2019-2020年高三數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案 新人教A版選修2-2 教學(xué)目標(biāo) 1．了解平均變化率與割線(xiàn)斜率之間的關(guān)系； 2．理解曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念； 3．通過(guò)函數(shù)的圖像直觀(guān)地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題； 教學(xué)重點(diǎn)：曲線(xiàn)的切線(xiàn)的概念、切線(xiàn)的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）平均變化率、割線(xiàn)的斜率 （二）瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù) 我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？ 二．新課講授 （一）曲線(xiàn)的切線(xiàn)及切線(xiàn)的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線(xiàn)趨近于點(diǎn)時(shí)，割線(xiàn)的變化趨勢(shì)是什么？ 圖3.1-2 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線(xiàn)趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線(xiàn)PT稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn). 問(wèn)題：⑴割線(xiàn)的斜率與切線(xiàn)PT的斜率有什么關(guān)系？ ⑵切線(xiàn)PT的斜率為多少？ 容易知道，割線(xiàn)的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線(xiàn)無(wú)限接近點(diǎn)P時(shí)，無(wú)限趨近于切線(xiàn)PT的斜率，即 說(shuō)明：（1）設(shè)切線(xiàn)的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線(xiàn)PQ的斜率,稱(chēng)為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的斜率. 這個(gè)概念: ①提供了求曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的斜率的一種方法; ②切線(xiàn)斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). （2）曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn):1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線(xiàn)是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線(xiàn),且切線(xiàn)是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線(xiàn);3)曲線(xiàn)的切線(xiàn),并不一定與曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè). （二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率， 即 說(shuō)明：求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程的基本步驟: ①求出P點(diǎn)的坐標(biāo); ②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率； ③利用點(diǎn)斜式求切線(xiàn)方程. （二）導(dǎo)函數(shù)： 由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或， 即: 注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)． （三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。 2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 三．典例分析 例1:（1）求曲線(xiàn)y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線(xiàn)方程. （2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 解：（1）, 所以，所求切線(xiàn)的斜率為2，因此，所求的切線(xiàn)方程為即 （2）因?yàn)? 所以，所求切線(xiàn)的斜率為6，因此，所求的切線(xiàn)方程為即 （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù) ，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線(xiàn)在、、附近的變化情況． 解：我們用曲線(xiàn)在、、處的切線(xiàn)，刻畫(huà)曲線(xiàn)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況． （1） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)平行于軸，所以，在附近曲線(xiàn)比較平坦，幾乎沒(méi)有升降． （2） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，所以，在附近曲線(xiàn)下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． （3） 當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)的斜率，所以，在附近曲線(xiàn)下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 從圖3.1-3可以看出，直線(xiàn)的傾斜程度小于直線(xiàn)的傾斜程度，這說(shuō)明曲線(xiàn)在附近比在附近下降的緩慢． 例3．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時(shí)間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到）． 解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線(xiàn)在此點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率． 如圖3.1-4，畫(huà)出曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線(xiàn)的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值． 作處的切線(xiàn)，并在切線(xiàn)上去兩點(diǎn)，如，，則它的斜率為： 所以 下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值： 0.2 0.4 0.6 0.8 藥物濃度瞬時(shí)變化率 0.4 0 -0.7 -1.4 四．課堂練習(xí) 1．求曲線(xiàn)y=f(x)=x3在點(diǎn)處的切線(xiàn)； 2．求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)． 五．回顧總結(jié) 1．曲線(xiàn)的切線(xiàn)及切線(xiàn)的斜率； 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 六．布置作業(yè)