高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講 1 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)課件(理) 選修4-1.ppt

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選修4-1 幾何證明選講 第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì),【知識(shí)梳理】 1.平行線等分線段定理及其推論,相等,平分第三邊,平分另一腰,2.平行線分線段成比例定理及其推論,所得的對(duì)應(yīng)線,段成比例,所得的對(duì)應(yīng)線,段成比例,3.相似三角形的判定及性質(zhì) (1)相似三角形的定義:對(duì)應(yīng)角_____,對(duì)應(yīng)邊_______的 兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形_______的比 值叫做相似比(或相似系數(shù)). (2)預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或 兩邊的延長(zhǎng)線)_____,所構(gòu)成的三角形與原三角形_____.,相等,成比例,對(duì)應(yīng)邊,相交,相似,(3)判定及性質(zhì),相等,成比例,相等,成比例,相等,成比例,成比例,相似比,相似比的平方,4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜邊上的高是_____________________ 的比例中項(xiàng);兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊 的_________.,兩直角邊在斜邊上射影,比例中項(xiàng),【特別提醒】 1.把平行線分線段成比例定理的推論中的題設(shè)和結(jié)論交換之后,命題仍然成立. 2.應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)線段對(duì)應(yīng)錯(cuò)誤,可以根據(jù)相等的角去找.,考向一 平行線分線段成比例定理 【典例1】(2016太原模擬)如圖,在梯 形ABCD中, AB∥CD,AB=4,CD=2.點(diǎn)E,F分 別為AD,BC上的點(diǎn),且EF=3, EF∥AB,求 梯形ABFE與梯形EFCD的面積比.,【解題導(dǎo)引】利用平行線分線段成比例定理確定兩個(gè)梯形的高之間的關(guān)系,再確定兩梯形的面積比.,【規(guī)范解答】如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于一點(diǎn)O， 作OH⊥AB于點(diǎn)H.,所以 ，得x=2h1， ，得h1=h2. 所以S梯形ABFE= (3+4)h2= h2， S梯形EFCD= (2+3)h1= h1， 所以S梯形ABFE∶S梯形EFCD=7∶5.,【規(guī)律方法】平行線分線段成比例定理的作用及應(yīng)用技巧 (1)作用:①可以判定線段成比例; ②當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時(shí),常用這個(gè)定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比.,(2)應(yīng)用技巧:①利用定理來(lái)計(jì)算或證明時(shí),首先要觀察平行線組,再確定所截直線,進(jìn)而確定比例線段及比例式,同時(shí)注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運(yùn)用. ②在應(yīng)用推論時(shí),一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊,是否過(guò)一邊的中點(diǎn).,【變式訓(xùn)練】如圖,在△ABC中,DE∥BC,DF∥AC, AE∶AC=3∶5,DE=6,求BF的長(zhǎng).,【解析】由DE∥BC,得 因?yàn)镈E=6,所以BC=10, 又DF∥AC,所以 ,所以BF=4.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn), 且DC∶BE=3∶2,求AD∶BF的值.,【解析】因?yàn)辄c(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DC∶BE=3∶2,則利用相似比得到AD∶BF=5∶2.,2.如圖所示,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1, AD與CE相交于點(diǎn)F,求 的值.,【解析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交EC于點(diǎn)G， 則 ，而 即 ，所以AE=DG， 從而有AF=DF，EF=FG=CG， 故,考向二 相似三角形的判定與性質(zhì) 【典例2】(2016信陽(yáng)模擬)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),且AD=AC,DE⊥BC,DE與AB相交于點(diǎn)E,EC與AD相交于點(diǎn)F. (1)求證:△ABC∽△FCD. (2)若S△FCD=5,BC=10,求DE的長(zhǎng).,【解題導(dǎo)引】(1)利用△BEC和△ADC都是等腰三角形,從而底角分別相等證明. (2)利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出△ABC的面積,再通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線利用平行線分線段成比例求解.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镈E⊥BC,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn), 所以EB=EC,所以∠B=∠ECD. 又AD=AC, 所以∠ADC=∠ACD, 所以△ABC∽△FCD.,(2)過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為點(diǎn)M, 因?yàn)椤鰽BC∽△FCD,BC=2CD, 所以 又因?yàn)镾△FCD=5,所以S△ABC=20. 又S△ABC= BCAM= 10AM=20, 解得AM=4.,又DE∥AM,所以 因?yàn)镈M= DC= , BM=BD+DM=5+ 所以 ,解得DE= .,【規(guī)律方法】 1.證明相似三角形的一般思路 (1)先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等. (2)若只有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,再判定這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例. (3)若無(wú)角對(duì)應(yīng)相等,就要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例.,2.相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用 (1)可用來(lái)證明線段成比例、角相等;可間接證明線段相等. 由相似三角形構(gòu)造成比例線段時(shí),可以利用等角所對(duì)的邊對(duì)應(yīng)成比例構(gòu)造等式,避免邊與邊的對(duì)應(yīng)出錯(cuò).,(2)求解線段長(zhǎng)度問(wèn)題:充分利用所求線段與已知線段長(zhǎng)度之間的關(guān)系,化歸到相應(yīng)三角形中,通過(guò)構(gòu)造相似三角形求解.,【變式訓(xùn)練】(2016商丘模擬)如圖,在△ABC中, BCAC,點(diǎn)D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分線CF交AD于 點(diǎn)F,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),連接EF. (1)求證:EF∥BC. (2)若四邊形BDFE的面積為6, 求△ABD的面積.,【解析】(1)因?yàn)镃F平分∠ACB, 所以∠ACF=∠DCF. 又因?yàn)镈C=AC,所以CF是△ACD的中線, 所以點(diǎn)F是AD的中點(diǎn). 因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn), 所以EF∥BD,即EF∥BC.,(2)由(1)知,EF∥BD, 所以△AEF∽△ABD, 所以 又因?yàn)锳E= AB,S△AEF=S△ABD-S四邊形BDFE=S△ABD-6, 所以 ,所以S△ABD=8, 所以△ABD的面積為8.,【加固訓(xùn)練】1.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn), 點(diǎn)E為AD上的一點(diǎn),延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)F.若 ,求 的值.,【解析】如圖,過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC,交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G. 則△AGE∽△DBE,△AGF∽△CBF, 因?yàn)? ,所以 所以,因?yàn)辄c(diǎn)D為BC的中點(diǎn), 所以BC=2BD, 所以 所以 所以,2.(2016鄭州模擬)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)P是BC上的點(diǎn),且BP=3PC,點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn),求證:△ADQ∽△QCP.,【證明】在正方形ABCD中, 因?yàn)镼是CD的中點(diǎn), 所以 =2. 因?yàn)? =3,所以 =4. 又因?yàn)锽C=2DQ,所以 =2.,在△ADQ和△QCP中, ,且∠D=∠C=90, 所以△ADQ∽△QCP.,考向三 直角三角形中的射影定理 【典例3】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點(diǎn)D,DF⊥AC于點(diǎn)F,DE⊥AB于點(diǎn)E,求證: (1)ABAC=BCAD. (2)AD3=BCCFBE.,【解題導(dǎo)引】(1)可以利用Rt△ABC的面積的兩種表示證明. (2)分別在Rt△ADB,Rt△ACD和Rt△BAC中利用射影定理后進(jìn)行等量代換.,【規(guī)范解答】(1)在Rt△ABC中,AD⊥BC, 所以S△ABC= ABAC= BCAD. 所以ABAC=BCAD.,(2)在Rt△ADB中,DE⊥AB, 由射影定理可得BD2=BEAB, 同理CD2=CFAC, 所以BD2CD2=BEABCFAC. 又在Rt△BAC中,AD⊥BC, 所以AD2=BDDC,,所以AD4=BEABCFAC, 又ABAC=BCAD. 即AD3=BCCFBE.,【母題變式】1.本例中若AB=5,AD=4,求AC的長(zhǎng). 【解析】由AB=5,AD=4,得BD=3, 又AB2=BDBC,所以BC= 所以AC=,2.本例中若BD∶DC=1∶2,試判斷E,F的位置. 【解析】顯然Rt△ABC∽R(shí)t△DBA∽R(shí)t△DAC, 根據(jù)相似三角形的性質(zhì),E,F也是BA,AC的三等分點(diǎn), 即,【規(guī)律方法】射影定理的應(yīng)用技巧 (1)要注意將“等積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”或?qū)ⅰ氨壤健鞭D(zhuǎn)化為“等積式”. (2)證題時(shí),要注意作垂線構(gòu)造直角三角形,確定直角邊與其射影,這是解直角三角形時(shí)常用的方法. (3)注意射影定理與勾股定理的結(jié)合應(yīng)用.,易錯(cuò)提醒:對(duì)于直角三角形,射影定理一定成立,但滿足該結(jié)論的三角形不一定是直角三角形.,【變式訓(xùn)練】如圖所示,AD,BE是△ABC的兩條高, DF⊥AB,垂足為點(diǎn)F,直線FD交BE于點(diǎn)G,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,求證:DF2=GFHF.,【證明】因?yàn)椤螲+∠BAC=90, ∠GBF+∠BAC=90, 所以∠H=∠GBF. 因?yàn)椤螦FH=∠GFB=90, 所以△AFH∽△GFB, 所以,所以AFBF=GFHF. 因?yàn)樵赗t△ABD中,FD⊥AB, 所以DF2=AFBF, 所以DF2=GFHF.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,F分別在AC,BC上,且AB⊥AC, AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.,,【解析】在△ABC中,設(shè)AC為x, 因?yàn)锳B⊥AC,AF⊥BC,FC=1, 根據(jù)射影定理得:AC2=FCBC, 即BC=x2.,,再由射影定理得: AF2=BFFC=(BC-FC)FC, 所以AF= 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E, 因?yàn)锽D=DC=1,所以BE=EC.,又因?yàn)锳F⊥BC,所以DE∥AF, 所以 所以DE= 在Rt△DEC中, 因?yàn)镈E2+EC2=DC2,,即 即 =1. 所以x= ,即AC= .,2.如圖所示,在△ABC中,∠CAB=90,AD⊥BC于點(diǎn)D, BE是∠ABC的平分線,交AD于點(diǎn)F,求證:,,【證明】因?yàn)锽E是∠ABC的平分線， 所以 ，① .② 在Rt△ABC中，由射影定理知， AB2=BDBC，即 .③,由①③得 ，④ 由②④得,