高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 5.1-5.2 直線間的夾角、平面間的夾角課件 北師大版選修2-1.ppt

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第二章 5 夾角的計(jì)算,5.1 直線間的夾角 5.2 平面間的夾角,1.理解兩條異面直線的夾角、兩平面的夾角的概念. 2.能夠利用向量方法解決線線、面面的夾角問題. 3.掌握用空間向量解決立體幾何問題的基本步驟.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 直線間的夾角 當(dāng)兩條直線l1與l2共面時(shí)，我們把兩條直線交角中，范圍在 內(nèi)的角叫作兩直線的夾角. 當(dāng)直線l1與l2是異面直線時(shí)，在直線l1上任取一點(diǎn)A作AB∥l2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫作 . 空間直線由一點(diǎn)和一個(gè)方向確定，所以空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定. 已知直線l1與l2的方向向量分別為s1，s2. 當(dāng)0≤〈s1，s2〉≤ 時(shí)，直線l1與l2的夾角等于 ； 當(dāng) 〈s1，s2〉≤π時(shí)，直線l1與l2的夾角等于 .,,答案,π－〈s1，s2〉,異面直線l1與l2的夾角,〈s1，s2〉,,答案,知識(shí)點(diǎn)二 平面間的夾角 如圖，平面π1與π2相交于直線l，點(diǎn)R為直線l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)R，在平面π1上作直線l1⊥l，在平面π2上作直線l2⊥l，則l1∩l2＝R.我們把直線l1和l2的夾角叫作平面π1與π2的夾角. 已知平面π1和π2的法向量分別為n1和n2. 當(dāng)0≤〈n1，n1〉≤ 時(shí)，平面π1與π2的夾角等于 ； 當(dāng) 〈n1，n2〉≤π時(shí)，平面π1與π2的夾角等于 .,π－〈n1，n2〉,〈n1，n2〉,,返回,答案,思考 (1)異面直線的夾角范圍是什么？,(2)兩平面的夾角范圍是什么？,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 兩條異面直線所成角的向量求法 例1 如圖，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,解 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA1為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，,反思與感悟,,建立空間直角坐標(biāo)系要充分利用題目中的垂直關(guān)系；利用向量法求兩異面直線所成角的計(jì)算思路簡(jiǎn)便，要注意角的范圍.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).若異面直線AD1與EC所成角為60，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置. 解 以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 設(shè)E(1，t,0)(0≤t≤2)，,所以t＝1，所以點(diǎn)E的位置是AB的中點(diǎn).,,解析答案,題型二 平面間的夾角的向量求法 例2 如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都 相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1 和四邊形BDD1B1均為矩形. (1)證明：O1O⊥底面ABCD； 證明 因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因?yàn)镃C1∥DD1，所以CC1⊥BD. 而AC∩BD＝O，且AC底面ABCD，BD底面ABCD， 因此CC1⊥底面ABCD. 由題意知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.,,解析答案,(2)若∠CBA＝60，求平面C1OB1與平面BDD1B1的夾角的余弦值.,反思與感悟,,解析答案,解 因?yàn)樗睦庵鵄BCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，從而OB，OC，OO1兩兩垂直. 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線 分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 不妨設(shè)AB＝2.,反思與感悟,易知，n1＝(0,1,0)是平面BDD1B1的一個(gè)法向量. 設(shè)n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一個(gè)法向量，,,反思與感悟,反思與感悟,,設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的 夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小，如圖.用 坐標(biāo)法的解題步驟如下： (1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系. (2)求法向量：在建立的空間直角坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量n1，n2. (3)計(jì)算：求n1與n2所成銳角θ，cos θ＝ . (4)定值：平面間的夾角就是θ.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求平面AA1D與平面A1BD的夾角的余弦值.,解 如圖所示，取BC中點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.,,解析答案,,解析答案,又BD∩BA1＝B，BD平面A1BD，BA1平面A1BD， 所以AB1⊥平面A1BD，,,解析答案,題型三 兩夾角的綜合問題 例3 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB＝FB＝1. (1)求平面CDE與C1DE夾角的正切值；,,解析答案,D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(xiàn)(4,1,0), C1(4,3,2).,設(shè)向量n＝(x，y，z)與平面C1DE垂直，則有,取n＝(－1,－1,2)，則n是平面C1DE的一個(gè)法向量.,設(shè)平面CDE與C1DE的夾角為θ. 由圖知所求夾角為銳角，,,解析答案,反思與感悟,(2)求直線EC1與FD1夾角的余弦值. 解 設(shè)EC1與FD1夾角為β，則,,利用空間向量解題，大致可分采用基底法和坐標(biāo)法.利用向量坐標(biāo)解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立適當(dāng)、正確的空間坐標(biāo)系.難點(diǎn)是在已建好的坐標(biāo)系中表示出已知點(diǎn)(或向量)的坐標(biāo).只有正確表達(dá)出已知點(diǎn)(或向量)的坐標(biāo)，才能通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問題的代數(shù)化解法.,反思與感悟,,(1)求證：DE⊥EC；,解析答案,設(shè)A(x,0,0)(x0)，,,解析答案,返回,(2)求平面EPC與平面DPC夾角的大小.,,解 作DG⊥PC交PC于點(diǎn)G，可設(shè)G(0，y，z)，,解析答案,,返回,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150，則l1與l2這兩條異面直線的夾角等于( ) A.30 B.150 C.30或150 D.以上均錯(cuò),A,答案,1,2,3,4,5,,解析答案,2.已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面的夾角的大小為( ) A.45 B.135 C.45或135 D.90,A,∴二面角的大小為45.,1,2,3,4,5,,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BB1＝1，則A(0,0,1)，,B,即AB1與C1B所成角的大小為90.,,解析答案,1,2,3,4,5,4.已知點(diǎn)A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，則平面ABC與平面xOy夾角的余弦 值為____.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，則異面 直線A1B與B1C所成角的余弦值為_____. 解析 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系. 由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4,4,0)，C(0,4,3).,,課堂小結(jié),利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系.首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量(有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量；其次理清要求角和兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系.,,返回,