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2019-2020年高二數(shù)學 1、2-1-1橢圓及其標準方程同步練習 新人教A版選修1-1
一、選擇題
1．設定點F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，動點P(x，y)滿足條件|PF1|＋|PF2|＝a(a>0)，則動點P的軌跡是( )
A．橢圓
B．線段
C．橢圓、線段或不存在
D．不存在
[答案] C
[解析] 當a>|F1F2|＝6時，動點P的軌跡為橢圓；
當a＝|F1F2|＝6時，動點P的軌跡為線段；
當a<|F1F2|＝6時，動點P的軌跡不存在．
2．橢圓2x2＋3y2＝12的兩焦點之間的距離是( )
A．2 B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 橢圓方程2x2＋3y2＝12可化為：＋＝1，
a2＝6，b2＝4，c2＝6－4＝2，∴2c＝2.
3．橢圓5x2＋ky2＝5的一個焦點是(0,2)，那么k的值為( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] B
[解析] 橢圓方程5x2＋ky2＝5可化為：x2＋＝1，
又∵焦點是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4，
∴k＝1.
4．已知方程＋＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是( )
A．－9
8
[答案] B
[解析] 由題意得，解得8－n，橢圓的焦點在y軸上，排除B、D，
又n>m，∴無意義，排除A，故選C.
6．若△ABC的兩個焦點坐標為A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為( )
A.＋＝1
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0)
D.＋＝1(y≠0)
[答案] D
[解析] |AB|＝8，|AC|＋|BC|＝10>|AB|，故點C軌跡為橢圓且兩焦點為A、B，又因為C點的縱坐標不能為零，所以選D.
7．點P為橢圓＋＝1上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積為1，則P點的坐標為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] S△PF1F2＝|F1F2||yP|
＝2|yP|＝1，
∴|yP|＝1，yP＝1，代入橢圓方程得，xP＝.
8．已知橢圓過點P和點Q，則此橢圓的標準方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不對
[答案] A
[解析] 設橢圓方程為：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)
由題意得，解得.
9．已知橢圓的兩個焦點分別是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動點Q的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．射線 D．直線
[答案] A
[解析] ∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∵F1、P、Q三點共線，
∴|F1P|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a.
即Q在以F1為圓心以2a為半徑的圓上．
10．AB為過橢圓＋＝1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為橢圓的左焦點，則△AFB的面積最大值是( )
A．b2 B．bc
C．a(chǎn)b D．a(chǎn)c
[答案] B
[解析] S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝|OF||yA－yB|，
當A、B為短軸兩個端點時，|yA－yB|最大，最大值為2b.
∴△ABF面積的最大值為bc.
二、填空題
11．已知橢圓中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓與x軸的交點到兩焦點的距離分別為3和1，則橢圓的標準方程為________．
[答案]?。?
[解析] 由題意可得，∴，
故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1.
12．過點(－3,2)且與＋＝1有相同焦點的橢圓方程是________．
[答案] ＋＝1
[解析] 因為焦點坐標為(，0)，設方程為＋＝1，將(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程為＋＝1.
13．(xx上海文，12)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
[答案] 3
[解析] 本題考查橢圓的定義及整體代換的數(shù)學思想．
由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝4a2，
又∵⊥，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
∴|PF1||PF2|＝2b2，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝b2＝9，∴b＝3.
14．橢圓＋＝1的兩個焦點為F1、F2，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則|PF1|是|PF2|的____________倍．
[答案] 7
[解析] 如圖，
PF1的中點M在y軸上，O為F1F2的中點，
∴OM∥PF2，∴PF2⊥x軸，|PF2|＝＝，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
∴|PF1|＝4－＝＝7|PF2|.
三、解答題
15．已知F1、F2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上任一點，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面積．
[解析] 設|PF1|＝m，|PF2|＝n.
根據(jù)橢圓定義有m＋n＝20，
又c＝＝6，∴在△F1PF2中，
由余弦定理得m2＋n2－2mncos＝122，
∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，
∴mn＝，
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2
＝＝.
16．已知點P(x0，y0)是橢圓＋＝1上一點，A點的坐標為(6,0)，求線段PA中點M的軌跡方程．
[解析] 設M(x，y)，則∴
∵點P在橢圓＋＝1上，∴＋＝1.把代入＋＝1，得＋＝1，
即＋y2＝1為所求．
17．求以橢圓9x2＋5y2＝45的焦點為焦點，且經(jīng)過點M(2，)的橢圓的標準方程．
[解析] 由9x2＋5y2＝45，得＋＝1.
其焦點F1(0,2)、F2(0，－2)．
設所求橢圓方程為＋＝1.
又∵點M(2，)在橢圓上，∴＋＝1①
又a2－b2＝4②
解①②得a2＝12，b2＝8.
故所求橢圓方程為＋＝1.
18．若長度為8的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，點M在AB上且＝2，求點M的軌跡方程．
[解析] 設A(x0,0)、B(0，y0)、M(x，y)，
∵＝2，∴
∴
∵|AB|＝8，∴＝8.
∴x＋y＝64.
把x0＝3x，y0＝y(tǒng)代入x＋y＝64，
得(3x)2＋2＝64，
即x2＋y2＝1為點M的軌跡方程．
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