2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5第1課時(shí) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí) 新人教A版必修5 一、選擇題 1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋a，則a的值為(　　) A．3　　　　　　　　 B．0 C．－1 D．任意實(shí)數(shù) [答案]　C [解析]　S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，＝， 所以a＝－1. 2．若等比數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5的值為(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 [答案]　D [解析]　∵a1＋a2＋a3＝21，∴a1(1＋q＋q2)＝21， 又∵a1＝3，∴1＋q＋q2＝7， ∵an>0，∴q>0，∴q＝2， ∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝2221＝84. 3．等比數(shù)列{an}中，已知前4項(xiàng)之和為1，前8項(xiàng)和為17，則此等比數(shù)列的公比q為(　　) A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－1 [答案]　C [解析]　S4＝1，S8＝S4＋q4S4＝1＋q4＝17∴q＝2. 4．在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，則Sn等于(　　) A．a(chǎn)n＋1－a B．n(a＋1) C．na D．(a＋1)n－1 [答案]　C [解析]　利用常數(shù)列a，a，a，…判斷，則存在等差數(shù)列a＋1，a＋1，a＋1，…或通過下列運(yùn)算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na. 5．已知等比數(shù)列前20項(xiàng)和是21，前30項(xiàng)和是49，則前10項(xiàng)和是(　　) A．7 B．9 C．63 D．7或63 [答案]　D [解析]　由S10，S20－S10，S30－S20成等比數(shù)列， ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)， 即(21－S10)2＝S10(49－21)， ∴S10＝7或63. 6．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n) [答案]　C [解析]　∵＝q3＝，∴q＝. ∴anan＋1＝4()n－14()n ＝25－2n， 故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1 ＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n ＝ ＝(1－4－n)． 二、填空題 7．(xx湖南理，14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，則an＝________. [答案]　3n－1 [解析]　考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)． ∵3S1,2S2，S3成等差數(shù)列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3?a3＝3a2?q＝3. 又∵{an}為等比數(shù)列，∴an＝a1qn－1＝3n－1. [方法點(diǎn)撥]　條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別． 8．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項(xiàng)數(shù)n＝________. [答案]　5 [解析]　由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，得 ?2n＝32?n＝5. 三、解答題 9．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)由題設(shè)，知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列得 ＝， 解得d＝1，或d＝0(舍去)． 故{an}的通項(xiàng)an＝1＋(n－1)1＝n. (2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得 Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. 10．(xx福建文，17)等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 由已知得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n. 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101. 一、選擇題 11．(xx新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調(diào)研)設(shè){an}是等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，則S101的值為(　　) A．2 B．200 C．－2 D．0 [答案]　A [解析]　設(shè)公比為q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2， ∴S101＝＝＝2. 12．(xx福建理，8)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 [答案]　D [解析]　由韋達(dá)定理得a＋b＝p，ab＝q，因?yàn)閜>0，q>0，則a＞0，b＞0，當(dāng)a，b，－2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，－2必為等比中項(xiàng)，故ab＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，－2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，2a＝－2，解得a＝1，b＝4，；當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí)，＝a－2，解得a＝4，b＝1，綜上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，選D． 13．在各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是(　　) A．1 061 B．1 023 C．1 024 D．268 [答案]　B [解析]　由a4(q－1)＝576，a1(q－1)＝9， ∴＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝1 023. 14．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　{an}是正數(shù)組成的等比數(shù)列，∴a3＝＝1，又S3＝7，∴，消去a1得，＝7，解之得q＝，∴a1＝4，∴S5＝＝. 二、填空題 15．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________. [答案]　3 [解析]　若q＝1時(shí)，S3＝3a1，S6＝6a1，顯然S6≠4S3，故q≠1， ∴＝4，∴1＋q3＝4，∴q3＝3. ∴a4＝a1q3＝3. 16．已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________. [答案]　2 [解析]　由題意，得， 解得S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝＝＝2. 三、解答題 17．(xx北京文，15)已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得 d＝＝＝3. 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)． 設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得 q3＝＝＝8，解得q＝2. 所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1， 從而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)． 數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)，數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1＝2n－1. 所以，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(n＋1)＋2n－1. 18．(xx安徽文，18)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. [解析]　(1)∵{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8， ∴??q3＝＝8?q＝2?an＝a1qn－1＝2n－1. (2)由(1)可知Sn＝＝＝2n－1， ∴bn＝ ＝－. ∴Tn＝(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－＝.