2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 4.3 函數(shù)模型及其應用教案 新課標.doc

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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 4.3 函數(shù)模型及其應用教案 新課標 知識歸納 1．求解函數(shù)應用問題的思路和方法 2．函數(shù)建模的基本流程 誤區(qū)警示 求解函數(shù)應用題時，關鍵環(huán)節(jié)是審題，審題時： 一要弄清問題的實際背景，注意隱含條件； 二是將文字語言恰當準確的翻譯為數(shù)學語 言，用數(shù)學表達式加以表示； 三是弄清給出什么條件，解決什么問題，通 過何種數(shù)學模型加以解決； 四是嚴格按各種數(shù)學模型的要求進行推理運 算，并對運算結果作出實際解釋． 3．常見函數(shù)模型的理解 （1）一次函數(shù)模型（其增長特點是直線上升（的系數(shù)），通過圖象可很直觀地認識它）、 二次函數(shù)型、正反比例函數(shù)型 （2）指數(shù)函數(shù)模型：能用指數(shù)型函數(shù)表達的函數(shù)模型，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。 （3）對數(shù)函數(shù)模型：能用對數(shù)函數(shù)表達式表達的函數(shù)模型，其增長特點是開始階段增長得較快，但隨著的逐漸增大，其函數(shù)值變化越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”。 （4）冪函數(shù)模型：能用冪函數(shù)表示表達的函數(shù)模型，其增長情況隨中的取值變化而定，常見的有二次函數(shù)模型。 （5）分式（“勾”） 函數(shù)模型：形如的函數(shù)模型，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，常利用“基本不等式”解決，有時通過利用導數(shù)研究其單調性來求最值。 四．典例解析 題型1：正比例、反比例、一次函數(shù)型和二次函數(shù)型 例1．某種商品原來定價為每件a元時，每天可售出m件，現(xiàn)在把定價降低x個百分點（即x％）后，售出數(shù)量增加了y個百分點，且每天的銷售額是原來的k倍。 （1） 設y=nx，其中n是大于1的常數(shù)，試將k寫成x的函數(shù)； （2） 求銷售額最大時x的值（結果可用喊n的式子表示）； （3） 當n＝2時，要使銷售額比原來有所增加，求x的取值范圍。 解：（1）依題意有a(1-x%)m(1+y%)=kam，將y=nx代入，化簡得 （2）由（1）知當時，k值最大。因為銷售額為amk，所以此時銷售額也最大，且銷售額最大為元。 （3）當n=2時，要使銷售額有所增加，需k＞1，所以＞0，故x∈（0，50），這就是說，當銷售額有所增加時，降價幅度的范圍需要在原價的一半以內。 題型2：分段函數(shù)型 例2某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元。 （I）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰降為51元？ （II）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數(shù)的表達式； （III）當銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？如果訂購1000個，利潤又是多少元？（工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本） [解題思路]根據(jù)題意及“工廠售出一個零件的利潤＝實際出廠單價－成本”建立函數(shù)模型進行求解 【解析】（1）設每個零件的實際出廠價恰好降為51元，一次訂購量為個，則。 因此，當一次定購量為550個時，零件的實際出廠單價恰降為51元。 （2）當時，P＝60； 當時，； 當時，P＝51。 所以 （3）設銷售商的一次訂購量為個時，該廠獲得的利潤為L元，則 ， 當時，L＝6000；當時，L＝11000。 故當銷售商一次訂購 500 個零件時，該廠獲得的利潤是6000元；如果訂購1000個，利潤是11000元． [名師指引]求解數(shù)學應用題必須突破三關： （1）閱讀理解關：一般數(shù)學應用題的文字閱讀量都比較大，要通過閱讀審題，找出關鍵詞、句，理解其意義． （2）建模關：即建立實際問題的數(shù)學模型，將其轉化為數(shù)學問題． （3）數(shù)理關：運用恰當?shù)臄?shù)學方法去解決已建立的數(shù)學模型． 題型3：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù) 例3．按復利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設本利和為y，存期為x，寫出本利和y歲存期x變化的函數(shù)式，如果存入本金1000元，每期利率2.25％，試計算5期后的本利和是多少？ 解：已知本金為a元，1期后的本利和為y1=a＋ar＝a(1+r),2期后的的本利和為y2=a(1+r)2，。。。。x期后的本利和為：y=a(1+r)x, 將a=1000，r=2.25%，x=5代入得y=1000（1＋2.25％）5 用計算器可得y=1117.68（元） 點評：對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)要熟練應用近似計算的知識，來對事件進行合理的解析。 題型4：分式（不等式）型 例4．對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變?yōu)? 設用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響. 解析：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3. 即兩種方案的用水量分別為19與4+3. 因為當,故方案乙的用水量較少. （II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得 ，（*） 于是+ 當為定值時,, 當且僅當時等號成立.此時 將代入（*）式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是. 當,故T()是增函數(shù)，這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量. 點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調性判斷。 五．思維總結 1．將實際問題轉化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。 2．怎樣選擇數(shù)學模型分析解決實際問題 數(shù)學應用問題形式多樣，解法靈活。在應用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉化處理，建立數(shù)學模型，解答有關的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法： （1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解； （2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進行比較； （3）描點觀察法：若根據(jù)題設條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學模型，問題即可順利解決。下面舉例進行說明。 六：作業(yè) 《走向高考》 課后練習 1某地區(qū)上年度電價為0.8元/（千瓦時），年用電量為a千瓦時.本年度計劃將電價降到0.55元／（千瓦時）至0.75元／（千瓦時）之間，而用戶期望電價為0.4元／（千瓦時）.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）.該地區(qū)電力的成本價為0.3元／（千瓦時）. （1）寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關系式； （2）設k＝0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增長20%? 〔注：收益＝實際用電量（實際電價－成本價）〕 [解題思路]先根據(jù)題意寫出收益y與實際電價x的函數(shù)關系式，然后再列出不等式求解 [解析] （1）設下調后的電價為x元／（千瓦時），依題意知用電量增至＋a，電力部門的收益為y＝（＋a）（x－0.3）（0.55≤x≤0.75）. （2）依題意有 整理得 解此不等式得0.60≤x≤0.75. 答：當電價最低定為0.60元／（千瓦時）時，仍可保證電力部門的收益比去年至少增長20%. 2．運貨卡車以每小時千米的速度勻速行駛130千米路程, 按交通法規(guī)限制50≤x≤100 (單位: 千米/小時). 假設汽油的價格是每升2元, 而汽車每小時耗油升, 司機的工資是每小時14元. （Ⅰ）求這次行車總費用y關于y的表達式； （Ⅱ）當為何值時, 這次行車的總費用最低, 并求出最低費用的值（精確到小數(shù)點后兩位，）． [解題思路]根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關系，然后再求y的最小值 （Ⅰ）設行車所用時間為 ∴ 所以，這次行車總費用關于的表達式是： （或：） （Ⅱ）， 當且僅當時，上述不等式中等號成立 答：當約為56.88km/h時，這次行車的總費用最低，最低費用的值約為82.16元. 3．某廠家擬在xx年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）x萬件與年促銷費用m萬元（m≥0）滿足，如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件。已知xx年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費用）。 （1）將xx年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)； （2）該廠家xx的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？ 解：（1）由題意可知，當， 每件產品的銷售價格為（元）， （2）， （萬元）時，（萬元）。所以該廠家xx年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大值為21萬元。