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2019-2020年高中數(shù)學 2-3-2第2課時 雙曲線的簡單幾何性質同步檢測 新人教版選修2-1
一、選擇題
1．已知雙曲線與橢圓＋＝1共焦點，它們的離心率之和為，雙曲線的方程應是( )
A.－＝1 B.－＝1
C．－＋＝1 D．－＋＝1
[答案] C
[解析] ∵橢圓＋＝1的焦點為(0，4)，
離心率e＝，
∴雙曲線的焦點為(0，4)，離心率為－＝＝2，
∴雙曲線方程為：－＝1.
2．焦點為(0，6)且與雙曲線－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 與雙曲線－y2＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設為－y2＝λ(λ≠0)，
又因為雙曲線的焦點在y軸上，
∴方程可寫為－＝1.
又∵雙曲線方程的焦點為(0，6)，
∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.
∴雙曲線方程為－＝1.
3．若0
0.
∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.
4．中心在坐標原點，離心率為的雙曲線的焦點在y軸上，則它的漸近線方程為( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
[答案] D
[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，
∴＝，∴＝.
又∵雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝x，
∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝x.
5．(xx四川文，8)已知雙曲線－＝1(b>0)的左右焦點分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點P(，y0)在該雙曲線上，則＝( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4
[答案] C
[解析] 本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質．
由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，
又點P(，y0)在雙曲線上，∴y＝1，
∴＝(－2－，－y0)(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故選C.
6．雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1、F2，∠F1MF2＝120，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
[答案] B
[解析] 設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)．
∵△MF1F2為等腰三角形，∠F1MF2＝120，
∴∠MF1F2＝30，∴tan30＝＝，＝，
＝1－()2＝，()2＝，∴e＝.
7．已知a、b、c分別為雙曲線的實半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2＋bx＋c＝0無實根，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．11，故10)的漸近線方程為y＝x，則b等于________．
[答案] 1
[解析] 本題主要考查雙曲線的漸近線方程．
雙曲線－＝1(b>0)的漸近線方程為y＝x，
∴＝，即b＝1.
13．已知雙曲線與橢圓x2＋4y2＝64共焦點，它的一條漸近線方程為x－y＝0，則雙曲線的方程為________．
[答案]?。?
[解析] 解法一：由于雙曲線的一條漸近線方程為x－y＝0，則另一條為x＋y＝0，可設雙曲線方程為
x2－3y2＝λ(λ>0)，即－＝1
由橢圓方程＋＝1可知
c2＝a2－b2＝64－16＝48
雙曲線與橢圓共焦點，則λ＋＝48
∴λ＝36.
故所求雙曲線方程為－＝1.
解法二：雙曲線與橢圓共焦點，可設雙曲線方程為
－＝1
由漸近線方程y＝x可得＝
∴λ＝28
故所求雙曲線方程為－＝1.
解法三：橢圓＋＝1，c2＝64－16＝48.
設雙曲線的實半軸長，虛半軸長分別為a、b，則由條件知
，∴，
∴雙曲線方程為－＝1.
14．已知雙曲線的漸近線方程是y＝4x，則其離心率為________．
[答案] 或
[解析] 若雙曲線焦點在x軸上，依題意得，＝4，
∴＝16，即＝16，∴e2＝17，e＝.
若雙曲線焦點在y軸上，依題意得，＝4.
∴＝，＝，即＝.
∴e2＝，故e＝，
即雙曲線的離心率是或.
三、解答題
15．雙曲線與圓x2＋y2＝17有公共點A(4，－1)，圓在A點的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求雙曲線的標準方程．
[解析] ∵點A與圓心O連線的斜率為－，
∴過A的切線的斜率為4.
∴雙曲線的漸近線方程為y＝4x.
設雙曲線方程為x2－＝λ.
∵點A(4，－1)在雙曲線上，∴16－＝λ，λ＝.
∴雙曲線的標準方程為－＝1.
16．焦點在坐標軸上的雙曲線，它的兩條漸近線方程為2xy＝0，焦點到漸近線的距離為8，求此雙曲線方程．
[解析] 因雙曲線的漸近線方程為2xy＝0，
故設雙曲線方程為4x2－y2＝λ(λ≠0)．
當λ>0時，a2＝，b2＝λ，∴c2＝a2＋b2＝λ.
即焦點坐標為(λ，0)．
據(jù)點到直線的距離公式有＝8，得λ＝8.
此時雙曲線方程為－＝1.
當λ<0時，雙曲線方程可化為－＝1.
則a2＝－λ，b2＝－，
∴c2＝a2＋b2＝－λ.
故焦點坐標為(0，λ)，
據(jù)點到直線的距離公式有＝3，得λ＝－16.
此時雙曲線方程為－＝1.
故所求雙曲線的方程為－＝1或－＝1.
17．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，焦距為2c，左頂點為A，虛軸的上端點為B(0，b)，若＝3ac，求該雙曲線的離心率．
[解析] 由條件知F(c,0)，A(－a,0)，
∴＝(－a，－b)，＝(c，－b)，
∵＝3ac，∴－ac＋b2＝3ac，
又b2＝c2－a2，∴c2－a2－4ac＝0，
∵e>1，∴e＝＝2＋.
18．若F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的左、右兩個焦點，點P在雙曲線上，且|PF1||PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．
[分析] 條件給出了|PF1||PF2|＝32，自然聯(lián)想到定義式||PF1|－|PF2||＝2a＝6，欲求∠F1PF2可考慮應用余弦定理．
[解析] 由雙曲線的方程，知a＝3，b＝4，所以c＝5.
由雙曲線的定義得，
||PF1|－|PF2||＝2a＝6.
上式兩邊平方得，
|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1||PF2|＝100，
由余弦定理得，
cos∠F1PF2＝
＝＝0，
所以∠F1PF2＝90.
[點評] 在雙曲線的焦點三角形中，經(jīng)常運用正弦定理、余弦定理、雙曲線定義來解題，解題過程中，常對定義式兩邊平方探求關系．
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