2019-2020年高中數(shù)學 全套教案 北師大版必修2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 全套教案 北師大版必修2 教學目標: 知識與技能 (1) 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念． (2) 理解直線的傾斜角的唯一性. (3) 理解直線的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式． 情感態(tài)度與價值觀 (1) 通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養(yǎng)學生觀察、探索能力，運用數(shù)學語言表達能力，數(shù)學交流與評價能力． (2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，培養(yǎng)學生形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和求簡的數(shù)學精神． 重點與難點: 直線的傾斜角、斜率的概念和公式. 教學用具：計算機 教學方法：啟發(fā)、引導、討論. 教學過程： （一） 直線的傾斜角的概念 我們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經過一點P的直線l的位置能確定嗎? 如圖, 過一點P可以作無數(shù)多條直線a,b,c, …易見,答案是否定的.這些直線有什么聯(lián)系呢? (1)它們都經過點P. (2)它們的‘傾斜程度’不同. 怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同? 引入直線的傾斜角的概念: 當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規(guī)定α= 0. 問: 傾斜角α的取值范圍是什么? 0≤α＜180. 當直線l與x軸垂直時, α= 90. 因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之后, 我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度. 如圖, 直線a∥b∥c, 那么它們 的傾斜角α相等嗎? 答案是肯定的.所以一個傾斜角α不能確定一條直線. 確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角α. (二)直線的斜率: 一條直線的傾斜角α(α≠90)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα ⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0, k = tan0=0; ⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90, k 不存在. 由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45時, k = tan45= 1; α=135時, k = tan135= tan(180－ 45) = - tan45= - 1. 學習了斜率之后, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度. (三) 直線的斜率公式: 給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率? 可用計算機作動畫演示: 直線P1P2的四種情況, 并引導學生如何作輔助線, 共同完成斜率公式的推導.(略) 斜率公式: 對于上面的斜率公式要注意下面四點： (1) 當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角α= 90, 直線與x軸垂直； (2)k與P1、P2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換, 但分子與分母不能交換; (3)斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得; (4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角α=0，直線與x軸平行或重合. (5)求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到． (四)例題: 例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略) 分析: 已知兩點坐標, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而當k = tanα<0時, 傾斜角α是鈍角; 而當k = tanα>0時, 傾斜角α是銳角; 而當k = tanα=0時, 傾斜角α是0. 略解: 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角α是銳角; 直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角α是鈍角; 直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角α是銳角. 例2 在平面直角坐標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l. 分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標可以根據(jù)直線a的斜率確定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可. 略解: 設直線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據(jù)斜率公式有 1=(y－0)／(x－0) 所以 x = y 可令x = 1, 則y = 1, 于是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點 M(1,1), 可作直線a. 同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程) (五)練習: P91 1. 2. 3. 4. (六)小結: (1)直線的傾斜角和斜率的概念． (2) 直線的斜率公式. (七)課后作業(yè): P94 習題3.1 1. 3. (八)板書設計: 3.1.1…… 1．直線傾斜角的概念 3.例1…… 練習1 練習3 2. 直線的斜率 4.例2…… 練習2 練習4 直線的兩點式方程 一、教學目標 1、知識與技能 （1）掌握直線方程的兩點的形式特點及適用范圍； （2）了解直線方程截距式的形式特點及適用范圍。 2、過程與方法 讓學生在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論，并通過新舊知識的比較、分析、應用獲得新知識的特點。 3、情態(tài)與價值觀 （1）認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉化； （2）培養(yǎng)學生用聯(lián)系的觀點看問題。 二、教學重點、難點： 1、 重點：直線方程兩點式。 2、難點：兩點式推導過程的理解。 三、教學設想 問 題 設計意圖 師生活動 1、利用點斜式解答如下問題： （1）已知直線經過兩點,求直線的方程. （2）已知兩點其中，求通過這兩點的直線方程。 遵循由淺及深，由特殊到一般的認知規(guī)律。使學生在已有的知識基礎上獲得新結論，達到溫故知新的目的。 教師引導學生：根據(jù)已有的知識，要求直線方程，應知道什么條件？能不能把問題轉化為已經解決的問題呢？在此基礎上，學生根據(jù)已知兩點的坐標，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程： （1） （2） 教師指出：當時，方程可以寫成 由于這個直線方程由兩點確定，所以我們把它叫直線的兩點式方程，簡稱兩點式（two-point form）. 2、若點中有，或，此時這兩點的直線方程是什么？ 使學生懂得兩點式的適用范圍和當已知的兩點不滿足兩點式的條件時它的方程形式。 教師引導學生通過畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當時，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當時，直線與軸垂直，直線方程為：。 問 題 設計意圖 師生活動 3、例3 教學 已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中，求直線的方程。 使學生學會用兩點式求直線方程；理解截距式源于兩點式，是兩點式的特殊情形。 教師引導學生分析題目中所給的條件有什么特點？可以用多少方法來求直線的方程？那種方法更為簡捷？然后由求出直線方程： 教師指出：的幾何意義和截距式方程的概念。 4、例4教學 已知三角形的三個頂點A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程。 讓學生學會根據(jù)題目中所給的條件，選擇恰當?shù)闹本€方程解決問題。 教師給出中點坐標公式，學生根據(jù)自己的理解，選擇恰當方法求出邊BC所在的直線方程和該邊上中線所在直線方程。在此基礎上，學生交流各自的作法，并進行比較。 5、課堂練習 第102頁第1、2、3題。 學生獨立完成，教師檢查、反饋。 6、小結 增強學生對直線方種四種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式）互相之間的聯(lián)系的理解。 教師提出：（1）到目前為止，我們所學過的直線方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關系？ （2）要求一條直線的方程，必須知道多少個條件？ 7、布置作業(yè) 鞏固深化，培養(yǎng)學生的獨立解決問題的能力。 學生課后完成 3.2.3 直線的一般式方程 一、教學目標 1、知識與技能 （1）明確直線方程一般式的形式特征； （2）會把直線方程的一般式化為斜截式，進而求斜率和截距； （3）會把直線方程的點斜式、兩點式化為一般式。 2、過程與方法 學會用分類討論的思想方法解決問題。 3、情態(tài)與價值觀 （1）認識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉化； （2）用聯(lián)系的觀點看問題。 二、教學重點、難點： 1、重點：直線方程的一般式。 2、難點：對直線方程一般式的理解與應用。 三、教學設想 問 題 設計意圖 師生活動 1、（1）平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示嗎？ （2）每一個關于的二元一次方程（A，B不同時為0）都表示一條直線嗎？ 使學生理解直線和二元一次方程的關系。 教師引導學生用分類討論的方法思考探究問題（1），即直線存在斜率和直線不存在斜率時求出的直線方程是否都為二元一次方程。對于問題（2），教師引導學生理解要判斷某一個方程是否表示一條直線，只需看這個方程是否可以轉化為直線方程的某種形式。為此要對B分類討論，即當時和當B=0時兩種情形進行變形。然后由學生去變形判斷，得出結論： 關于的二元一次方程，它都表示一條直線。 教師概括指出：由于任何一條直線都可以用一個關于的二元一次方程表示；同時，任何一個關于的二元一次方程都表示一條直線。 我們把關于關于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式（general form）. 2、直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優(yōu)點？ 使學生理解直線方程的一般式的與其他形 學生通過對比、討論，發(fā)現(xiàn)直線方程的一般式與其他形式的直線方程的一個不同點是： 問 題 設計意圖 師生活動 式的不同點。 直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線，而點斜式、斜截式、兩點式方程，都不能表示與軸垂直的直線。 3、在方程中，A，B，C為何值時，方程表示的直線 （1）平行于軸；（2）平行于軸；（3）與軸重合；（4）與重合。 使學生理解二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項對直線的位置的影響。 教師引導學生回顧前面所學過的與軸平行和重合、與軸平行和重合的直線方程的形式。然后由學生自主探索得到問題的答案。 4、例5的教學 已知直線經過點A（6，-4），斜率為，求直線的點斜式和一般式方程。 使學生體會把直線方程的點斜式轉化為一般式，把握直線方程一般式的特點。 學生獨立完成。然后教師檢查、評價、反饋。指出：對于直線方程的一般式，一般作如下約定：一般按含項、含項、常數(shù)項順序排列；項的系數(shù)為正；，的系數(shù)和常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)；無特加要時，求直線方程的結果寫成一般式。 5、例6的教學 把直線的一般式方程化成斜截式，求出直線的斜率以及它在軸與軸上的截距，并畫出圖形。 使學生體會直線方程的一般式化為斜截式，和已知直線方程的一般式求直線的斜率和截距的方法。 先由學生思考解答，并讓一個學生上黑板板書。然后教師引導學生歸納出由直線方程的一般式，求直線的斜率和截距的方法：把一般式轉化為斜截式可求出直線的斜率的和直線在軸上的截距。求直線與軸的截距，即求直線與軸交點的橫坐標，為此可在方程中令=0，解出值，即為與直線與軸的截距。 在直角坐標系中畫直線時，通常找出直線下兩個坐標軸的交點。 6、二元一次方程的每一個解與坐標平面中點的有什么關系？直線與二元一次方程的解之間有什么關系？ 使學生進一步理解二元一次方程與直線的關系，體會直解坐標系把直線與方程聯(lián)系起來。 學生閱讀教材第105頁，從中獲得對問題的理解。 7、課堂練習 第105練習第2題和第3（2） 鞏固所學知識和方法。 學生獨立完成，教師檢查、評價。 問 題 設計意圖 師生活動 8、小結 使學生對直線方程的理解有一個整體的認識。 （1）請學生寫出直線方程常見的幾種形式，并說明它們之間的關系。 （2）比較各種直線方程的形式特點和適用范圍。 （3）求直線方程應具有多少個條件？ （4）學習本節(jié)用到了哪些數(shù)學思想方法？ 9、布置作業(yè) 第106頁習題3.2第10題和第11題。 鞏固課堂上所學的知識和方法。 學生課后獨立思考完成。 3.2.1 直線的點斜式方程 一、教學目標 1、知識與技能 （1）理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍； （2）能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程。 （3）體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系. 2、過程與方法 在已知直角坐標系內確定一條直線的幾何要素——直線上的一點和直線的傾斜角的基礎上，通過師生探討，得出直線的點斜式方程；學生通過對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別。 3、情態(tài)與價值觀 通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系，進一步培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想，滲透數(shù)學中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉化等觀點，使學生能用聯(lián)系的觀點看問題。 二、教學重點、難點： （1）重點：直線的點斜式方程和斜截式方程。 （2）難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用。 三、教學設想 問 題 設計意圖 師生活動 1、在直線坐標系內確定一條直線，應知道哪些條件？ 使學生在已有知識和經驗的基礎上，探索新知。 學生回顧，并回答。然后教師指出，直線的方程，就是直線上任意一點的坐標滿足的關系式。 2、直線經過點，且斜率為。設點是直線上的任意一點，請建立與之間的關系。 培養(yǎng)學生自主探索的能力，并體會直線的方程，就是直線上任意一點的坐標滿足的關系式，從而掌握根據(jù)條件求直線方程的方法。 學生根據(jù)斜率公式，可以得到，當時，，即 （1） 教師對基礎薄弱的學生給予關注、引導，使每個學生都能推導出這個方程。 3、（1）過點，斜率是的直線上的點，其坐標都滿足方程（1）嗎？ 使學生了解方程為直線方程必須滿兩個條件。 學生驗證，教師引導。 問 題 設計意圖 師生活動 （2）坐標滿足方程（1）的點都在經過，斜率為的直線上嗎？ 使學生了解方程為直線方程必須滿兩個條件。 學生驗證，教師引導。然后教師指出方程（1）由直線上一定點及其斜率確定，所以叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式（point slope form）. 4、直線的點斜式方程能否表示坐標平面上的所有直線呢？ 使學生理解直線的點斜式方程的適用范圍。 學生分組互相討論，然后說明理由。 5、（1）軸所在直線的方程是什么？軸所在直線的方程是什么？ （2）經過點且平行于軸（即垂直于軸）的直線方程是什么？ （3）經過點且平行于軸（即垂直于軸）的直線方程是什么？ 進一步使學生理解直線的點斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程的表示形式。 教師學生引導通過畫圖分析，求得問題的解決。 6、例1的教學。 學會運用點斜式方程解決問題，清楚用點斜式公式求直線方程必須具備的兩個條件：（1）一個定點；（2）有斜率。同時掌握已知直線方程畫直線的方法。 教師引導學生分析要用點斜式求直線方程應已知那些條件？題目那些條件已經直接給予，那些條件還有待已去求。在坐標平面內，要畫一條直線可以怎樣去畫。 7、已知直線的斜率為，且與軸的交點為，求直線的方程。 引入斜截式方程，讓學生懂得斜截式方程源于點斜式方程，是點斜式方程的一種特殊情形。 學生獨立求出直線的方程： （2） 再此基礎上，教師給出截距的概念，引導學生分析方程（2）由哪兩個條件確定，讓學生理解斜截式方程概念的內涵。 8、觀察方程，它的形式具有什么特點？ 深入理解和掌握斜截式方程的特點？ 學生討論，教師及時給予評價。 問 題 設計意圖 師生活動 9、直線在軸上的截距是什么？ 使學生理解“截距”與“距離”兩個概念的區(qū)別。 學生思考回答，教師評價。 10、你如何從直線方程的角度認識一次函數(shù)？一次函數(shù)中和的幾何意義是什么？你能說出一次函數(shù)圖象的特點嗎？ 體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關系. 學生思考、討論，教師評價、歸納概括。 11、例2的教學。 掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進一步理解斜截式方程中的幾何意義。 教師引導學生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結論。思考（1）時， 有何關系？（2）時，有何關系？在此由學生得出結論： 且； 12、課堂練習第100頁練習第1，2，3，4題。 鞏固本節(jié)課所學過的知識。 學生獨立完成，教師檢查反饋。 13、小結 使學生對本節(jié)課所學的知識有一個整體性的認識，了解知識的來龍去脈。 教師引導學生概括：（1）本節(jié)課我們學過那些知識點；（2）直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍是什么？（3）求一條直線的方程，要知道多少個條件？ 14、布置作業(yè)：第106頁第1題的（1）、（2）、（3）和第3、5題 鞏固深化 學生課后獨立完成。 兩條直線的平行與垂直(3.1.2) 教學目標 　 (一)知識教學 理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運用條件判定兩直線是否平行或垂直. (二)能力訓練 通過探究兩直線平行或垂直的條件，培養(yǎng)學生運用已有知識解決新問題的能力, 以及數(shù)形結合能力． (三)學科滲透 通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究，培養(yǎng)學生的成功意識，合作交流的學習方式,激發(fā)學生的學習興趣． 　 重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點，要求學生能熟練掌握，并靈活運用． 難點：啟發(fā)學生, 把研究兩條直線的平行或垂直問題, 轉化為研究兩條直線的斜率的關系問題． 注意：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況, 在課堂上老師應提醒學生注意解決好這個問題． 　 教學過程 　 (一)先研究特殊情況下的兩條直線平行與垂直 上一節(jié)課, 我們已經學習了直線的傾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用傾斜角和斜率來表示直線相對于x軸的傾斜程度, 并推導出了斜率的坐標計算公式. 現(xiàn)在, 我們來研究能否通過兩條直線的斜率來判斷兩條直線的平行或垂直． 討論: 兩條直線中有一條直線沒有斜率, (1)當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90，它們互相平行；(2)當另一條直線的斜率為0時，一條直線的傾斜角為90，另一條直線的傾斜角為0，兩直線互相垂直． (二)兩條直線的斜率都存在時, 兩直線的平行與垂直 設直線 L1和L2的斜率分別為k1和k2. 我們知道, 兩條直線的平行或垂直是由兩條直線的方向決定的, 而兩條直線的方向又是由直線的傾斜角或斜率決定的. 所以我們下面要研究的問題是: 兩條互相平行或垂直的直線, 它們的斜率有什么關系? 首先研究兩條直線互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(圖1-29)，那么它們的傾斜角相等：α1=α2．(借助計算機, 讓學生通過度量, 感知α1, α2的關系) ∴tgα1=tgα2． 即　 k1=k2． 反過來，如果兩條直線的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2． 由于0≤α1＜180，　 0≤α＜180， ∴α1=α2． 又∵兩條直線不重合， ∴L1∥L2． 結論: 兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即 注意: 上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之則不一定. 下面我們研究兩條直線垂直的情形． 如果L1⊥L2，這時α1≠α2，否則兩直線平行． 設α2＜α1(圖1-30)，甲圖的特征是L1與L2的交點在x軸上方；乙圖的特征是L1與L2的交點在x軸下方；丙圖的特征是L1與L2的交點在x軸上，無論哪種情況下都有 α1=90+α2． 因為L1、L2的斜率分別是k1、k2，即α1≠90，所以α2≠0． ， 可以推出　: α1=90+α2． L1⊥L2． 結論: 兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即 注意: 結論成立的條件. 即如果k1k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之則不一定. (借助計算機, 讓學生通過度量, 感知k1, k2的關系, 并使L1(或L2)轉動起來, 但仍保持L1⊥L2, 觀察k1, k2的關系, 得到猜想, 再加以驗證. 轉動時, 可使α1為銳角,鈍角等). 例題 例1　 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 試判斷直線BA與PQ的位置關系, 并證明你的結論. 分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想:BA∥PQ, 再通過計算加以驗證.(圖略) 解: 直線BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直線PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因為 k1=k2=0.5, 所以 直線BA∥PQ. 例2 已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明. (借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 四邊形ABCD是平行四邊形,再通過計算加以驗證) 解同上. 例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 試判斷直線AB與PQ的位置關系. 解: 直線AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直線PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因為 k1k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 試判斷三角形ABC的形狀. 分析: 借助計算機作圖, 通過觀察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通過計算加以驗證.(圖略) 課堂練習 P94 練習 1. 2. 課后小結 (1)兩條直線平行或垂直的真實等價條件；(2)應用條件, 判定兩條直線平行或垂直. (3) 應用直線平行的條件, 判定三點共線. 布置作業(yè) P94 習題3.1 5. 8. 板書設計 l {3.3-1兩直線的交點坐標 三維目標 知識與技能：1。直線和直線的交點 2．二元一次方程組的解 過程和方法：1。學習兩直線交點坐標的求法，以及判斷兩直線位置的方法。 2．掌握數(shù)形結合的學習法。 3．組成學習小組，分別對直線和直線的位置進行判斷，歸納過定點的 直線系方程。 情態(tài)和價值：1。通過兩直線交點和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認識事物之間的內 的聯(lián)系。 2．能夠用辯證的觀點看問題。 教學重點，難點 重點：判斷兩直線是否相交，求交點坐標。 難點：兩直線相交與二元一次方程的關系。 教學方法：啟發(fā)引導式 在學生認識直線方程的基礎上，啟發(fā)學生理解兩直線交點與二元一次方程組的的相互關系。引導學生將兩直線交點的求解問題轉化為相應的直線方程構成的二元一次方程組解的問題。由此體會“形”的問題由“數(shù)”的運算來解決。 教具：用POWERPOINT課件的輔助式教學 教學過程： 一． 情境設置，導入新課 用大屏幕打出直角坐標系中兩直線，移動直線，讓學生觀察這兩直線的位置關系。 課堂設問一：由直線方程的概念，我們知道直線上的一點與二元一次方程的解的關系，那如果兩直線相交于一點，這一點與這兩條直線的方程有何關系？ 二． 講授新課 1． 分析任務，分組討論，判斷兩直線的位置關系 已知兩直線 L1：A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0 如何判斷這兩條直線的關系？ 教師引導學生先從點與直線的位置關系入手，看表一，并填空。 幾何元素及關系 代數(shù)表示 點A A（a，b） 直線L L：Ax+By+C=0 點A在直線上 直線L1與 L2的交點A 課堂設問二：如果兩條直線相交，怎樣求交點坐標？交點坐標與二元一次方程組有什關系？ 學生進行分組討論，教師引導學生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組有何關系？ （1） 若二元一次方程組有唯一解，L 1與L2 相交。 （2） 若二元一次方程組無解，則L 1與 L2平行。 （3） 若二元一次方程組有無數(shù)解，則L 1 與L2重合。 課后探究：兩直線是否相交與其方程組成的方程組的系數(shù)有何關系？ 2． 例題講解，規(guī)范表示，解決問題 例題1：求下列兩直線交點坐標 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程組 得 x=-2，y=2 所以L1與L2的交點坐標為M（-2，2），如圖3。3。1。 教師可以讓學生自己動手解方程組，看解題是否規(guī)范，條理是否清楚，表達是否簡潔，然后才進行講解。 同類練習：書本110頁第1，2題。 例2 判斷下列各對直線的位置關系。如果相交，求出交點坐標。 （1） L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0 （2） L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0 （3） L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0 這道題可以作為練習以鞏固判斷兩直線位置關系。 三． 啟發(fā)拓展，靈活應用。 課堂設問一。當變化時，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何圖形，圖形 有何特點？求出圖形的交點坐標。 （1） 可以一用信息技術，當 取不同值時，通過各種圖形，經過觀察，讓學生從直觀上得出結論，同時發(fā)現(xiàn)這些直線的共同特點是經過同一點。 （2） 找出或猜想這個點的坐標，代入方程，得出結論。 （3） 結論，方程表示經過這兩條直線L1 與L2的交點的直線的集合。 例2 已知為實數(shù)，兩直線：，：相交于一點，求證交點不可能在第一象限及軸上. 分析：先通過聯(lián)立方程組將交點坐標解出，再判斷交點橫縱坐標的范圍. 解：解方程組若＞0，則＞1.當＞1時，－＜0，此時交點在第二象限內. 又因為為任意實數(shù)時，都有1＞0，故≠0 因為≠1（否則兩直線平行，無交點） ，所以，交點不可能在軸上，得交點(－) 四． 小結：直線與直線的位置關系，求兩直線的交點坐標，能將幾何問題轉化為代數(shù)問題來解決，并能進行應用。 五． 練習及作業(yè)： 1． 光線從M（-2，3）射到x軸上的一點P（1，0）后被x軸反射，求反射光線所在的直線方程。 2． 求滿足下列條件的直線方程。 經過兩直線2x-3y+10=0與3x+4y-2=0的交點，且和直線3x-2y+4=0垂直。 板書設計：略 3．3．3兩條直線的位置關系 ―點到直線的距離公式 三維目標： 知識與技能：1. 理解點到直線距離公式的推導，熟練掌握點到直線的距離公式； 能力和方法： 會用點到直線距離公式求解兩平行線距離 情感和價值：1。 認識事物之間在一定條件下的轉化。用聯(lián)系的觀點看問題 教學重點：點到直線的距離公式 教學難點：點到直線距離公式的理解與應用. 教學方法：學導式 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程 一、情境設置，導入新課： 前面幾節(jié)課，我們一起研究學習了兩直線的平行或垂直的充要條件，兩直線的夾角公式，兩直線的交點問題，兩點間的距離公式。逐步熟悉了利用代數(shù)方法研究幾何問題的思想方法.這一節(jié)，我們將研究怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線的距離。 用POWERPOINT打出平面直角坐標系中兩直線，進行移動，使學生回顧兩直線的位置關系，且在直線上取兩點，讓學生指出兩點間的距離公式，復習前面所學。要求學生思考一直線上的計算？能否用兩點間距離公式進行推導？ 兩條直線方程如下： . 二、講解新課： 1．點到直線距離公式： 點到直線的距離為： （1）提出問題 在平面直角坐標系中，如果已知某點P的坐標為，直線＝0或B＝0時，以上公式，怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點P到直線的距離呢? 學生可自由討論。 （2）數(shù)行結合，分析問題，提出解決方案 學生已有了點到直線的距離的概念，即由點P到直線的距離d是點P到直線的垂線段的長. 這里體現(xiàn)了“畫歸”思想方法，把一個新問題轉化為 一個曾今解決過的問題，一個自己熟悉的問題。 畫出圖形，分析任務，理清思路，解決問題。 方案一： 設點P到直線的垂線段為PQ，垂足為Q，由PQ⊥可知，直線PQ的斜率為（A≠0），根據(jù)點斜式寫出直線PQ的方程，并由與PQ的方程求出點Q的坐標；由此根據(jù)兩點距離公式求出｜PQ｜，得到點P到直線的距離為d 此方法雖思路自然，但運算較繁.下面我們探討別一種方法 方案二：設A≠0，B≠0，這時與軸、軸都相交，過點P作軸的平行線，交于點；作軸的平行線，交于點， 由得. 所以，｜PＲ｜＝｜｜＝ ｜PS｜＝｜｜＝ ｜ＲS｜＝｜｜由三角形面積公式可知：｜ＲS｜＝｜PＲ｜｜PS｜ 所以 可證明，當A=0時仍適用 這個過程比較繁瑣，但同時也使學生在知識，能力。意志品質等方面得到了提高。 3．例題應用，解決問題。 例1 求點P=（-1，2）到直線 3x=2的距離。 解：d= 例2 已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面積。 解：設AB邊上的高為h，則 S= ， AB邊上的高h就是點C到AB的距離。 AB邊所在直線方程為 即x+y-4=0。 點C到X+Y-4=0的距離為h h=， 因此，S= 通過這兩道簡單的例題，使學生能夠進一步對點到直線的距離理解應用，能逐步體會用代數(shù)運算解決幾何問題的優(yōu)越性。 同步練習：114頁第1，2題。 4．拓展延伸，評價反思。 （1） 應用推導兩平行線間的距離公式 已知兩條平行線直線和的一般式方程為：， ：，則與的距離為 證明：設是直線上任一點，則點P0到直線的距離為 又 即，∴d＝ 的距離. 解法一：在直線上取一點P(４，0)，因為∥ 例3 求兩平行線：，：，所以點P到的距離等于與的距離.于是 解法二：∥又. 由兩平行線間的距離公式得 四、課堂練習： 1， 已知一直線被兩平行線3x+4y-7=0與3x+4y+8=0所截線段長為3。且該直線過點（2，3），求該直線方程。 五、小結 ：點到直線距離公式的推導過程，點到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉化為點到直線的距離公式 六、課后作業(yè)： 13.求點P（2，-1）到直線2＋3－3＝0的距離. 14.已知點A（，6）到直線3－４＝2的距離d=4，求的值： 15.已知兩條平行線直線和的一般式方程為：， ：，則與的距離為 七．板書設計：略 3..3..。2直線與直線之間的位置關系-兩點間距離 三維目標 知識與技能：掌握直角坐標系兩點間距離，用坐標法證明簡單的幾何問題。 過程和方法：通過兩點間距離公式的推導，能更充分體會數(shù)形結合的優(yōu)越性。 情態(tài)和價值：體會事物之間的內在聯(lián)系，，能用代數(shù)方法解決幾何問題 教學重點，難點：重點，兩點間距離公式的推導。難點，應用兩點間距離公式證明幾何問題。 教學方式：啟發(fā)引導式。 教學用具：用多媒體輔助教學。 教學過程： 一， 情境設置，導入新課 課堂設問一：回憶數(shù)軸上兩點間的距離公式，同學們能否用以前所學的知識來解決以下問題 平面直角坐標系中兩點，分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為 直線相交于點Q。 在直角中，，為了計算其長度，過點向x軸作垂線，垂足為 過點 向y軸作垂線，垂足為 ，于是有 所以，=。 由此得到兩點間的距離公式 在教學過程中，可以提出問題讓學生自己思考，教師提示，根據(jù)勾股定理，不難得到。 二，例題解答，細心演算，規(guī)范表達。例1 ：以知點A（-1，2），B（2， ），在x軸上求一點，使 ,并求 的值。 解：設所求點P（x，0），于是有 由 得 解得 x=1。 所以，所求點P（1，0）且 通過例題，使學生對兩點間距離公式理解。應用。 解法二：由已知得，線段AB的中點為，直線AB的斜率為k= 線段AB的垂直平分線的方程是 y- 在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求點P的坐標為（1，0）。因此 同步練習：書本112頁第1，2 題 三． 　鞏固反思，靈活應用。（用兩點間距離公式來證明幾何問題。） 例2 證明平行四邊行四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。 分析：首先要建立直角坐標系，用坐標表示有關量，然后用代數(shù)進行運算，最后把代數(shù)運算“翻譯”成幾何關系。 這一道題可以讓學生討論解決，讓學生深刻體會數(shù)形之間的關系和轉化，并從中歸納出應用代數(shù)問題解決幾何問題的基本步驟。 證明：如圖所示，以頂點Ａ為坐標原點，ＡＢ邊所在的直線為ｘ軸，建立直角坐標系，有Ａ（０，０）。 設Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四邊形的性質的點Ｃ的坐標為（ａ＋ｂ，ｃ），因為 所以， 所以， 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和。 上述解決問題的基本步驟可以讓學生歸納如下： 第一步：建立直角坐標系，用坐標表示有關的量。 第二步：進行有關代數(shù)運算。 第三步；把代數(shù)結果“翻譯”成幾何關系。 思考：同學們是否還有其它的解決辦法？ 還可用綜合幾何的方法證明這道題。 課堂小結：主要講述了兩點間距離公式的推導，以及應用，要懂得用代數(shù)的方法解決幾何問題，建立直角坐標系的重要性。 課后練習1.：證明直角三角形斜邊上的中點到三個頂點的距離相等 2.在直線x-3y-2=0上求兩點，使它與（-2，2）構成一個等邊三角形。 3．（1994全國高考）點（0，5）到直線y=2x的距離是—— 。 板書設計：略。 4.1.1 圓的標準方程 三維目標： 知識與技能：1、掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程。 2、會用待定系數(shù)法求圓的標準方程。 過程與方法：進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結合思想，通過圓的標準方程解決實際問題的學習，注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。 情感態(tài)度與價值觀：通過運用圓的知識解決實際問題的學習，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情和興趣。 教學重點：圓的標準方程 教學難點：會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標準方程。 教學過程： 1、情境設置： 在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，原是否也可用一個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 確定圓的基本條件為圓心和半徑，設圓的圓心坐標為A(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數(shù)，r>0）設M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是（引導學生自己列出）P={M||MA|=r},由兩點間的距離公式讓學生寫出點M適合的條件 ① 化簡可得： ② 引導學生自己證明為圓的方程，得出結論。 方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標準方程。 3、知識應用與解題研究 例（1）：寫出圓心為半徑長等于5的圓的方程，并判斷點是否在這個圓上。 分析探求：可以從計算點到圓心的距離入手。 探究：點與圓的關系的判斷方法： （1）>，點在圓外 （2）=，點在圓上 （3）<，點在圓內 例（2）： 的三個頂點的坐標是求它的外接圓的方程 師生共同分析：從圓的標準方程 可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù).（學生自己運算解決） 例(3):已知圓心為的圓經過點和,且圓心在上,求圓心為的圓的標準方程. 師生共同分析: 如圖確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大小.圓心為的圓經過點和,由于圓心與A,B兩點的距離相等，所以圓心在險段AB的垂直平分線m上，又圓心在直線上，因此圓心是直線與直線m的交點，半徑長等于或。 （教師板書解題過程。） 總結歸納：（教師啟發(fā)，學生自己比較、歸納）比較例（2）、例(3)可得出外接圓的標準方程的兩種求法： ①、 根據(jù)題設條件，列出關于的方程組，解方程組得到得值，寫出圓的標準方程. 根據(jù)確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準方程. 練習：課本第1、3、4題 提煉小結： 1、 圓的標準方程。 2、 點與圓的位置關系的判斷方法。 3、 根據(jù)已知條件求圓的標準方程的方法。 作業(yè)：課本習題4.1第2、3、4題 4.1.2圓的一般方程 三維目標： 知識與技能　：　 (1)在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件． (2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程．能用待定系數(shù)法求圓的方程。 (3):培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。 過程與方法：通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力。 情感態(tài)度價值觀：滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創(chuàng)新，勇于探索。 教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標準方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F． 教學難點：對圓的一般方程的認識、掌握和運用 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程： 課題引入： 問題：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。 利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識解決又有其簡單的局限性，那么這個問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。 探索研究： 請同學們寫出圓的標準方程： (x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r． 　　把圓的標準方程展開，并整理： x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0． 取得 ① 這個方程是圓的方程． 反過來給出一個形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ② (配方過程由學生去完成)這個方程是不是表示圓？ (1)當D2＋E2－4F＞0時，方程②表示（1）當時，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓； （2）當時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（-，-）; （3）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形 綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓 只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程 我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學生歸納) (1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0． ?、跊]有xy這樣的二次項． (2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。 知識應用與解題研究： 例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑。 學生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標準形式。②、運用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于來說，這里的 . 例2：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設所求的圓的方程為： ∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關于的三元一次方程組， 即 解此方程組，可得： ∴所求圓的方程為： ； 得圓心坐標為（4，-3）. 或將左邊配方化為圓的標準方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標為(4,-3) 學生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： ①、 根據(jù)提議，選擇標準方程或一般方程； ②、 根據(jù)條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組； ③、 解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。 例3、已知線段AB的端點B的坐標是（4，3），端點A在圓上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。 分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標滿足方程。建立點M與點A坐標之間的關系，就可以建立點M的坐標滿足的條件，求出點M的軌跡方程。 解：設點M的坐標是（x,y）,點A的坐標是 ① 上運動，所以點A的坐標滿足方程,即 ② 把①代入②，得 課堂練習：課堂練習第1、2、3題 小結 ： 1．對方程的討論(什么時候可以表示圓) 2．與標準方程的互化 3．用待定系數(shù)法求圓的方程 4．求與圓有關的點的軌跡。 課后作業(yè)：習題4.1第2、3、6題 教學設計案例 4.3.1空間直角坐標系 1． 教學任務分析 使學生深刻感受空間直角坐標系的建立的背景以及理解空間中點的坐標表示。 通過數(shù)軸與數(shù)，平面直角坐標系與一對有序實數(shù)，引申出建立空間直角坐標系的必要性。 2． 教學重點和難點 重點：空間直角坐標系中點的坐標表示 難點：空間直角坐標系中點的坐標表示 3． 教學基本流程 設情景引入空間直角坐標系的建立 4.3.2空間兩點間的距離公式 1． 教學任務分析 通過特殊到一般的情況推導出空間兩點間的距離公式 2． 教學重點和難點 重點：空間兩點間的距離公式 難點：一般情況下，空間兩點間的距離公式的推導。 3． 教學基本流程 由平面上兩點間的距離公式，引入空間兩點距離公式的猜想 先推導特殊情況下的空間兩點間的距離公式 推導一般情況下的空間兩點間的距離公式 4、 情景設計 問題 問題設計意圖 師生活動 在平面上任意兩點A，B之間距離的公式為|AB|=，那么對于空間中任意兩點A，B之間距離的公式會是怎樣呢？你猜猜？ 通過類比，充分發(fā)揮學生的聯(lián)想能力。 師：、只需引導學生大膽猜測，是否正確無關緊要。 生：踴躍回答 （2）空間中任意一點P到原點之間的距離公式會是怎樣呢？ [1] 從特殊的情況入手，化解難度 師：為了驗證一下同學們的猜想，我們來看比較特殊的情況，引導學生用勾股定理來完成 學生：在教師的指導下作答 得出 問題 問題設計意圖 師生活動 （3）如果是定長r,那么表示什么圖形？ 任何知識的猜想都要建立在學生原有知識經驗的基礎上，學生可以通過類比在平面直角坐標系中，方程表示原點或圓，得到知識上的升華，提高學習的興趣。 師：注意引導類比平面直角坐標系中，方程表示的圖形，讓學生有種回歸感。 生：猜想說出理由 （4）如果是空間中任意一點到點之間的距離公式會是怎樣呢？ [2] 人的認知是從特殊情況到一般情況的 師生：一起推導，但是在推導的過程中要重視學生思路的引導。 得出結論： 4.2.2 圓與圓的位置關系 一、教學目標 1、知識與技能 （1）理解圓與圓的位置的種類； （2）利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長； （3）會用連心線長判斷兩圓的位置關系． 2、過程與方法 設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點： （1）當時，圓與圓相離； （2）當時，圓與圓外切； （3）當時，圓與圓相交； （4）當時，圓與圓內切； （5）當時，圓與圓內含； 3、情態(tài)與價值觀 讓學生通過觀察圖形，理解并掌握圓與圓的位置關系，培養(yǎng)學生數(shù)形結合的思想． 二、教學重點、難點： 重點與難點：用坐標法判斷圓與圓的位置關系． 三、教學設想 問 題 設計意圖 師生活動 1．初中學過的平面幾何中，圓與圓的位置關系有幾類？ 結合學生已有知識以驗，啟發(fā)學生思考，激發(fā)學生學習興趣． 教師引導學生回憶、舉例，并對學生活動進行評價；學生回顧知識點時，可互相交流． 2．判斷兩圓的位置關系，你有什么好的方法嗎？ 引導學生明確兩圓的位置關系，并發(fā)現(xiàn)判斷和解決兩圓的位置 教師引導學生閱讀教科書中的相關內容，注意個別輔導，解答學生疑難，并引導學生自己總結解題的方法． 問 題 設計意圖 師生活動 關系的方法． 學生觀察圖形并思考