2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.1抽樣方法2.1.22.1.3系統(tǒng)抽樣分層抽樣教學(xué)案蘇教版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.1抽樣方法2.1.22.1.3系統(tǒng)抽樣分層抽樣教學(xué)案蘇教版必修3 預(yù)習(xí)課本P46～48，思考并完成以下問題 1．什么叫系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣有什么特征，系統(tǒng)抽樣操作步驟是什么？ 2．什么叫分層抽樣，分層抽樣有什么特征，分層抽樣操作步驟是什么？ 3．三種抽樣方法有何相同點及不同點，它們之間有何聯(lián)系． 1．系統(tǒng)抽樣 (1)系統(tǒng)抽樣的概念 將總體平均分成幾個部分，然后按照一定的規(guī)則，從每個部分中抽取一個個體作為樣本，這樣的抽樣方法稱為系統(tǒng)抽樣． (2)系統(tǒng)抽樣的步驟 假設(shè)從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，其步驟為： ①采用隨機的方式將總體中的N個個體編號； ②將編號按間隔k分段，當(dāng)是整數(shù)時，取k＝；當(dāng)不是整數(shù)時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數(shù)N′能被n整除，這時取k＝，并將剩下的總體重新編號； ③在第一段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號l； ④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常將編號為l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的個體抽出． (3)系統(tǒng)抽樣的特征 ①系統(tǒng)抽樣也稱為“等距抽樣”． ②適用于總體容量較大的情況． ③將總體分成幾個部分，各部分必須是均衡的，間隔是相等的． ④剔除多余個體及第一段抽樣都用簡單隨機抽樣，因而系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣有密切聯(lián)系． ⑤它是等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都是. 2．分層抽樣 (1)分層抽樣的概念 當(dāng)總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體中的個體按不同的特點分成層次比較明顯的幾個部分，然后按照各部分在總體中所占的比實施抽樣，這種抽樣方法稱為分層抽樣，其中所分成的各個部分稱為“層”． (2)分層抽樣的步驟： ①將總體按一定標(biāo)準(zhǔn)進行分層； ②計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比； ③按各層個體數(shù)占總體的個體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本容量； ④在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣)． (3)分層抽樣的特征：總體由差異比較明顯的幾個部分組成． 3．三種抽樣方法的比較 簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣 分層抽樣 方法 要點 隨機→“攪拌均勻”→抽取 編號→間隔→選號→抽取 分層→比例→抽取 共同 點　 ①抽樣過程中每個個體被抽到的機會均相等； ②三種抽樣方法均為不放回抽樣. 不同 點　 從總體中逐個隨機抽取 將總體均勻分成樣本容量相等的幾段，按預(yù)先確定的規(guī)則在各段內(nèi)抽取 將總體分成不交叉的若干層，各層中按比例抽取 相互 聯(lián)系 各段抽樣可采用簡單隨機抽樣 各層的抽樣可采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 適用 范圍 總體中的個體總數(shù)較少 總體中的個體總數(shù)較多 總體由差異明顯的幾個部分組成 1．簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣之間的共同點是________． ①都是從總體中逐個抽?。? ②將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽?。? ③抽樣過程中每個個體被抽到的可能性是相等的． ④將總體分成幾層，然后分層按比例抽?。? 答案：③ 2．采用系統(tǒng)抽樣的方法，從個體數(shù)為1 004的總體中抽取一個容量為50的樣本，則在抽樣過程中，抽樣間隔為________． 答案：20 3．某學(xué)院的A，B，C三個專業(yè)共有1 200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本．已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取________名學(xué)生． 答案：40 系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用 [典例]　某工廠有工人1 003名，現(xiàn)從中抽取100人進行體檢，試寫出抽樣方案． [解]　樣本容量為100，總體容量為1 003，不能被100整除，因此需要剔除3個個體，然后確定抽樣間隔為＝10，利用系統(tǒng)抽樣即可． 第一步，編號，將1 003名工人編號，號碼為0001,0002，…，1 003. 第二步，利用隨機數(shù)表法抽取3個號碼，將對應(yīng)編號的工人剔除． 第三步，將剩余的1 000名工人重新編號，號碼為0001,0002，…，1 000. 第四步，確定分段間隔k＝＝10，將總體分成100段，每段10名工人． 第五步，在第1段中，利用抽簽法或者隨機數(shù)表法抽取一個號碼m. 第六步，利用抽樣間隔，將m，m＋10，m＋20，…，m＋990共100個號碼抽出． 第七步，將與號碼對應(yīng)的工人抽出，組成樣本． 解決系統(tǒng)抽樣問題中兩個關(guān)鍵的步驟 (1)分組的方法應(yīng)依據(jù)抽取比例而定，每組抽取一個樣本． (2)起始編號的確定應(yīng)用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了． (3)當(dāng)總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，需要先在總體中剔除一些個體． [活學(xué)活用] 1．高三某班有學(xué)生56人，學(xué)生編號依次為1,2,3，…，56.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知編號為6,34,48的同學(xué)都在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號應(yīng)該是________． 解析：由于系統(tǒng)抽樣的樣本中個體編號是等距的，且間距為56/4＝14，所以樣本編號應(yīng)為6,20,34,48. 答案：20 2．從某廠生產(chǎn)的883輛同一型號的家用轎車中隨機抽取40輛測試某項性能．現(xiàn)在用系統(tǒng)抽樣的方法進行抽樣，請寫出抽樣過程． 解：采用系統(tǒng)抽樣法的步驟如下： 第一步，將883輛轎車隨機編號：001,002，…，883； 第二步，用隨機數(shù)表法從總體中隨機抽取3個編號，剔除這3個個體，將剩下的880個個體重新隨機編號，分別為001,002，…，880，并分成40段，每段22個編號； 第三步，在第一段001,002，…，022中用簡單隨機抽樣法隨機抽取一個個體編號作為起始號(例如008)； 第四步，把起始號依次加上22，即可獲得抽取的樣本的個體編號(例如008,030，…，866)； 分層抽樣的應(yīng)用 第五步，由以上編號的個體即可組成抽取的樣本. [典例]　一個單位有職工160人，其中有業(yè)務(wù)人員112人，管理人員16人，后勤服務(wù)人員32人．為了了解職工的某種情況，要從中抽取一個容量為20的樣本，請用分層抽樣的方法抽取樣本，并寫出過程． [解]　分層抽樣中的抽樣比為＝. 由112＝14,16＝2,32＝4，可得業(yè)務(wù)人員、管理人員、后勤服務(wù)人員應(yīng)分別抽取14人，2人和4人． 確定樣本的組成部分之后，下面進行層內(nèi)抽樣，用系統(tǒng)抽樣法完成． 若將112名業(yè)務(wù)人員依次編號為1,2,3，…，112，管理人員編號為113,114，…，128，后勤服務(wù)人員編號為129,130，…，160.在1～112號業(yè)務(wù)人員中第一部分的個體編號為1～8中隨機抽取一個號碼． 如它是4號，那么可以從4號起，按系統(tǒng)抽樣法每隔8個號碼抽取1個號碼，這樣得到112名業(yè)務(wù)人員被抽出的14個號碼依次為4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.同樣可抽出管理人員和后勤服務(wù)人員的號碼分別為116,124和132,140,148,156. 將以上各層抽出的個體合并起來，就得到容量為20的樣本． (1)當(dāng)已知總體是由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常采用分層抽樣． (2)分層抽樣是將總體分成幾層，然后分層按比例抽取樣本，各層抽取時可采用簡單隨機抽樣． (3)分層抽樣中每個個體被抽到的機會均相等，為. (4)分層標(biāo)準(zhǔn)要一致，層與層之間應(yīng)互不重疊．　　　　 [活學(xué)活用] 1．某地區(qū)的高中分三類，A類學(xué)校共有學(xué)生4 000人，B類學(xué)校共有學(xué)生2 000人，C類學(xué)校共有學(xué)生3 000人．現(xiàn)欲抽樣分析某次考試的情況，若抽取900份試卷進行分析，則從A類學(xué)校抽取的試卷份數(shù)應(yīng)為________份． 解析：試卷份數(shù)應(yīng)為900＝400(份)． 答案：400 2．某政府機關(guān)在編人員100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級機關(guān)為了了解政府機構(gòu)改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請具體實施操作． 解：由于機構(gòu)改革關(guān)系到各人的不同利益，故采用分層抽樣的方法為妥． ∵＝5，＝2，＝14，＝4， ∴從副處級以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人． 抽樣方法的選取 由于副處級以上干部與工人人數(shù)都較少，他們分別按1～10編號與1～20編號，然后采用簽法分別抽取2人和4分；對一般干部70人采用00,01，…，69編號，然后用隨機數(shù)表法抽取14人. [典例]　在下列問題中，各采用什么抽樣方法抽取樣本較為合適？ (1)從8臺彩電中抽取2臺進行質(zhì)量檢驗． (2)一個禮堂有32排座位，每排有40個座位(座位號為1～40)，一次報告會坐滿了聽眾，會后為聽取意見留下32名聽眾進行座談． (3)某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本． [解]　(1)總體容量為8，樣本容量為2，因此選擇抽簽法進行樣本的抽?。? (2)總體容量為3240＝1 280，樣本容量為32.由于座位數(shù)已經(jīng)分為32排，因此用系統(tǒng)抽樣更合適． (3)總體由差異明顯的四部分組成，因此可采用分層抽樣方法． 總體容量較小，宜采用抽簽法；總體容量較大且總體中的個體無明顯差異，而樣本容量較小，宜用隨機數(shù)表法；總體容量較大，樣本容量也較大，宜采用系統(tǒng)抽樣法．總體是由差異明顯的幾個部分組成，宜用分層抽樣法．在分層抽樣中應(yīng)注意抽樣比的求解．　　　　 [活學(xué)活用] 在100個零件中，有一級品20個，二級品30個，三級品50個，從中抽取20個作為 樣本． 方法一：采用簡單隨機抽樣的方法，將零件編號為00,01，…，99，用抽簽法抽取 20個； 方法二：采用系統(tǒng)抽樣的方法，將所有零件分為20組，每組5個，然后從每組中隨機抽取1個； 方法三：采用分層抽樣的方法，從一級品中隨機抽取4個，從二級品中隨機抽取6個，從三級品中隨機抽取10個． 對于上述問題，下列說法中正確的有________． ①不論采用哪種抽樣方法，這100個零件中每個零件被抽到的可能性都是 ②采用上述三種抽樣方法，這100個零件中每個零件被抽到的可能性各不相同 ③在上述三種抽樣方法中，方法三抽到的樣本比方法一和方法二抽到的樣本更能反映總體的特征 ④在上述三種抽樣方法中，方法二抽到的樣本比方法一和方法三抽到的樣本更能反映總體的特征 解析：根據(jù)三種抽樣方法的定義可知，三種方法都是等可能抽樣．對于明顯分層的總體，方法三抽到的樣本更能準(zhǔn)確地反映總體特征，故①③正確． 答案：①③ 層級一　學(xué)業(yè)水平達標(biāo) 1．下列抽樣是系統(tǒng)抽樣的是________．(填序號) ①從標(biāo)有1～15號的15個球中，任選3個作樣本，按從小號到大號排序，隨機選起點i0，以后i0＋5，i0＋10(超過15則從1再數(shù)起)號入樣； ②工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔5 min抽一件產(chǎn)品進行檢驗； ③搞某一市場調(diào)查，規(guī)定在商場門口隨機抽一個人進行詢問調(diào)查，直到調(diào)查到事先規(guī)定的人數(shù)為止； ④電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排(每排人數(shù)相同)座位號為14的觀眾留下座談． 答案：①②④ 2．老師在班級50名學(xué)生中，依次抽取學(xué)號為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)生進行作業(yè)檢查，這種抽樣方法是________． 解析：為等距抽樣，即為系統(tǒng)抽樣． 答案：系統(tǒng)抽樣 3．已知某單位有職工120人，其中男職工90人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法(按男、女分層)抽取一個樣本，若已知樣本中有27名男職工，則樣本容量為________． 解析：分層抽樣中抽樣比一定相同，設(shè)樣本容量為n，由題意得，＝，解得n＝36. 答案：36 4．在學(xué)生人數(shù)比例為2∶3∶5的A，B，C三所學(xué)校中，用分層抽樣方法招募n名志愿者，若在A學(xué)校恰好選出了6名志愿者，那么n＝________. 解析：由＝，得n＝30. 答案：30 5．某企業(yè)共有3 200名職工，其中中、青、老年職工的比例為5∶3∶2. (1)若從所有職工中抽取一個容量為400的樣本，應(yīng)采用哪種抽樣方法更合理？中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？ (2)若從青年職工中抽取120人，試求所抽取的樣本容量． 解：(1)由于中、青、老年職工有明顯的差異，采用分層抽樣更合理． 按照比例抽取中、青、老年職工的人數(shù)分別為： 400＝200，400＝120，400＝80， 因此應(yīng)抽取的中、青、老年職工分別為200人、120人、80人． (2)由題設(shè)可知青年職工共有3 200＝960人． 設(shè)抽取的樣本容量為n，則有960＝120.∴n＝400， 因此所抽取的樣本容量為400. 層級二　應(yīng)試能力達標(biāo) 1．從2 016個編號中抽取20個號碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法，則抽樣的分段間隔為________． 解析：先從2 016個個體中剔除16個，則分段間隔為＝100. 答案：100 2．將參加數(shù)學(xué)競賽的1 000名學(xué)生編號如下：0001,0002,0003，…，1000，打算從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個部分，如果第一部分編號為0001,0002,0003，…，0020，第一部分隨機抽取一個號碼為0015，則抽取的第40個號碼為________． 解析：由題意系統(tǒng)抽樣的組距為20， 則15＋3920＝795，故第40個號碼為0795. 答案：0795 3．某校共有2 000名學(xué)生參加跑步和登山比賽，每人都參加且每人只參加其中一項比賽，各年級參加比賽的人數(shù)情況如下表： 高一年級 高二年級 高三年級 跑步人數(shù) a b c 登山人數(shù) x y z 其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校參加登山的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的.為了了解學(xué)生對本次活動的滿意程度，按分層抽樣的方式從中抽取一個容量為200的樣本進行調(diào)查，則高三年級參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取________人． 解析：由題意，全校參加跑步的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，高三年級參加跑步的總?cè)藬?shù)為2 000＝450，由分層抽樣的特征，得高三年級參加跑步的學(xué)生中應(yīng)抽取450＝45(人)． 答案：45 4．某校高三年級有男生500人，女生400人，為了解該年級學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進行調(diào)查，這種抽樣方法是________． 解析：了解學(xué)生的健康情況，男、女生抽取比例應(yīng)該相同，因此應(yīng)用分層抽樣法．由題意，＝， ∴本題采用的抽樣方法是分層抽樣法． 答案：分層抽樣 5．經(jīng)問卷調(diào)查，某班學(xué)生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度．其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”的多12人．按分層抽樣方法從全班選出部分學(xué)生座談攝影，如果選出的是5位“喜歡”攝影的同學(xué)，1位“不喜歡”攝影的同學(xué)和3位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學(xué)．那么全班學(xué)生中“喜歡”攝影的比全班學(xué)生人數(shù)的一半還多________人． 解析：本班學(xué)生對攝影分別執(zhí)“喜歡”、“不喜歡”和“一般”三種態(tài)度的人數(shù)比例為5∶1∶3，可設(shè)三種態(tài)度的人數(shù)分別是5x，x,3x，則3x－x＝12，∴x＝6.即人數(shù)分別為30,6,18.∴30－＝3.故結(jié)果是3人． 答案：3 6．一個總體中有100個個體，隨機編號為0,1,2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1,2,3，…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k小組中抽取的號碼個位數(shù)字與m＋k的個位數(shù)字相同，若m＝6，則在第7組中抽取的號碼是________． 解析：m＋k＝6＋7＝13，由規(guī)定知抽取號碼的個位數(shù)字為3，第7組中號碼的十位數(shù)字為6.所以抽取號碼為63. 答案：63 7．一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品16 800件，它們來自甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，為檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，已知甲、丙二條生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)和為乙生產(chǎn)線抽取的個體數(shù)的兩倍，則乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了________件產(chǎn)品． 解析：甲、乙、丙抽取的個體數(shù)為x，y，z，由題意x＋z＝2y，即乙占總體的，故乙生產(chǎn)線生產(chǎn)了16 800＝5 600. 答案：5 600 8．某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A，B，C三種產(chǎn)品共3 000件，根據(jù)分層抽樣的結(jié)果，該企業(yè)統(tǒng)計員制作了如下的統(tǒng)計表： 由于不小心，表格中A，C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清楚，統(tǒng)計員記得A產(chǎn)品的樣本容量比C產(chǎn)品的樣本容量多10.根據(jù)以上信息，可得C產(chǎn)品的數(shù)量是______件． 解析：設(shè)C產(chǎn)品的數(shù)量為x，則A產(chǎn)品的數(shù)量為1 700－x，C產(chǎn)品的樣本容量為a，則A產(chǎn)品的樣本容量為10＋a，由分層抽樣的定義可知＝＝，解得x＝800. 答案：800 9．下面給出某村委會調(diào)查本村各戶收入情況所作的抽樣過程，閱讀并回答問題． 本村人口：1 200人，戶數(shù)：300，每戶平均人口數(shù)4人； 應(yīng)抽戶數(shù)：30戶； 抽樣間隔：＝40； 確定隨機數(shù)字：取一張人民幣，編碼的后兩位數(shù)為12； 確定第一樣本戶：編碼為12的戶為第一樣本戶； 確定第二樣本戶：12＋40＝52，編號為52的戶為第二樣本戶； …… (1)該村委會采用了何種抽樣方法？ (2)說明抽樣過程中存在哪些問題，并修改． (3)抽樣過程中何處應(yīng)用了簡單隨機抽樣？ 解：(1)系統(tǒng)抽樣． (2)本題是對該村各戶收入情況進行抽樣而不是對該村個人收入情況抽樣，故抽樣間隔應(yīng)為＝10. 其他步驟相應(yīng)改為： 確定隨機數(shù)字：任取一張人民幣，編號的最后一位為2； 確定第一樣本戶：編號為002的戶為第一樣本戶； 確定第二樣本戶：2＋10＝12，編號為012號的戶為第二樣本戶； …… (3)在確定隨機數(shù)字時，應(yīng)用的是簡單隨機抽樣，即任取一張人民幣，記下編號的最后一位． 10．某公路設(shè)計院有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學(xué)技術(shù)大會．如果采用系統(tǒng)抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數(shù)增加1個，則在采用系統(tǒng)抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，求n. 解：總體容量為6＋12＋18＝36. 當(dāng)樣本容量是n時，由題意知，系統(tǒng)抽樣的間隔為，分層抽樣的比例是， 抽取的工程師人數(shù)為6＝， 技術(shù)員人數(shù)為12＝， 技工人數(shù)為18＝， 所以n應(yīng)是6的倍數(shù)，36的約數(shù)，即n＝6,12,18. 當(dāng)樣本容量為(n＋1)時，總體容量是35，系統(tǒng)抽樣的間隔為，因為必須是整數(shù)，所以n只能取6.即樣本容量n＝6.