高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.8 函數(shù)與方程課件 文.ppt

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第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.8 函數(shù)與方程,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯(cuò)警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn). (2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系 方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與 有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有 .,x軸,零點(diǎn),,知識(shí)梳理,1,,答案,(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且 ，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間______上有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得_______，這個(gè)__也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法 對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近 ，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.,f(a)·f(b)0,(a，b),f(c)＝0,c,f(a)·f(b)0,零點(diǎn),,答案,3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,(x1,0)，(x2,0),(x1,0),2,1,0,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).( ) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0.( ) (3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.( ) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).( ) (5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).( ),×,×,×,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是___.,∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有零點(diǎn)， 又f(x)為增函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).,1,,,考點(diǎn)自測(cè),2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1，x2是方程 的兩個(gè)實(shí)根，則x1＋x2＝___. 解析,－1,∴x1＋x2＝－1.,,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__.,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)， 故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn).,2,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)x2時(shí)，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2； 當(dāng)0≤x≤2時(shí)，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x； 當(dāng)x2時(shí)，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2－5x＋5＝0，,當(dāng)0≤x≤2時(shí)，方程f(x)－g(x)＝0可化為2－x＝3－x，無(wú)解； 當(dāng)x0時(shí)，方程f(x)－g(x)＝0可化為x2＋x－1＝0，其根為,所以函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 答案 2,,1,2,3,4,5,5.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 ∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得 f(－1)f(1)0， ∴(－3a＋1)·(1－a)0，,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,題型一 函數(shù)零點(diǎn)的確定,命題點(diǎn)1 函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間,∴x0∈(2,3).,2,,解析答案,命題點(diǎn)2 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù). 又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln 20， 所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)， 綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.,2,所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn).,,解析答案,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是___. 解析 由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如圖： 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)， 即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).,4,,解析答案,命題點(diǎn)3 求函數(shù)的零點(diǎn),例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為_(kāi)_____________.,,解析答案,思維升華,解析 當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x， 令g(x)＝x2－3x－x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1. 當(dāng)x0， ∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)， ∴－f(x)＝x2＋3x，∴f(x)＝－x2－3x. 令g(x)＝－x2－3x－x＋3＝0，,,思維升華,,(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).,思維升華,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2,4).,③,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)___.,,解析答案,∴f(0)f(1)0， 故函數(shù)f(x)在(0,1)至少存在一個(gè)零點(diǎn)， 又f(x)顯然為增函數(shù)， ∴f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1. 答案 1,所以零點(diǎn)只有一個(gè).,,,題型二 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用,例4 若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 (換元法) 設(shè)t＝2x (t0)，則原方程可變?yōu)閠2＋at＋a＋1＝0，(*) 原方程有實(shí)根，即方程(*)有正根. 令f(t)＝t2＋at＋a＋1. ①若方程(*)有兩個(gè)正實(shí)根t1，t2，,,解析答案,思維升華,②若方程(*)有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)負(fù)實(shí)根(負(fù)實(shí)根不合題意，舍去)， 則f(0)＝a＋10，解得a－1； ③若方程(*)有一個(gè)正實(shí)根和一個(gè)零根，,,解析答案,思維升華,,思維升華,,思維升華,對(duì)于“a＝f(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)y＝f(x)的值域來(lái)解決，解的個(gè)數(shù)可化為函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線y＝a交點(diǎn)的個(gè)數(shù).,則有f(1)·f(2)0， 所以(－a)(4－1－a)0， 即a(a－3)0. 所以0＜a＜3.,(0,3),跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,解析 畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，,觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有 三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a 有3個(gè)不同的交點(diǎn)， 此時(shí)需滿足0＜a＜1.,(0,1),,解析答案,,,題型三 二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,例5 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1x2)， 則(x1－1)(x2－1)0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋10， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋10， 即a2＋a－20， ∴－2a1.,,解析答案,思維升華,方法二 函數(shù)圖象大致如圖， 則有f(1)0， 即1＋(a2－1)＋a－20， ∴－2a1. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,1).,,思維升華,,解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.,思維升華,若關(guān)于x的方程x2＋ax－4＝0在區(qū)間[2,4]上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析 如果方程有實(shí)數(shù)根，注意到兩個(gè)根之積為－40， 可知兩根必定一正一負(fù)， 因此在[2,4]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根， 設(shè)f(x)＝x2＋ax－4， 則必有f(2)f(4)≤0， 所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,[－3,0],,易錯(cuò)警示系列,典例 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝2 016x＋log2 016x，則在R上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 易錯(cuò)分析 得出當(dāng)x0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)后，容易忽略條件：定義在R上的奇函數(shù)，導(dǎo)致漏掉x0時(shí)和x＝0時(shí)的情況.,,易錯(cuò)警示系列,3.忽視定義域?qū)е铝泓c(diǎn)個(gè)數(shù)錯(cuò)誤,,易錯(cuò)分析,解析答案,返回,溫馨提醒,可知它們只有一個(gè)交點(diǎn)， 所以當(dāng)x0時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn). 由于函數(shù)為奇函數(shù)， 所以當(dāng)x0時(shí)，也有一個(gè)零點(diǎn). 又當(dāng)x＝0時(shí)y＝0， 所以共有三個(gè)零點(diǎn). 答案 3,解析 當(dāng)x0時(shí)，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得,作出函數(shù)y＝2 016x與函數(shù),的圖象，,,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)討論x0時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)也可利用零點(diǎn)存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定.(2)函數(shù)的定義域是討論函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ)，要給予充分重視.,,思想方法 感悟提高,1.函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有 (1)零點(diǎn)存在性定理； (2)數(shù)形結(jié)合：函數(shù)y＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo). (3)解方程. 2.二次函數(shù)的零點(diǎn)可利用求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系或結(jié)合函數(shù)圖象列不等式(組). 3.利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的常用方法：直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.,方法與技巧,1.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象. 2.判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)要注意函數(shù)的定義域，不要漏解；畫圖時(shí)要盡量準(zhǔn)確.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由圖象可知，若函數(shù)y＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)， 則0m1， 因此m的取值范圍是(0,1).,(0,1),,解析答案,2.已知函數(shù)f(x)＝ln x－x＋2有一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(k，k＋1) (k∈N*)，則k的值為_(kāi)__. 解析 由題意知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減， 因?yàn)閒(3)＝ln 3－10，f(4)＝ln 4－20， 所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3,4)內(nèi)， 所以k＝3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3,解析 當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0； 當(dāng)x1時(shí)，由f(x)＝1＋log2x＝0，,又因?yàn)閤1，所以此時(shí)方程無(wú)解. 綜上函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的個(gè)數(shù)是___. 解析 (數(shù)形結(jié)合法) ∵a0， ∴a2＋11. 而y＝|x2－2x|的圖象如圖， ∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 當(dāng)x0時(shí)，f(x)＝2x－1.,當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex＋a， 此時(shí)函數(shù)f(x)＝ex＋a在(－∞，0]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)， 等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程ex＝－a在(－∞，0]上有且僅有一個(gè)實(shí)根， 而函數(shù)y＝ex在(－∞，0]上的值域?yàn)?0,1]， 所以0－a≤1，解得－1≤a0. 答案 [－1,0),6.已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)______. 解析 ∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，,(－2,0),∴函數(shù)y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域?yàn)?0,2)， ∴0－a2，∴－2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2和3，則不等式af(－2x)0的解集是___________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,∴f(x)＝x2－x－6. ∵不等式af(－2x)0， 即－(4x2＋2x－6)0?2x2＋x－30，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，,由于函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)， 結(jié)合圖象得：0m1，即m∈(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 如圖所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,故f(x)在(0,1]上是減函數(shù)， 而在(1，＋∞)上是增函數(shù). 由0ab且f(a)＝f(b)，得0a1b，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)若方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根，求m的取值范圍. 解 由函數(shù)f(x)的圖象可知， 當(dāng)0m1時(shí)，方程f(x)＝m有兩個(gè)不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 方法一 設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]， ①若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有一解， ∵f(0)＝10，則應(yīng)有f(2)0， 又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，,②若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有兩解，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由①②可知m的取值范圍是(－∞，－1].,方法二 顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，,∴1－m≥2，∴m≤－1， 故m的取值范圍是(－∞，－1].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 當(dāng)x≤0時(shí)，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]∪[2，＋∞).,(－∞，1]∪[2，＋∞),12.函數(shù)f(x)＝3x－7＋ln x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝___. 解析 由于ln 21， 所以f(3)0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)， 故n＝2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 函數(shù)g(x)＝f(x)－k有兩個(gè)零點(diǎn)， 即f(x)－k＝0有兩個(gè)解， 即y＝f(x)與y＝k的圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 分k0和k1或k0時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)， 故當(dāng)0k1時(shí)滿足題意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,14.(2015·湖南)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____. 解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示. 則當(dāng)0b2時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個(gè)零點(diǎn).,(0,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,