高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第10篇 第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差課件 理 新人教A版 .ppt

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,第6節(jié) 離散型隨機(jī)變量的分布列及均值與方差,,基 礎(chǔ) 梳 理,1．離散型隨機(jī)變量 隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為 ，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．,隨機(jī)變量,2．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝pi，則表 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，有時(shí)為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，也用等式___________________ _______________表示X的分布列．,P(X＝xi)＝pi，,i＝1，2，…，n,pi≥0，i＝1,2，…，n,②超幾何分布 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝__________，(k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*)，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列具有下表的形式，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.,3．均值與方差 (1)均值 稱E(X)＝______________________________為隨機(jī)變量X的均值或_________．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_________． (2)方差 稱D(X)＝_____________ 為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_______________，稱其算術(shù)平方根為______隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．,x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,平均偏離程度,(3)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝ . ②D(aX＋b)＝ ．(a，b為常數(shù)),aE(X)＋b,a2D(X),質(zhì)疑探究：隨機(jī)變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù)，樣本的均值、方差是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差．,,考 點(diǎn) 突 破,[例1] 袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求： (1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率； (2)隨機(jī)變量X的分布列； (3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率．,離散型隨機(jī)變量的分布列,[思維導(dǎo)引] (1)用組合數(shù)分別求出任取3個(gè)小球及3個(gè)小球數(shù)字各不相同的取法，然后利用古典概型的公式求值；(2)先依據(jù)題意確定X的取值，然后分別求出每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)事件的概率，列成表格的形式即可；(3)確定計(jì)分介于20分到40分之間所對(duì)應(yīng)的X的取值，利用互斥事件的加法公式求解．,求解離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)實(shí)際情況確定離散型隨機(jī)變量的取值，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出每個(gè)變量取值所對(duì)應(yīng)事件的概率，最后以表格的形式給出．,即時(shí)突破1 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的分布列．,[例2] (2013年高考天津卷)一個(gè)盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號(hào)分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號(hào)分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號(hào)為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X, 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,離散型隨機(jī)變量的期望與方差,[思維導(dǎo)引] (1)利用組合的知識(shí)分別求出任取4張卡片以及含有編號(hào)為3的取法種數(shù)，然后代入古典概型公式中求解；(2)先確定X的取值，求出相應(yīng)的分布列，然后代入期望的公式求解．,求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法 (1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每個(gè)值的概率； (3)寫出ξ的分布列； (4)由均值的定義求E(ξ)； (5)由方差的定義求D(ξ)．,即時(shí)突破2 (2014河北省衡水中學(xué)高三第八次模擬)為了響應(yīng)學(xué)?！皩W(xué)科文化節(jié)”活動(dòng)，數(shù)學(xué)組舉辦了一場(chǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)比賽，共分為甲、乙兩組．其中甲組得滿分的有1個(gè)女生和3個(gè)男生，乙組得滿分的有2個(gè)女生和4個(gè)男生．現(xiàn)從得滿分的學(xué)生中，每組各任選2個(gè)學(xué)生，作為數(shù)學(xué)組的活動(dòng)代言人． (1)求選出的4個(gè)學(xué)生中恰有1個(gè)女生的概率； (2)設(shè)X為選出的4個(gè)學(xué)生中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,[例3] (2014山西省太原市第五中學(xué)高三月考)近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾?。疄榱私饽呈行姆渭膊∈欠衽c性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院的50人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：,超幾何分布,[思維導(dǎo)引] (1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個(gè)數(shù)據(jù)；(2)利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進(jìn)行判斷；(3)先確定ξ的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計(jì)算公式求解．,對(duì)于服從某些特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出．超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型．,即時(shí)突破3 某校高一年級(jí)共有學(xué)生320人．為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)間)情況，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查． 根據(jù)問(wèn)卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：①[0,10)，②[10，20)，③[20,30)，④[30,40)，⑤[40,50)，⑥[50,60)，⑦[60，70]，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間低于20分鐘的有4人．,(1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時(shí)間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量．根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表) (3)問(wèn)卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進(jìn)行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人．設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,解：(1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p1＝0.02，p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4，p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0.02，,離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差 [典例] (12分)(2013年高考湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,,,