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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-3-3第3課時(shí) 雙曲線的綜合應(yīng)用同步檢測(cè) 新人教版選修2-1
一、選擇題
1.如圖,橢圓C1,C2與雙曲線C3,C4的離心率分別是e1,e2,e3與e4,則e1,e2,e3,e4的大小關(guān)系是( )
A.e2
0,b>0),依題意c=,
∴方程可化為-=1.
由得,
(7-2a2)x2+2a2x-8a2+a4=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=.
∵=-,∴=-,解得a2=2.
故所求雙曲線方程為-=1,故選D.
3.若ab≠0,則ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲線只可能是下圖中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化為y=ax+b和+=1.從B,D中的兩橢圓看a,b∈(0,+∞),但B中直線有a<0,b<0矛盾,應(yīng)排除;D中直線有a<0,b>0矛盾,應(yīng)排除;再看A中雙曲線的a<0,b>0,但直線有a>0,b>0,也矛盾,應(yīng)排除;C中雙曲線的a>0,b<0和直線中a,b一致.應(yīng)選C.
4.(xx濰坊模擬)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,過(guò)F1作傾斜角為30的直線交雙曲線右支于M點(diǎn),若MF2垂直于x軸,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 在直角△MF1F2中,∠F1F2M=90,∠MF1F2=30,|F1F2|=2c,于是=cos30=,=tan30=,從而有|MF1|=c,|MF2|=c,代入|MF1|-|MF2|=2a,得c=2a,故e==,故選B.
5.雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.(1,3) B.(1,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
[答案] B
[解析] 由雙曲線的定義得,|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a,|PF1|=2|PF2|=4a,∵|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,
∴6a≥2c,≤3,故離心率的范圍是(1,3],選B.
6.已知F1、F2是兩個(gè)定點(diǎn),點(diǎn)P是以F1和F2為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),并且PF1⊥PF2,e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率,則有( )
A.+=4 B.e+e=4
C.+=2 D.e+e=2
[答案] C
[解析] 設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)為m,則
①2+②2得:2(|PF1|2+|PF2|2)=4a2+4m2,
又|PF1|2+|PF2|2=4c2代入上式得4c2=2a2+2m2,
兩邊同除以2c2得2=+,故選C.
7.(08山東)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[答案] A
[解析] 由已知得橢圓中a=13,c=5,曲線C2為雙曲線,由此知道在雙曲線中a=4,c=5,故雙曲線中b=3,雙曲線方程為-=1.
8.已知a>b>0,e1,e2分別為圓錐曲線+=1和-=1的離心率,則lge1+lge2的值( )
A.大于0且小于1 B.大于1
C.小于0 D.等于0
[答案] C
[解析] ∵lge1+lge2=lg+lg=lg0,b>0)的左、右焦點(diǎn).若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P,滿足|PF2|=|F1F2|,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng),則該雙曲線的漸近方程為( )
A.3x4y=0 B.3x5y=0
C.4x3y=0 D.5x4y=0
[答案] C
[解析] 如圖:
由條件|F2A|=2a,|F1F2|=2c
又知|PF2|=|F1F2|,知A為PF1中點(diǎn),由a2+b2=c2,有|PF1|=4b由雙曲線定義:
|PF1|-|PF2|=2a,則4b-2c=2a
∴2b=c+a,又有c2=a2+b2,(2b-a)2=a2+b2,
∴4b2-4ab+a2=a2+b2
3b2=4ab,∴=,
∴漸近線方程:y=x.故選C.
二、填空題
11.設(shè)中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線2x2-2y2=1有公共的焦點(diǎn),且它們的離心率互為倒數(shù),則該橢圓的方程是________.
[答案]?。珁2=1
[解析] 雙曲線為-=1.
∴雙曲線的焦點(diǎn)為(1,0)和(-1,0),離心率為.則橢圓的離心率為,又e==,c=1,
∴a=,b=1.∴橢圓的方程是+y2=1.
12.過(guò)雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點(diǎn),以MN為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于____________.
[答案] 2
[解析] 由題意得,a+c=,
即a2+ac=b2,a2+ac=c2-a2,
∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0.
解得e=2或e=-1(舍去).
13.雙曲線-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)P在雙曲線上,若PF1⊥PF2,則點(diǎn)P到x軸的距離為_(kāi)___________.
[答案] 3.2
[解析] 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),∴a=3,b=4,c=5.由雙曲線的定義知,m-n=2a=6,
又PF1⊥PF2.
∴△PF1F2為直角三角形.
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,
∴2mn=m2+n2-36=64,mn=32.
設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d,
S△PF1F2=d|F1F2|=|PF1||PF2|,
即d2c=mn.∴d===3.2,
即點(diǎn)P到x軸的距離為3.2.
14.(xx北京理,13)已知雙曲線-=1的離心率為2,焦點(diǎn)與橢圓+=1的焦點(diǎn)相同,那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______;漸近線方程為_(kāi)_______.
[答案] (4,0) y=x
[解析] 雙曲線焦點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn),不難算出為(4,0),又雙曲線離心率為2,即=2,c=4,故a=2,b=2,漸近線為y=x=x.
三、解答題
15.求以橢圓+=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
[解析] 橢圓+=1長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)為A1(-5,0),A2(5,0),則雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),由雙曲線的定義知,
|PF1|-|PF2|
=-
=-=8,
即2a=8,a=4,c=5,∴b2=c2-a2=9.
所以雙曲線的方程為-=1.
16.直線l被雙曲線-=1截得弦長(zhǎng)為4,其斜率為2,求直線l在y軸上的截距.
[解析] 設(shè)直線l的方程為y=2x+m,
由得10x2+12mx+3(m2+2)=0.
設(shè)直線l與雙曲線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),
由韋達(dá)定理,得x1+x2=-m,x1x2=(m2+2).
又y1=2x1+m,y2=2x2+m,
∴y1-y2=2(x1-x2),
∴|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2
=5[(x1+x2)2-4x1x2]
=5[m2-4(m2+2)]
∵|AB|=4,∴m2-6(m2+2)=16.
∴3m2=70,m=.
17.設(shè)P點(diǎn)是雙曲線-=1上除頂點(diǎn)外的任意一 點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),c為半焦距,△PF1F2的內(nèi)切圓與邊F1F2切于點(diǎn)M,求|F1M||F2M|之值.
[解析] 如圖所示.P是雙曲線上任一點(diǎn)(頂點(diǎn)除外),由雙曲線定義得|PF1|-|PF2|=2a,
根據(jù)切線定理,可得|F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a.
又|F1M|+|F2M|=2c,
∴當(dāng)P在雙曲線左支上時(shí),|F1M|=c-a,|F2M|=c+a.
當(dāng)P在雙曲線右支上時(shí),|F1M|=c+a,|F2M|=c-a.
故|F1M||F2M|=c2-a2=b2.
18.已知直線y=ax+1與雙曲線3x2-y2=1交于A、B兩點(diǎn).
(1)若以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值,
(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
[解析] (1)由消去y得,
(3-a2)x2-2ax-2=0①
依題意
即-
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