2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 課時(shí)作業(yè)10 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1.doc

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2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2 雙曲線 課時(shí)作業(yè)10 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 新人教A版選修1-1 1．雙曲線4y2－9x2＝36的漸近線方程為(　　) A．y＝x　B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：方程可化為－＝1，焦點(diǎn)在y軸上， ∴漸近線方程為y＝x. 答案：A 2．已知雙曲線 C：－＝1的焦距為10，點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：2c＝10，c＝5. ∵點(diǎn)P(2,1)在直線y＝x上，∴1＝. 又∵a2＋b2＝25，∴a2＝20，b2＝5. 故C的方程為－＝1. 答案：A 3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值為(　　) A．－ B．－4 C．4 D. 解析：由雙曲線方程mx2＋y2＝1，知m＜0， 則雙曲線方程可化為y2－＝1， 則a2＝1，a＝1. 又虛軸長是實(shí)軸長的2倍， ∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故選A. 答案：A 4．已知雙曲線－＝1的左頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，交雙曲線于M，N兩點(diǎn)，則△AMN的面積為__________． 解析：由已知得A點(diǎn)坐標(biāo)為(－3,0)，右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(5,0)，把x＝5代入－＝1，得y＝. ∴S△AMN＝8＝. 答案： 5．已知雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)． (1)求雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長； (2)若已知M(4,0)，點(diǎn)N(x，y)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，求|MN|的最小值． 解析：(1)由題意可知，m＋3m＝4，∴m＝1. ∴雙曲線方程為x2－＝1. ∴雙曲線實(shí)軸長為2，虛軸長為2. (2)由x2－＝1，得y2＝3x2－3， ∴|MN|＝＝ ＝＝. 又∵x≤－1或x≥1， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，|MN|取得最小值3. (限時(shí)：30分鐘) 1．雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則此雙曲線的實(shí)軸長為(　　) A．1　　　　B.　　　　C．2　　　　D．2 解析：由已知焦點(diǎn)在x軸上，∴m＞0. ∴m＋3m＝4，m＝1.∴雙曲線的實(shí)軸長為2. 答案：C 2．如果橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，那么雙曲線－＝1的離心率為(　　) A. B. C. D．2 解析：由已知橢圓的離心率為，得＝， ∴a2＝4b2.∴e2＝＝＝.∴雙曲線離心率e＝. 答案：A 3．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率e＝2，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為1，則該雙曲線的方程為(　　) A．x2－y2＝1 B．x2－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 解析：由已知＝2，c－a＝1， ∴c＝2，a＝1.∴b2＝c2－a2＝3. ∴所求雙曲線方程為x2－＝1. 答案：B 4．若雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝x，則雙曲線焦點(diǎn)F到漸近線的距離為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上， ∴＝＝.∴m＝9. ∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0，)，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為d＝3. 答案：B 5．設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D．3 解析：設(shè)雙曲線的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2， 由題意可知|F1F2|＝2c，|AB|＝2|AF1|＝4a， 在Rt△AF1F2中， ∵|AF1|＝2a，|F1F2|＝2c，|AF2|＝， ∴|AF2|－|AF1|＝－2a＝2a， 即3a2＝c2，∴e＝＝. 答案：B 6．若雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則b的取值范圍是__________． 解析：由＋＝1表示雙曲線，得b＜0， ∴離心率e＝∈(1,2)．∴－12＜b＜0. 答案：(－12,0) 7．已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________；漸近線方程為________． 解析：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且滿足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以雙曲線的漸近線方程為y＝x＝x. 答案：(4,0)，(－4,0)　y＝x 8．過雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，且雙曲線的右頂點(diǎn)A滿足MA⊥NA，則雙曲線的離心率等于__________． 解析：由題意知△AMN為等腰直角三角形， 所以|AF|＝|FM|.易求|FM|＝. 又|AF|＝a＋c，所以＝a＋c， 所以e2－e－2＝0.故e＝2. 答案：2 9．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過F1且垂直于x軸的雙曲線的弦，如果∠PF2Q＝90，求雙曲線的離心率． 解析：設(shè)F1(c,0)，將x＝c代入雙曲線的方程得－＝1，那么y＝. ∴|PF1|＝. 由雙曲線對稱性，|PF2|＝|QF2|且∠PF2Q＝90. 知|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|， ∴＝2c，則b2＝2ac. ∴c2－2ac－a2＝0， ∴2－2－1＝0. 即e2－2e－1＝0.∴e＝1＋或e＝1－(舍去)． ∴所求雙曲線的離心率為1＋. 10．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)頂點(diǎn)間距離為6，漸近線方程為y＝x； (2)求與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程． 解析：(1)設(shè)以y＝x為漸近線的雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)． ∵當(dāng)λ＞0時(shí)，a2＝4λ，∴2a＝2＝6， 即λ＝.當(dāng)λ＜0時(shí)，a2＝－9λ， ∴2a＝2＝6，即λ＝－1. ∴雙曲線的方程為－＝1和－＝1. (2)設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k(k≠0)，將點(diǎn)(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2. ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 11．雙曲線－＝1(a＞1，b＞0)的焦距為2c，直線l過點(diǎn)(a,0)和(0，b)，且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(－1,0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率的取值范圍． 解析：直線l的方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d1＝，點(diǎn)(－1,0)到直線l的距離d2＝， s＝d1＋d2＝＝， 由s≥c，得≥c， 即5a≥2c2，于是有5≥2e2， 即4e4－25e2＋25≤0，得≤e2≤5. 由于e＞1＞0，所以e的取值范圍是≤e≤.