高考數(shù)學(xué) 5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件.ppt

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第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)等比數(shù)列及其相關(guān)概念:,前面,一項(xiàng),同一個(gè)常數(shù),常數(shù),,G2=ab,(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: 若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公比是q,則其通項(xiàng)公式為________ (n∈N*). (3)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式: ①當(dāng)公比q=1時(shí),Sn=___. ②當(dāng)公比q≠1時(shí),Sn= = .,an=a1qn-1,na1,,,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 等比數(shù)列的常見性質(zhì) (1)項(xiàng)的性質(zhì)： ①an=amqn-m; ②am-kam+k=am2(mk,m,k∈N*). a.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則am·an=______=ak2;,ap·aq,b.若數(shù)列{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan},{|an|}, {an2},{an·bn}, (λ≠0)仍然是等比數(shù)列； c.在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即 an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列，公比為qk.,(2)和的性質(zhì): ①Sm+n=Sn+qnSm; ②若等比數(shù)列{an}共2k(k∈N*)項(xiàng),則 ③公比不為-1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,______仍 成等比數(shù)列,其公比為qn,當(dāng)公比為-1時(shí),Sn,S2n-Sn,______不一定構(gòu) 成等比數(shù)列.,S3n-S2n,S3n-S2n,(3)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性: ①滿足 時(shí)，{an}是_____數(shù)列； ②滿足 時(shí)，{an}是_____數(shù)列； ③當(dāng) 時(shí)，{an}為___數(shù)列； ④當(dāng)q0時(shí)，{an}為擺動(dòng)數(shù)列.,遞增,遞減,常,(4)其他性質(zhì): ①{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an=Tn,則 …成等比數(shù) 列； ②當(dāng)數(shù)列{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lg an}是公差為 lg q的等差數(shù)列.,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:基本量運(yùn)算中的消元法、待定系數(shù)法、整體代入法、等比數(shù)列的四個(gè)判定方法. (2)數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸. (3)記憶口訣:等差等比兩數(shù)列,通項(xiàng)公式n項(xiàng)和.數(shù)列問題多變幻,方程化歸整體算.歸納思想非常好,編個(gè)程序好思考.一算二看三聯(lián)想,猜測(cè)證明不可少.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是常數(shù),則這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列.( ) (2)滿足an+1=qan(n∈N*,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.( ) (3)G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab.( ),(4)如果{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.( ) (5)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列.( ) (6)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn= ( ),【解析】(1)錯(cuò)誤.根據(jù)等比數(shù)列的定義可知,把“常數(shù)”改為“同一非零常數(shù)”后結(jié)論正確. (2)錯(cuò)誤.q=0時(shí){an}不是等比數(shù)列. (3)錯(cuò)誤.G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab; 反之不真,如a=0,b=0,G=0. (4)錯(cuò)誤,如數(shù)列{an}為1,-1,1,-1,…, 則數(shù)列{bn}為0,0,0,0,…不是等比數(shù)列.,(5)錯(cuò)誤.等比數(shù)列{an}中可能有小于零的項(xiàng),而當(dāng)an0時(shí)lnan無意義. (6)錯(cuò)誤.當(dāng)a=1時(shí)結(jié)論不成立. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修5P53T1(2)改編)在等比數(shù)列{an}中，若a10,a2=18,a4=8, 則公比q等于( ),【解析】選C.方法一：由 解得 又a10，所以 所以,(2)(必修5P62T2改編)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若 則 =______. 【解析】S3,S6-S3,S9-S6成等比數(shù)列，則(S6-S3)2=S3·(S9-S6), 由 則 =S3·(S9-S6)， 所以 所以 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·北京高考)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,則“q1”是“{an}為遞增數(shù)列”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選D.當(dāng)a11時(shí),{an}是遞減數(shù)列; 當(dāng){an}為遞增數(shù)列時(shí),a10,q1. 因此,“q1”是“{an}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.,(2)(2014·天津高考)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為-1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1=( ) 【解析】選D.因?yàn)镾1，S2，S4成等比數(shù)列，所以S22=S1·S4， 即(a1+a1－1)2= 解得,(3)(2015·洛陽模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，則q為______.,【解析】若q=1，則Sn=na1, Sn+1=(n+1)a1,Sn+2=(n+2)a1, 顯然2Sn≠Sn+1+Sn+2，不合題意，所以q≠1. 由題意知2Sn=Sn+1+Sn+2， 即 由于 所以2-2qn=2-qn+1-qn+2, 而qn≠0,所以q2+q-2=0.而q≠1，所以q=-2. 答案：-2,(4)(2014·廣東高考)若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+…+lna20= . 【解析】方法一:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20, 則a1a20=e5, lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a20)10=lne50=50.,方法二:各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中a10a11=a9a12=…=a1a20,則a1a20=e5, 設(shè)lna1+lna2+…+lna20=S, 則lna20+lna19+…+lna1=S, 2S=20ln(a1a20)=100,S=50. 答案:50,考點(diǎn)1 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 【典例1】(1)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，則a1=( ) (2)(2014·福建高考)在等比數(shù)列{an}中，a2=3,a5=81. ①求an. ②設(shè)bn=log3an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.,【解題提示】(1)利用S3=a1+a2+a3,求出q2,再解方程求得a1. (2)①利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公比.②由an求出bn的通項(xiàng)公式,得出{bn}為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求前n項(xiàng)和.,【規(guī)范解答】(1)選C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1, 即a1q2=9a1,解得q2=9,又因?yàn)閍5=9,所以a1q4=9,解得 (2)①設(shè){an}的公比為q,依題意得 解得 因此，an=3n-1. ②因?yàn)閎n=log3an=n-1, 所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和,【互動(dòng)探究】若本例題(1)已知條件不變，求其前n項(xiàng)和Sn. 【解析】由本例(1)知 q=±3,所以 當(dāng)q=3時(shí)， 當(dāng)q=-3時(shí)， 因此,【規(guī)律方法】解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法 (1)方程的思想.等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn,一般可以 “知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解. (2)數(shù)形結(jié)合的思想.通項(xiàng)an=a1qn-1可化為 因此an是關(guān)于n 的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線 上一群孤立的點(diǎn). (3)分類討論的思想.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討 論，當(dāng)q=1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和,(4)整體思想.應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把qn或 當(dāng)成整 體進(jìn)行求解. (5)等比數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧 對(duì)稱設(shè)元法：一般地，連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，x,xq，…；連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…， xq,xq3， …(注意：此時(shí)公比q20，并不適合所有情況)這樣即可減少未知量 的個(gè)數(shù)，也使得解方程較為方便.,【變式訓(xùn)練】等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列. (1)求{an}的公比q. (2)若a1-a3=3,求Sn.,【解析】(1)因?yàn)镾1，S3，S2成等差數(shù)列， 所以a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2). 由于a1≠0，故2q2+q=0，又q≠0，從而 (2)由已知可得 故a1=4, 從而,【加固訓(xùn)練】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)求a1+a3+…+a2n+1.,【解析】(1)因?yàn)镾1=a1=1，且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列， 所以Sn=2n-1. 又當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2，故 (2)因?yàn)閍3,a5,…，a2n+1是以2為首項(xiàng)、4為公比的等比數(shù)列，所以 a3+a5+…+a2n+1= 所以a1+a3+…+a2n+1=,考點(diǎn)2 等比數(shù)列的判定與證明 【典例2】(1)(2013·福建高考)已知等比數(shù)列{an}的公比為q,記bn= am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m (m,n∈N*),則以下結(jié)論一定正確的是( ) A.數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,公差為qm B.數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,公比為q2m C.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為 D.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,公比為,(2)(2015·鎮(zhèn)海模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ,an+1= bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù). ①對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列； ②試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論.,【解題提示】(1)判定一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列,可利用作差法或作商法,看看結(jié)果是不是常數(shù). (2)①只要證明這個(gè)數(shù)列中有連續(xù)的三項(xiàng)不是等比數(shù)列即可; ②若判斷{bn}為等比數(shù)列,則必須證明對(duì)任意的正整數(shù)n,這個(gè)數(shù)列都符合等比數(shù)列的定義.,【規(guī)范解答】(1)選C.因?yàn)閎n=am(n-1)(q+q2+…+qm)， 所以 = (常數(shù)).bn+1-bn不是常數(shù). 又因?yàn)閏n=(am(n-1))mq1+2+…+m= 所以 (常數(shù)). cn+1-cn不是常數(shù)，故選C.,(2)①假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使{an}是等比數(shù)列，則有a22=a1a3， 即 故 即9=0，矛盾，所以{an}不是等比數(shù)列. ②因?yàn)閎n+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=,又b1=-(λ+18)，所以當(dāng)λ=-18時(shí)， bn=0(n∈N*)，此時(shí){bn}不是等比數(shù)列； 當(dāng)λ≠-18時(shí)，b1=-(λ+18)≠0，由 可知bn≠0，所以 (n∈N*).故當(dāng)λ≠-18時(shí)， 數(shù)列{bn}是以-(λ+18)為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列. 【易錯(cuò)警示】解答本例第(2)題容易出現(xiàn)忽略對(duì)等比數(shù)列各項(xiàng)均不為零的討論而致誤.,【規(guī)律方法】等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法：若 =q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或 =q(q為非零常數(shù)且n≥2,n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列. (2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且an+12=an·an+2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列. (4)前n項(xiàng)和公式法:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0,q≠0,1),則{an}是等比數(shù)列.,提醒:(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法,常用于證明,而后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定. (2)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.,【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}中,b1=a1, bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n,設(shè)cn=an-1. (1)求證:{cn}是等比數(shù)列. (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.,【解析】(1)因?yàn)閍n+Sn=n,① 所以an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得an+1-an+an+1=1, 所以2an+1=an+1,所以2(an+1-1)=an-1, 所以 所以{an-1}是等比數(shù)列.,又a1+a1=1,所以 因?yàn)槭醉?xiàng)c1=a1-1= 從而cn≠0， 所以公比 所以{cn}是以 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列.,(2)由(1)可知 所以 所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn=an-an-1= 又 代入上式也符合. 所以,【加固訓(xùn)練】已知單調(diào)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15, a4-a2=6, (1)求an,Sn. (2)求證:S7,S14-S7, S21-S14成等比數(shù)列. (3)若數(shù)列{bn}滿足bn=2an,在直角坐標(biāo)系中作出bn=f(n)的圖象. (4)若數(shù)列{cn}滿足 其前n項(xiàng)和為Tn,試比較Tn與2的大小.,【解析】(1)設(shè)遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題設(shè)有a5-a1 =a1(q4-1)=15,a4-a2=a1q(q2-1)=6，兩式相除，得 即2q2-5q+2=0，解得q=2或 因?yàn)閧an}是遞增的正項(xiàng)等比數(shù)列，故q=2，代入a1(q4-1)=15,得a1=1. 所以an=a1qn-1=2n-1, 所以an=2n-1,Sn=2n-1.,(2)由(1)知S7=27-1,S14=214-1,S21=221-1, 所以S14-S7=27(27-1),S21-S14=214(27-1), 這樣有(S14-S7)2=214(27-1)2=S7(S21-S14), 故S7,S14-S7,S21-S14成等比數(shù)列. (3)f(n)=2n,則bn=f(n)的圖象是函數(shù)f(x)=2x的圖象上的一列孤立的點(diǎn).如圖所示.,(4)cn= 則Tn=c1+c2+…+cn=,考點(diǎn)3 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 知·考情 等比數(shù)列的性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一,題型有選擇題、填空題,近幾年也與方程、不等式、三角函數(shù)等內(nèi)容交匯考查,主要考查通項(xiàng)公式的變式、等比中項(xiàng)的變形、前n項(xiàng)和公式的變形等求值運(yùn)算或判斷證明等問題.,明·角度 命題角度1：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求基本量 【典例3】(1)(2015·濟(jì)南模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an} 中， 則a32+2a2a6+a3a7=( ) (本題源于人A教材必修5P58T2) A.4 B.6 C.8 D.,(2)(2015·衡水模擬)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2,S3n=14,則S4n等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16,【解題提示】(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì),將所求式中的a2a6替換為a3a5,a3a7替換為a52,然后將所求式配方轉(zhuǎn)化為(a3+a5)2求值. (2)利用等比數(shù)列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n仍成等比數(shù)列的性質(zhì)解方程求值.,【規(guī)范解答】(1)選C.在等比數(shù)列中，a3a7=a52,a2a6=a3a5，所以 a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2= (2)選B.由等比數(shù)列性質(zhì)得, Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比數(shù)列, 則(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n), 所以(S2n-2)2=2×(14-S2n).又S2n0,得S2n=6, 又(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n), 所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.,命題角度2：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷單調(diào)性、求最大(小)項(xiàng) 【典例4】(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}不是遞減 數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)設(shè) (n∈N*),求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值.,【解題提示】(1)由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差數(shù)列求等比數(shù)列{an}的公比,然后寫出其通項(xiàng)公式. (2)寫出等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,表示 分n為奇數(shù)或偶數(shù)討論其最值.,【規(guī)范解答】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等 差數(shù)列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是 又{an}不是遞減數(shù)列且 所以 故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,(2)由(1)得 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以 故 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以 故 綜上，對(duì)于n∈N*，總有 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為 最小項(xiàng)的值為,悟·技法 應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題的類型及思路 (1)求基本量的值 靈活運(yùn)用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式與性質(zhì),以及函數(shù)與方程的思想、整體思想、分類討論思想等思想方法求解. (2)判斷單調(diào)性,求最大(小)項(xiàng) 根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,確定首項(xiàng)與公比,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征,利用數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的大小關(guān)系,從而判斷單調(diào)性或利用不等式組求解最大(小)項(xiàng)問題.,通·一類 1.(2015·江西七校聯(lián)考)設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an},Sn為其前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=( ) A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-50 【解析】選A.依題意,數(shù)列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又S200,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,所以(S40-S30)(S20-S10)=(S30-S20)2,解得S40=150.,2.(2015·杭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足log3an+1=log3an+1(n∈N*), 且a2+a4+a6=9,則 的值是( ) 【解析】選B.由log3an+1=log3an+1(n∈N*),得log3an+1-log3an=1, 即 解得 所以數(shù)列{an}是公比為3的等比數(shù)列， 因?yàn)閍5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3,所以a5+a7+a9=9×33=35.所以,3.(2015·重慶模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中, (a1+a3)(a5+a7)=4a42,則下列結(jié)論中正確的是( ) A.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B.數(shù)列{an}是遞減數(shù)列 C.數(shù)列{an}是常數(shù)列 D.數(shù)列{an}有可能是遞增數(shù)列也有可能是遞減數(shù)列,【解析】選C.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，因?yàn)?a1+a3)(a5+a7) =4a42成立，即a1a5+a1a7+a3a5+a3a7=4a42成立. 利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)化簡(jiǎn)可得a32+a42+a42+a52=4a42,進(jìn)一步化簡(jiǎn)得a32+a52=2a42. 設(shè)公比為q,則得a12q4+a12q8=2a12q6，化簡(jiǎn)可得1+q4=2q2,即(q2-1)2=0,所以q2=1,故q=1(由于各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，故q=-1舍去).故此等比數(shù)列是常數(shù)列.,規(guī)范解答7 函數(shù)在研究數(shù)列問題中的應(yīng)用 【典例】(12分)(2015·桂林模擬)已知：函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定 義， 且對(duì)?x，y∈(-1,1)有f(x)+f(y)= (1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性. (2)對(duì)于數(shù)列{xn}，有 試證明數(shù)列{f(xn)}成等 比數(shù)列. (3)求證：,解題導(dǎo)思 研讀信息 快速破題,規(guī)范解答 閱卷標(biāo)準(zhǔn) 體會(huì)規(guī)范 (1)在f(x)+f(y)= 中， 令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0),……………………………………1分 再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0)， 所以f(0)=0① ……………………………………………………2分 所以f(-x)=-f(x)，又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，1)， 則函數(shù)f(x)為奇函數(shù). ……………………………………………………………………3分,,(2)由xn+1= 得 因?yàn)? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)｜xn+1｜=1時(shí)成立，當(dāng)xn+1=1 時(shí)，根據(jù) 得xn=1，進(jìn)而xn-1=xn-2=…=x1=1，與已知 矛盾，故xn+1≠1,同理xn+1≠-1，故 所以 ………………………………………………5分 所以f(xn+1)= =f(xn)+f(-xn+1),因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，,,所以f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),2f(xn+1)=f(xn). =f(xn+1)+f(xn+1)=2f(xn+1)). 因?yàn)閤n≠0,否則與 矛盾， 所以f(xn)≠f(0)=0，所以 …………………………7分 因?yàn)?所以{f(xn)}是以-1為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列.…………9分,(3)根據(jù)(2)可得f(xn)= 因?yàn)? =f(x1)+f(x2)+…+f(xn) ……………………………………10分,,……………………11分 又因?yàn)閚∈N*，所以 所以 …………………………………………12分,高考狀元 滿分心得 把握規(guī)則 爭(zhēng)取滿分 1.解決數(shù)列與函數(shù)的兩類綜合問題的一般思路 (1)已知函數(shù)條件,解決數(shù)列問題,此類問題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題. (2)已知數(shù)列條件,解決函數(shù)問題,解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和,對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.,2.解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集,而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù),所以它的圖象是一群孤立的點(diǎn). (2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí),應(yīng)注意題中的限制條件,如函數(shù)的定義域,這往往是非常容易忽視的問題. (3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí),應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.,