因此本章中始終貫穿數形結合的思想． 　已知矩形ABCD，其中A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，將矩形繞原點逆時針旋轉90，再將所得圖形作關于y軸的反射變換． (1)求連續(xù)兩次變換所對應的變換矩陣M； (2)求點A、B、C、D在連續(xù)兩次變換后所得到的結果； (3)在平面直角坐標系內畫出兩次對應的幾何圖形，并驗證(2)中的結論． 【解】　(1)繞原點逆時針方向旋轉90的變換矩陣為Q＝，而關于y軸的變換矩陣為P＝，則連續(xù)兩次變換所對應的變換矩陣M由矩陣乘法可得． M＝PQ＝＝. (2)因為＝，＝，＝，＝. 所以點A、B、C、D分別變換成點A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0)．如圖所示． (3)從幾何變換角度，先作繞原點逆時針旋轉90的變換T1，再將所得圖形作關于y軸的軸反射變換T2，所得結果與(2)一致，如圖所示． 綜合檢測(三) 1．計算： (1)； (2). 【解】　(1) ＝ ＝. (2)＝ ＝. 2．已知A＝，B＝，計算AB，并從變換的角度解釋． 【解】　AB＝ ＝. AB所對應的變換為復合變換，即由旋轉變換和切變變換連續(xù)變換得到的． 3．已知M＝，A＝，且MN＝A，求二階矩陣N. 【解】　設N＝，則 ＝＝， ∴ 解得 ∴N＝. 4．設E為二階單位矩陣，試證明對于任意二階矩陣M，ME＝EM＝M. 【證明】　設M＝，a，b，c，d均為實數，則 ME＝＝＝M， EM＝ ＝＝M. 所以等式得證． 5．已知A＝，試求A2，A3，并據此猜想An(n∈N*)． 【解】　因為A＝， 所以A2＝＝ ＝， A3＝ ＝， 所以據此猜想An＝. 6．根據如圖所示的變換，你能將其分解為已知的一些變換嗎？ 【解】　(1)先施以矩陣對應的關于原點的中心反射變換，再往以矩陣對應的伸壓變換得到． (2)先施以矩陣對應的伸壓變換，再施以矩陣對應的伸壓變換得到． 7．已知矩陣A＝，B＝. (1)計算AB，BA； (2)設M＝AB，N＝BA，若矩陣M，N分別把直線l：x＋y＋2＝0變?yōu)橹本€l1，l2，求直線l1，l2的方程． 【解】　(1)AB＝ ＝ ＝， BA＝ ＝ ＝. (2)任取直線l上一點P(x，y)經矩陣M變換后為點P′(x′，y′)， 則＝＝， ∴，即， 把上式代入x＋y＋2＝0得： x′＋y′＋x′＋y′＋2＝0， 即x′＋y′＋2＝0， ∴直線l1的方程為x＋y＋2＝0， 同理可求l2的方程為3x＋7y＋10＝0. 8．在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別為A(0,0)，B(1,1)，C(0,2)，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積，這里矩陣M＝，N＝. 【解】　由題設得MN＝＝. 由＝，＝， ＝， 可知A，B，C三點在矩陣MN作用下變換所得到的點分別是A′(0,0)，B′(1，－1)，C′(0，－2)．計算得△A′B′C′的面積為1. 所以△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積為1. 9．已知矩陣M＝，N＝， 且MN＝. (1)求實數a，b，c，d的值； (2)求直線y＝3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象． 【解】　由題設得，解得：. (2)設直線y＝3x上的任意點(x，y)，在矩陣M所對應的線性變換作用下的象是點(x′，y′)， 由＝＝＝得y′＝－x′，即點(x′，y′)必在直線y＝－x上．由(x，y)的任意性可知，直線y＝3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程為y＝－x. 10．假設我們收集到蘋果和香蕉在兩個不同商店的價格，每個男性與女性分別對這兩種水果的日需求量以及兩個不同公司中男性與女性人員數量，并用矩陣表示如下： 　　　　價格　　　　　　日需求量 A＝，B＝， 　　　人員數量 C＝. 利用A，B，C，按下列要求求出矩陣乘積： (1)計算乘積BA，并說明該乘積矩陣表示的是什么量表； (2)哪兩個矩陣的乘積可以表示兩個不同公司對兩種不同水果的日需求量？并計算出這個量表． 【解】　(1)BA＝＝. 由于7.1＝11.5＋22.8，表示男性每日在A店買蘋果和香蕉共需消費7.1元；10.1＝31.5＋22.8，表示女性每日在A店買蘋果和香蕉共需消費10.1元．故BA表示男、女在A，B兩店每日需消費的金額，用量表表示如下： BA＝. (2)C與B的乘積可以表示兩個不同公司對兩種不同水果的日需求量： CB＝ ＝， 故量表為 D＝.