2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第八課時 等比數(shù)列教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第八課時 等比數(shù)列教案(二) 蘇教版必修5 教學目標: 靈活應用等比數(shù)列的定義及通項公式,深刻理解等比中項概念,掌握等比數(shù)列的性質(zhì);提高學生的數(shù)學素質(zhì),增強學生的應用意識. 教學重點: 1.等比中項的理解與應用. 2.等比數(shù)列定義及通項公式的應用. 教學難點: 靈活應用等比數(shù)列定義、通項公式、性質(zhì)解決一些相關問題. 教學過程: Ⅰ.復習回顧 等比數(shù)列定義,等比數(shù)列通項公式 Ⅱ.講授新課 根據(jù)定義、通項公式,再與等差數(shù)列對照,看等比數(shù)列具有哪些性質(zhì)? (1)若a,A,b成等差數(shù)列a=,A為等差中項. 那么,如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,…… 則即=,即G2=ab 反之,若G2=ab,則=,即a,G,b成等比數(shù)列 ∴a,G,b成等比數(shù)列G2=ab (ab≠0) 總之,如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.即G=,(a,b同號) 另外,在等差數(shù)列中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq,那么,在等比數(shù)列中呢? 由通項公式可得:am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,aq=a1qq-1 不難發(fā)現(xiàn):aman=a12qm+n-2,apaq=a12qp+q-2 若m+n=p+q,則aman=apaq 下面看應用這些性質(zhì)可以解決哪些問題? [例1]在等比數(shù)列{an}中,若a3a5=100,求a4. 分析:由等比數(shù)列性質(zhì),若m+n=p+q,則aman=apaq可得: 解:∵在等比數(shù)列中,∴a3a5=a42 又∵a3a5=100,∴a4=10. [例2]已知{an}、{bn}是項數(shù)相同的等比數(shù)列,求證{anbn}是等比數(shù)列. 分析:由等比數(shù)列定義及通項公式求得. 解:設數(shù)列{an}的首項是a1,公比為p;{bn}的首項為b1,公比為q. 則數(shù)列{an}的第n項與第n+1項分別為a1pn-1,a1pn 數(shù)列{bn}的第n項與第n+1項分別為b1qn-1,b1qn. 數(shù)列{anbn}的第n項與第n+1項分別為a1pn-1b1qn-1與a1pnb1qn,即為 a1b1(pq)n-1與a1b1(pq)n ∵==pq 它是一個與n無關的常數(shù), ∴{anbn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列. 特別地,如果{an}是等比數(shù)列,c是不等于0的常數(shù),那么數(shù)列{can}是等比數(shù)列. [例3]三個數(shù)成等比數(shù)列,它們的和等于14,它們的積等于64,求這三個數(shù). 解:設m,G,n為此三數(shù) 由已知得:m+n+G=14,mnG=64, 又∵G2=mn,∴G3=64,∴G=4,∴m+n=10 ∴或 即這三個數(shù)為2,4,8或8,4,2. 評述:結合已知條件與定義、通項公式、性質(zhì),選擇解題捷徑. Ⅲ.課堂練習 課本P50練習1,2,3,4,5. Ⅳ.課時小結 本節(jié)主要內(nèi)容為: (1)若a,G,b成等比數(shù)列,則G2=ab,G叫做a與b的等比中項. (2)若在等比數(shù)列中,m+n=p+q,則aman=apaq Ⅴ.課后作業(yè) 課本P52習題 5,6,7,9 等比數(shù)列(二) 1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 2.在等比數(shù)列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,則m等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 3.非零實數(shù)x、y、z成等差數(shù)列,x+1、y、z與x、y、z+2分別成等比數(shù)列,則y等于( ) A.10 B.12 C.14 D.16 4.有四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,其和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為12,求此四數(shù). 5.在數(shù)列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,a1=1,b1=2,a2=3,求an∶bn的值. 6.設x>y>2,且x+y,x-y,xy,能按某種順序構成等比數(shù)列,試求這個等比數(shù)列. 7.有四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,首末兩項的和為21,中間兩項的和為18,求這四個數(shù). 等比數(shù)列(二)答案 1.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 分析:要確定一個等比數(shù)列,必須有兩個獨立條件,而這里只有一個條件,故用先確定基本量a1和q,再求a3+a5的方法是不行的,而應尋求a3+a5整體與已知條件之間的關系. 解法一:設此等比數(shù)列的公比為q,由條件得a1qa1q3+2a1q2a1q4+a1q3a1q5=25 即a12q4(q2+1)2=25,又an>0,得q>0 ∴a1q2(q2+1)=5 a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(q2+1)=5 解法二:∵a2a4+2a3a5+a4a6=25 由等比數(shù)列性質(zhì)得a32+2a3a5+a52=25 即(a3+a5)2=25,又an>0,∴a3+a5=5 評述:在運用方程思想方法的過程中,還要注意整體觀念,善于利用等比數(shù)列的性質(zhì),以達到簡化解題過程、快速求解的目的. 2.在等比數(shù)列中,a1=1,q∈R且|q|≠1,若am=a1a2a3a4a5,則m等于 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 解:∵am=a1a2a3a4a5=a15q1+2+3+4=a15q10=a15q11-1 又∵a1=1,∴am=q11-1,∴m=11. 答案:C 3.非零實數(shù)x、y、z成等差數(shù)列,x+1、y、z與x、y、z+2分別成等比數(shù)列,則y等于( ) A.10 B.12 C.14 D.16 解:由已知得y=12 答案:B 4.有四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,其和為19,后三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為12,求此四數(shù). 解:設所求的四個數(shù)分別為a,x-d,x,x+d 則 解得x=4,代入①、②得 解得或 故所求四個數(shù)為25,-10,4,18或9,6,4,2. 5.在數(shù)列{an}和{bn}中,an>0,bn>0,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,a1=1,b1=2,a2=3,求an∶bn的值. 分析:關鍵是求出兩個數(shù)列的通項公式.根據(jù)條件,應注意兩個數(shù)列之間的聯(lián)系及相互轉換. 解:由題意知: ∴an+1=,an= (n≥2) 代入①得2bn=+ 即2=+ (n≥2) ∴{}成等差數(shù)列,設公差為d 又b1=2,b2==, ∴d=-=-= ∴=+(n-1)=(n+1),bn=(n+1)2, 當n≥2時,an== ③ 且a1=1時適合于③式,故 =. 評述:對于通項公式有關系的兩個數(shù)列的問題,一般采用消元法,先消去一個數(shù)列的項,并對只含另一個數(shù)列通項的關系進行恒等變形,構造一個新的數(shù)列. 6.設x>y>2,且x+y,x-y,xy,能按某種順序構成等比數(shù)列,試求這個等比數(shù)列. 分析:先由x>y>2,可知x-y<x+y<xy,下來只需討論 和x-y的大小關系,分成兩種情況討論. 解:∵x>y>2,x+y>x-y,xy>x+y,而 <1<x-y 當 <x-y時,由 ,x-y,x+y,xy順次構成等比數(shù)列. 則有 解方程組得x=7+5,y=5+ ∴所求等比數(shù)列為,2+,12+,70+. 當 >x-y時,由x-y, ,x+y,xy順次構成等比數(shù)列 則有 解方程組得y=,這與y>2矛盾,故這種情況不存在. 7.有四個數(shù),前三個數(shù)成等比數(shù)列,后三個數(shù)成等差數(shù)列,首末兩項的和為21,中間兩項的和為18,求這四個數(shù). 分析一:從后三個數(shù)入手. 解法一:設所求的四個數(shù)為 ,x-d,x,x+d,根據(jù)題意有 ,解得或 ∴所求四個數(shù)為3,6,12,18或,,,. 分析二:從前三數(shù)入手. 解法二:設前三個數(shù)為 ,x,xq,則第四個數(shù)為2xq-x. 依題設有,解得或 故所求的四個數(shù)為3,6,12,18或,,,. 分析三:從首末兩項的和與中間兩項的和入手. 解法三:設欲求的四數(shù)為x,y,18-y,2-x,由已知得: ,解得或 ∴所求四數(shù)為3,6,12,18或,,,.- 配套講稿:
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