2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章坐標(biāo)系2.1極坐標(biāo)系的概念2.2點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化學(xué)案北師大版 1.極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系: 在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫作極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫作極軸;選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. (2)點(diǎn)的極坐標(biāo):對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長(zhǎng),用θ表示以O(shè)x為始邊,OM為終邊的角度,ρ叫作點(diǎn)M的極徑,θ叫作點(diǎn)M的極角,有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)就叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ). ①特別地,當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極徑ρ=0,極角θ可以取任意值; ②點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系:平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì),當(dāng)k∈Z時(shí),(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一個(gè)點(diǎn),如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π或者-π<θ≤π,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了. 2.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 (1)互化的前提條件: ①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合; ②極軸與x軸的正半軸重合; ③兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位. (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化: ①將點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ,θ)化為直角坐標(biāo)(x,y)的關(guān)系式為. ②將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ)的關(guān)系式為. 1.極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)系? 提示:區(qū)別:平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景,而極坐標(biāo)以角和距離為背景. 聯(lián)系:二者都是平面坐標(biāo)系,用來研究平面內(nèi)點(diǎn)與距離等有關(guān)問題. 2.點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極軸、極點(diǎn)以及過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)各為什么? 提示:(ρ,2π-θ),(ρ,π+θ),(ρ,π-θ). 3.把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),表示方法唯一嗎? 提示:通常有不同的表示法.(極角相差2π的整數(shù)倍) [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P6] 由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置 [例1] 在極坐標(biāo)系中,畫出點(diǎn)A,B,C,D. [思路點(diǎn)撥] 本題考查極坐標(biāo)系以及極坐標(biāo)的概念,同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想,解答此題需要先建立極坐標(biāo)系,再作出極角的終邊,然后以極點(diǎn)O為圓心,極徑為半徑分別畫弧,從而得到點(diǎn)的位置. [精解詳析] 在極坐標(biāo)系中先作出線,再在線上截取|OA|=1,這樣可得到點(diǎn)A.同樣可作出點(diǎn)B,C,D,如圖所示. 由極坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置的步驟 (1)取定極點(diǎn)O; (2)作方向?yàn)樗较蛴业纳渚€Ox為極軸; (3)以極點(diǎn)O為頂點(diǎn),以極軸Ox為始邊,通常按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)極軸Ox確定出極角的終邊; (4)以極點(diǎn)O為圓心,以極徑為半徑畫弧,弧與極角終邊的交點(diǎn)即是所求點(diǎn)的位置. 1.在極坐標(biāo)系中,作出以下各點(diǎn):A(4,0),B,C,D;結(jié)合圖形判斷點(diǎn)B,D的位置是否具有對(duì)稱性;并求出B,D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo).(限定ρ≥0,θ∈[0,2π)) 解:如圖,A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)分別是唯一確定的. 由圖形知B,D兩點(diǎn)關(guān)于極軸對(duì)稱,且B,D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,. 化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo) [例2] 已知A,B,將A,B坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),并求A,B兩點(diǎn)間的距離. [思路點(diǎn)撥] 本題考查如何將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),解答此題需要利用互化公式先將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),再由兩點(diǎn)間的距離公式得結(jié)果. [精解詳析] 將A,B由極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo), 對(duì)于點(diǎn)A,有x=3cos=, y=3sin=-,∴A. 對(duì)于點(diǎn)B,有x=1cos=-,y=1sin =, ∴B(-,). ∴|AB|= ==4. 1.將極坐標(biāo)M(ρ,θ)化為直角坐標(biāo)(x,y),只需根據(jù)公式:即可得到; 2.利用兩種坐標(biāo)的互化,可以把不熟悉的極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)問題求解. 本例中如何由極坐標(biāo)直接求A,B兩點(diǎn)間的距離? 解:根據(jù)M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),則由余弦定理得: |MN|=, 所以|AB|= =4. 化直角坐標(biāo)為極坐標(biāo) [例3] 分別將下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π). (1)(-1,1),(2)(-,-1). [思路點(diǎn)撥] 本題考查如何將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),同時(shí)考查三角函數(shù)中由值求角問題,解答此題利用互化公式即可,但要注意點(diǎn)所在象限. [精解詳析] (1)∵ρ= =, tan θ=-1,θ∈[0,2π), 又點(diǎn)(-1,1)在第二象限, ∴θ=. ∴直角坐標(biāo)(-1,1)化為極坐標(biāo)為. (2)ρ==2, tan θ==,θ∈[0,2π), ∵點(diǎn)(-,-1)在第三象限, ∴θ=π. ∴直角坐標(biāo)(-,-1)化為極坐標(biāo)為. 將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(x,y)化為極坐標(biāo)(ρ,θ)時(shí),運(yùn)用公式即可,在[0,2π)范圍內(nèi),由tan θ=(x≠0)求θ時(shí),要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征,判斷出點(diǎn)所在象限,如果允許θ∈R,再根據(jù)終邊相同的角的意義,表示為θ+2kπ,k∈Z即可. 2.將下列各點(diǎn)由直角坐標(biāo)化為極徑ρ是正值,極角在0到2π之間的極坐標(biāo). (1)(3,);(2)(-2,-2). 解:(1)ρ==2,tan θ==, 又點(diǎn)(3,)在第一象限,所以θ=. 所以點(diǎn)(3,)的極坐標(biāo)為2,. (2)ρ==4, tan θ===, 又點(diǎn)(-2,-2)在第三象限,所以θ=. 所以點(diǎn)(-2,-2)的極坐標(biāo)為. 本課時(shí)??疾闃O坐標(biāo)的確定及點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化,特別是直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)常與三角知識(shí)交匯命題,更成為命題專家的新寵. [考題印證] 點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-),則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. [命題立意] 本題主要考查點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo) 的互化,同時(shí)還考查了三角知識(shí)及運(yùn)算解題能力. [自主嘗試] ρ==2,tan θ==-, 又點(diǎn)(1,-)在第四象限,所以O(shè)P與x軸所成的角為,故點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)為,排除A,B選項(xiàng).又-π+2π=π,所以極坐標(biāo)所表示的點(diǎn)在第二象限,故D不正確,而-+2π=π. [答案] C [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P8] 一、選擇題 1.點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(-,),那么它的極坐標(biāo)可表示為( ) A. B. C. D. 解析:選B ρ==2, tan θ==-1, ∵點(diǎn)P在第二象限, ∴最小正角θ=. 2.在極坐標(biāo)系中與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在的直線對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 解析:選B 與點(diǎn)A關(guān)于極軸所在直線的對(duì)稱的點(diǎn)的極坐標(biāo)可以表示為(k∈Z),這時(shí)只有選項(xiàng)B滿足條件. 3.在極坐標(biāo)系中,若等邊△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)是A,B,那么可能是頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的是( ) A. B. C. D. 解析:選B 如圖,由題設(shè),可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)O對(duì)稱,即O是AB的中點(diǎn). 又|AB|=4,△ABC為正三角形, ∴|OC|=2,∠AOC=,點(diǎn)C的極角θ=+=或+=, 即點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或. 4.若ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,則點(diǎn)M1(ρ1,θ1)與點(diǎn)M2(ρ2,θ2)的位置關(guān)系是( ) A.關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱 B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于過極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱 D.兩點(diǎn)重合 解析:選A 因?yàn)辄c(diǎn)(ρ,θ)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(-ρ,π-θ).由此可知點(diǎn)(ρ1,θ1)和(ρ2,θ2)滿足ρ1+ρ2=0,θ1+θ2=π,是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱. 二、填空題 5.將極軸Ox繞極點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP,在OP上取點(diǎn)M,使|OM|=2,則ρ>0,θ∈[0,2π)時(shí)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為________,它關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)為________(ρ>0,θ∈[0,2π)). 解析:ρ=|OM|=2, 與OP終邊相同的角為-+2kπ(k∈Z). ∵θ∈[0,2π),∴k=1,θ=.∴M. ∴M關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,). 答案: 6.點(diǎn)A在條件: (1)ρ>0,θ∈(-2π,0)下的極坐標(biāo)是________; (2)ρ<0,θ∈(2π,4π)下的極坐標(biāo)是________. 解析:(1)當(dāng)ρ>0時(shí),點(diǎn)A的極坐標(biāo)形式為(k∈Z), ∵θ∈(-2π,0).令k=-1,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,符合題意. (2)當(dāng)ρ<0時(shí),的極坐標(biāo)的一般形式是(k∈Z). ∵θ∈(2π,4π),當(dāng)k=1時(shí),點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,符合題意. 答案: (2) 7.直線l過點(diǎn)A,B,則直線l與極軸所在直線的夾角等于________. 解析:如圖所示,先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角),然后根據(jù)點(diǎn)A,B的位置分析夾角大?。? 因?yàn)閨AO|=|BO|=7,∠AOB=-=, 所以∠OAB==. 所以∠ACO=π--=. 答案: 8.已知兩點(diǎn)的極坐標(biāo)是A,B,則AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)是________. 解析:畫出示意圖,A,B與極點(diǎn)O共線, ∴ρ=(3-8)=-, θ=. 故AB中點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為. 答案: 三、解答題 9.設(shè)有一顆彗星,圍繞地球沿一拋物線軌道運(yùn)行,地球恰好位于該拋物線的焦點(diǎn)處,當(dāng)此彗星離地球30萬千米時(shí),經(jīng)過地球和彗星的直線與拋物線對(duì)稱軸的夾角為30,試建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,寫出彗星此時(shí)的極坐標(biāo). 解:如圖所示,建立極坐標(biāo)系,使極點(diǎn)O位于拋物線的焦點(diǎn)處,極軸Ox過拋物線的對(duì)稱軸,由題設(shè)可得下列4種情形: ①當(dāng)θ=30時(shí),ρ=30(萬千米); ②當(dāng)θ=150時(shí),ρ=30(萬千米); ③當(dāng)θ=210時(shí),ρ=30(萬千米); ④當(dāng)θ=330時(shí),ρ=30(萬千米). ∴彗星此時(shí)的極坐標(biāo)有4種情形:(30,30),(30,150),(30,210),(30,330). 10.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)分別為和(3,0),O為極點(diǎn). (1)求|AB|;(2)求S△AOB. 解:|AB|= = ==. S△AOB=|OA||OB|sin ∠AOB =23sin =. 11.在極坐標(biāo)系中,如果A,B為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn),求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo). 解:法一:對(duì)于A有ρ=2,θ=, ∴x=ρcos θ=2cos=, y=ρsin θ=2sin=. ∴A(,). 對(duì)于B有ρ=2,θ=π. ∴x=2cos=-, y=2sin=-. ∴B(-,-). 設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由于△ABC為等邊三角形,故有|AB|=|BC|=|AC|. ∴有(x+)2+(y+)2=(x-)2+(y-)2 =(+)2+(+)2. ∴有 解之得或 ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-)或(-,). ∴ρ==2,tan θ==-1. ∴θ=或θ=. ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為或. 法二:設(shè)C點(diǎn)的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(0≤θ<2π,ρ>0). 則有|AB|=|BC|=|AC|. ∴ 解之得或 ∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為,.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 第一章 坐標(biāo)系 2.1 概念 2.2 坐標(biāo) 直角坐標(biāo) 化學(xué) 北師大
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