2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.1 隨機(jī)事件的概率 3.1.3 概率的基本性質(zhì)教學(xué)案 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.1 隨機(jī)事件的概率 3.1.3 概率的基本性質(zhì)教學(xué)案 新人教A版必修3 預(yù)習(xí)課本P119～121，思考并完成以下問(wèn)題 (1)事件B包含事件A的含義是什么？ 　 (2)什么叫做兩個(gè)事件的相等？ 　 (3)什么叫和事件？什么是積事件？ 　 (4)什么是互斥事件？什么叫對(duì)立事件？ 　 (5)概率的基本性質(zhì)是什么？ 　 　　　 1．事件的關(guān)系與運(yùn)算 (1)事件的關(guān)系： 定義 表示法 圖示 包含關(guān)系 一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 A?B且B?A A＝B 事件互斥 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 事件對(duì)立 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 A∩B＝? 且A∪B＝U (2)事件的運(yùn)算： 定義 表示法 圖示 并事件 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B (或AB) 2．概率的幾個(gè)基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：[0,1]． (2)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0. (3)概率加法公式為：如果事件A與B為互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (4)若A與B為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)． P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0. 1．?dāng)S一枚骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，則事件A與事件B的關(guān)系是(　　) A．A?B　　　　　　　　 B．A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2} C．事件A與B互斥 D．事件A與B是對(duì)立事件 解析：選B　由題意事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}． 2．設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)＝0.3，則P(B)＝0.7時(shí)，兩事件的關(guān)系是(　　) A．A與B互斥 B．A與B對(duì)立 C．A?B D．A不包含B 解析：選B　∵P(A)＋P(B)＝1，∴當(dāng)A與B對(duì)立時(shí)，結(jié)論成立． 3．某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.20,0.30,0.10.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為(　　) A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90 解析：選A　依題意，射中8環(huán)及以上的概率為0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不夠8環(huán)的概率為1－0.60＝0.40. 4．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為0.3，兩人下成和棋的概率為0.5，那么甲不輸?shù)母怕适莀_______． 答案：0.8 事件間關(guān)系的判斷 [典例]　某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件： (1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”； (2)“至少有1名男生”與“全是男生”； (3)“至少有1名男生”與“全是女生”； (4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”． [解]　從3名男生和2名女生中任選2人有如下三種結(jié)果：2名男生，2名女生，1男1女． (1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件；但是當(dāng)選取的結(jié)果是2名女生時(shí)，該兩事件都不發(fā)生，所以它們不是對(duì)立事件． (2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結(jié)果，與事件“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件． (3)“至少1名男生”與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥，由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們是對(duì)立事件． (4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結(jié)果，當(dāng)選出的是1男1女時(shí)，“至少有一名男生”與“至少一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件． 判斷事件間關(guān)系的方法 (1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無(wú)論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立其發(fā)生的條件都是一樣的． (2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析． [活學(xué)活用] 從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中任抽取1張，判斷下列給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由． (1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； (2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； (3)“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”． 解：(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件． (2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．理由是： 從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，且其中必有一個(gè)發(fā)生，因此它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件． (3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．理由是： 從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出牌的點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出牌的點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽出牌的點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件. 事件的運(yùn)算 [典例]　盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}． 問(wèn)：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？ (2)事件C與A的交事件是什么事件？ [解]　(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B. (2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A. 事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問(wèn)題 (1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析． (2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷．但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理． [活學(xué)活用] 在本例中，設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？ 解：由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D. 互斥事件與對(duì)立事件的概率公式的應(yīng)用 [典例]　某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.計(jì)算這個(gè)運(yùn)動(dòng)員在一次射擊中： (1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率； (2)至少射中7環(huán)的概率． [解]　設(shè)“射中10環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中7環(huán)”、“射中7環(huán)以下”的事件分別為A，B，C，D，E，則 (1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3. 所以射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.3. (2)因?yàn)樯渲?環(huán)以下的概率為0.1，所以由對(duì)立事件的概率公式，得至少射中7環(huán)的概率為1－0.1＝0.9. 互斥事件、對(duì)立事件概率的求解方法 (1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常常考慮其反面，通過(guò)求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題． [活學(xué)活用] 一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率． 解：法一：(1)從12個(gè)球中任取1球，紅球有5種取法，黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法． ∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝＝. (2)從12個(gè)球中任取1球，紅球有5種取法，黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為＝. 法二：(利用互斥事件求概率) 記事件A1＝，A2＝， A3＝，A4＝，則P(A1)＝，P(A2)＝， P(A3)＝，P(A4)＝. 根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 法三：(利用對(duì)立事件求概率) (1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對(duì)立事件為A3∪A4，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4) ＝1－－＝＝. (2)A1∪A2∪A3的對(duì)立事件為A4. 所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. [層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．從一批產(chǎn)品(既有正品也有次品)中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品有次品，但不全是次品}，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A．A與C互斥　　　　　　　 B．B與C互斥 C．任何兩個(gè)都互斥 D．任何兩個(gè)都不互斥 解析：選D　由題意知事件A、B、C兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，因此兩兩互斥． 2．抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為(　　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 解析：選B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品． 3．已知盒中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，從盒中任取2個(gè)球，下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．全是白球與全是紅球是對(duì)立事件 B．沒(méi)有白球與至少有一個(gè)白球是對(duì)立事件 C．只有一個(gè)白球與只有一個(gè)紅球是互斥關(guān)系 D．全是紅球與有一個(gè)紅球是包含關(guān)系 解析：選B　從盒中任取2球，出現(xiàn)球的顏色情況是，全是紅球，有一個(gè)紅球且有一個(gè)白球，全是白球，至少有一個(gè)的對(duì)立面是沒(méi)有一個(gè)，所以選B. 4．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________． 解析：摸出紅球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3. 答案：0.3 [層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對(duì)立事件，那么(　　) A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.與一定互斥 D.與一定不互斥 解析：選B　用Venn圖解決此類問(wèn)題較為直觀．如圖所示，∪是必然事件，故選B. 2．根據(jù)湖北某醫(yī)療所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.現(xiàn)有一血型為A型的病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，則此人能為病人輸血的概率為(　　) A．67% B．85% C．48% D．15% 解析：選A　O型血與A型血的人能為A型血的人輸血，故所求的概率為52%＋15%＝67%.故選A. 3．下列各組事件中，不是互斥事件的是(　　) A．一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6 B．統(tǒng)計(jì)一個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分不低于90分與平均分不高于90分 C．播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒 D．檢驗(yàn)?zāi)撤N產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70% 解析：選B　對(duì)于B，設(shè)事件A1為平均分不低于90分，事件A2為平均分不高于90分，則A1∩A2為平均分等于90分，A1，A2可能同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件． 4．把電影院的4張電影票隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得4排1號(hào)”與事件“乙分得4排1號(hào)”是(　　) A．對(duì)立事件 B．不可能事件 C．互斥但不對(duì)立事件 D．以上答案都不對(duì) 解析：選C　“甲分得4排1號(hào)”與“乙分得4排1號(hào)”是互斥事件但不對(duì)立． 5．一個(gè)口袋內(nèi)有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球或白球的概率為0.58，摸出紅球或黑球的概率為0.62，那么摸出不是紅球的概率為_(kāi)_______． 解析：設(shè)A＝{摸出紅球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出黑球}，則A，B，C兩兩互斥，A與為對(duì)立事件， 因?yàn)镻(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.58，P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.62， P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(C)＝0.42，P(B)＝0.38，P(A)＝0.20，所以P()＝1－P(A)＝1－0.20＝0.80. 答案：0.80 6．向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投一枚炸彈，炸中第一軍火庫(kù)的概率為0.025，炸中第二、三軍火庫(kù)的概率均為0.1，只要炸中一個(gè)，另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，軍火庫(kù)爆炸的概率為_(kāi)_______． 解析：設(shè)A，B，C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫(kù)這三個(gè)事件，D表示軍火庫(kù)爆炸，則P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案：0.225 7．中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(kāi)_______． 解析：由于事件“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙?jiàn)Z得冠軍”，但這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為＋＝. 答案： 8．在大小相同的5個(gè)球中，只有紅色和白色兩種球，若從中任取2個(gè)，全是白球的概率為0.3，求所取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球的概率． 解：記事件A表示“取出的2個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”，事件B表示“取出的2個(gè)球全是白球”，則事件A與事件B互為對(duì)立事件，而事件B發(fā)生的概率為P(B)＝0.3，所以事件A發(fā)生的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－0.3＝0.7. 9．某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中，購(gòu)滿100元商品得一張獎(jiǎng)券，多購(gòu)多得，每1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開(kāi)獎(jiǎng)單位．設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)概率； (3)抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)的概率． 解：(1)∵每1 000張獎(jiǎng)券中設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)， ∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. (2)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”為事件D，則 P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝. (3)設(shè)“抽取1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)或一等獎(jiǎng)”為事件E，則 P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.