高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 12-6 離散型隨機變量的均值與方差課件 新人教A版.ppt

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最新考綱 1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些簡單實際問題．,第6講 離散型隨機變量的均值與方差,1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 (1)均值 稱E(X)＝______________________________為隨機變量X的均值或__________，它反映了離散型隨機變量取值的__________．,知 識 梳 理,x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝_________． (2)D(aX＋b)＝_______ (a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 (1)若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝_______． (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝________．,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,aE(X)＋b,a2D(X),p(1－p),np(1－p),1．判斷正誤(請在括號中打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān)． ( ) (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量，它不確定． ( ) (3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小． ( ) (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事． ( ),診 斷 自 測,×,√,√,×,2．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為 ( ) A.5 B．6 C．7 D．8 解析 由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4. ∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7. 答案 C,3．(2014·陜西卷)設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1，2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為 ( ) A．1＋a，4 B．1＋a，4＋a C．1，4 D．1，4＋a 解析 將每個數(shù)據(jù)都加上a后均值也增加a，方差不變，故選A. 答案 A,A．5 B．8 C．10 D．16 答案 B,5．(人教A選修2－3P69B1改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點或一枚6點出現(xiàn)時，就說這次試驗成功，則在10次試驗中成功次數(shù)的均值為________．,考點一 離散型隨機變量的均值與方差 【例1】 (2013·浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量X為取出此2球所得分數(shù)之和，求X的分布列；,所以X的分布列為,(2)由題意知Y的分布列為,規(guī)律方法 (1)求離散型隨機變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機變量的所有可能值，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算．(2)注意性質(zhì)的應(yīng)用：若隨機變量X的均值為E(X)，則對應(yīng)隨機變量aX＋b的均值是aE(X)＋b，方差為a2D(X)．,【訓(xùn)練1】 袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 解 (1)X的分布列為,考點二 與二項分布有關(guān)的均值、方差,(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≤3的概率； (2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？,(2)法一 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)．,法二 設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：,規(guī)律方法 求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．,【訓(xùn)練2】 (2014·遼寧卷)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．,將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立． (1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率； (2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)． 解 (1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此,P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.,分布列為 因為X～B(3，0.6)，所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.,考點三 均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 (2014·湖北卷)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站．過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立． (1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；,(2)水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系： 若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元．欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？,(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)． ①安裝1臺發(fā)電機的情形． 由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1， 對應(yīng)的年利潤Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000. ②安裝2臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000－800＝4 200，因此P(Y＝4 200)＝P(40X80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下 所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.,③安裝3臺發(fā)電機的情形． 依題意，當(dāng)40120時，三臺發(fā)電機運行，此時Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機 2臺．,規(guī)律方法 隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．,【訓(xùn)練3】 某投資公司在2015年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：,針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由． 解 若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元．則X1的分布列為,若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元， 則X2的分布列為：,所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)D(X2)， 這說明雖然項目一、項目二獲利相等，但項目一更穩(wěn)妥． 綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資．,微型專題 概率的創(chuàng)新題型 近年來，概率統(tǒng)計已成為高考的重點、熱點．注意考查學(xué)生分析數(shù)據(jù)，提取信息，解決實際問題的應(yīng)用能力．它可以與其他知識相互融合，形成一些背景、樣式新穎的題型．,【例4】 (2013·四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1，2，3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生．,(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i＝1，2，3)； (2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復(fù)運行n次后，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)． 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分),乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 當(dāng)n＝2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率(用分數(shù)表示)，并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大；,(3)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次，求輸出y的值為2的次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望． 點撥 (1)運行程序框圖，分別數(shù)出輸出y的值為1，2，3的數(shù)的個數(shù)，即事件包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型公式求解． (2)利用已知條件中頻數(shù)統(tǒng)計表得出各小組頻數(shù)，利用頻率公式得頻率，再與(1)的結(jié)論比較，得出結(jié)論．,(2)當(dāng)n＝2 100時，甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i＝1，2，3)的頻率如下：,比較頻率趨勢與概率，可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大．,故X的分布列為,點評 (1)本題將程序框圖，古典概型，獨立重復(fù)試驗及隨機變量分布列結(jié)合起來考查，具有一定的綜合性，同時形式也比較新穎．(2)本題注重考查學(xué)生的識圖，用圖能力，數(shù)據(jù)處理能力，分析問題解決問題的能力等基本能力.,[思想方法] 1．掌握下述均值與方差有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來方便： (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)， D(aX＋b)＝a2D(X)； (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．基本方法 (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；,(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． [易錯防范] 1．在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式． 2．對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的分布列，然后按定義計算出隨機變量的均值、方差．,