高考數(shù)學 3.5 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課件.ppt

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第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式: ①C(α-β):cos(α-β)=______________________. ②C(α+β):cos(α+β)=______________________. ③S(α+β):sin(α+β)=______________________. ④S(α-β):sin(α-β)=______________________.,cosαcosβ+sinαsinβ,cosαcosβ-sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ,sinαcosβ-cosαsinβ,⑤T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠ +kπ,k∈Z). ⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠ +kπ,k∈Z).,(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式: ①S2α:sin2α=____________. ②C2α:cos2α=_____________=_________=_________. ③T2α:tan2α=_______(α≠± +kπ,且α≠kπ+ ,k∈Z).,2sinαcosα,cos2α-sin2α,2cos2α-1,1-2sin2α,2.必備結論 教材提煉 記一記 (1)降冪公式:cos2α= ,sin2α= (2)升冪公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α. (3)公式變形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanα·tanβ). 3.必用技法 核心總結 看一看 (1)常用方法:整體代入法,配湊法. (2)數(shù)學思想:轉化化歸思想.,(3)記憶口訣: 余余正正符號異, 正余余正符號同, 二倍角,數(shù)余弦, 找聯(lián)系,抓特點, 牢記憶,用不難.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ) (2)存在實數(shù)α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.( ) (3)公式tan(α+β)= 可以變形為tanα+tanβ= tan(α+β)(1-tanαtanβ),且對任意角α,β都成立.( ) (4)存在實數(shù)α,使tan 2α=2tanα.( ),【解析】(1)正確.對于任意的實數(shù)α,β,兩角和與差的正弦、余弦公式都成立. (2)正確.如取β=0,因為sin0=0, 所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0. (3)錯誤.變形可以,但不是對任意角α,β都成立. α,β,α+β≠kπ+ ,k∈Z. (4)正確.當α=kπ(k∈Z)時,tan 2α=2tanα. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4人教AP130例4T(1)改編)sin108°cos42°-cos72°sin42°= . 【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42° =sin72°cos42°-cos72°sin42° =sin(72°-42°)=sin30°= . 答案:,(2)(必修4人教AP137A組T5改編)已知 則cos α=______.,【解析】因為 答案：,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·上海高考)函數(shù)y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 . 【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x, 所以函數(shù)的最小正周期T= . 答案:,(2)(2014·新課標全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) 的最大值為 . 【解析】因為f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ) =sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ =sinx≤1.所以f(x)max=1. 答案:1,考點1 化簡與計算 【典例1】(1)(2015·合肥模擬)cos(α+β)cosβ+ sin(α+β)sinβ=( ) A.sin(α+2β) B.sinα C.cos(α+2β) D.cosα (2)計算tan25°+tan35°+ tan25°·tan35°= . (3) 的化簡結果是 .,【解題提示】(1)逆用兩角差的余弦公式化簡. (2)觀察式子的特點,逆用兩角和的正切公式計算. (3)應用二倍角的正、余弦公式化簡.,【規(guī)范解答】(1)選D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ =cos[(α+β)-β]=cosα. (2)因為tan(25°+35°)= 所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°) = - tan25°tan35°, 所以tan25°+tan35°+ tan25°·tan35° = - tan25°tan35°+ tan25°tan35°= . 答案:,(3)原式= =2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|, 因為 所以cos 40,且sin 4cos 4, 所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4. 答案:-2sin 4,【易錯警示】解答本例(3)有三點容易出錯: (1)想不到應用二倍角公式,不能把根號下的式子化為完全平方式. (2)把4°與4弧度混淆,導致開方出錯. (3)忽略討論cos4的符號及sin4與cos4的大小而直接開方導致出錯.,【互動探究】對于本例(2),試化簡tanα+tan(60°-α)+ tanαtan(60°-α). 【解析】因為tan[α+(60°-α)]= 所以tanα+tan(60°-α) =tan60°[1-tanα·tan(60°-α)] = - tanα·tan(60°-α), 故原式= - tanα·tan(60°-α)+ tanα·tan(60°-α) = .,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式化簡的要求 (1)能求出值的應求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項數(shù)最少. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,2.特殊角的三角函數(shù)值的逆用 當式子中出現(xiàn) 這些特殊角的三角函數(shù)值時,往往就是“由值變角”的一種提示.可以根據(jù)問題的需要,將常用三角函數(shù)式表示出來,構成適合公式的形式,從而達到化簡的目的.,【變式訓練】1.化簡sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ) = . 【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β) =sin[(α+β)+(γ-β)] =sin(α+γ). 答案:sin(α+γ),2.(2015·西寧模擬)計算: = . 【解析】 =tan(45°-15°)=tan30°= . 答案:,【加固訓練】1.化簡 的結果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】選C.原式=,2.化簡： =_________. 【解析】 答案：,3.計算 =_____. 【解析】因為tan(20°+40°)= 所以tan 20°+tan 40°= (1-tan 20°tan 40°), 所以原式= 答案：-,考點2 三角函數(shù)求值 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)計算 的值為( ) (2)計算:4sin40°-tan40°= . (3)(2015·成都模擬)計算cos40°(1+ tan10°)= .,【解題提示】(1)利用誘導公式化大角為小角,然后逆用二倍角公式求值. (2)切化弦,通分化簡求值. (3)切化弦,通分,注意逆用兩角和與差的三角函數(shù)公式.,【規(guī)范解答】(1)選A.原式=,答案：1,【一題多解】解答本例(2)，你還有其他解法嗎？ 解答本例(2)還可有如下解法： 原式=4sin 40°- 答案：,【規(guī)律方法】給角求值問題的三個變換技巧 (1)變角:分析角之間的差異,巧用誘導公式把大角統(tǒng)一到小角上來,或把某一非特殊角拆分成一特殊角與另一非特殊角的和. (2)變名:盡可能使得函數(shù)統(tǒng)一名稱,?；覟榍? (3)變式:觀察結構,利用公式,整體化簡. 提醒:“變式”時常用的方法有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,【變式訓練】(2015·南寧模擬)計算： =______. 【解析】 答案：2,【加固訓練】1.(2015·昆明模擬)計算： =( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4 【解析】選D.,2.(2015·三明模擬)計算： ＝________．,【解析】原式＝ 答案：,考點3 三角函數(shù)的條件求值 知·考情 利用和、差公式及倍角公式在已知條件下的求值問題是高考的熱點,常與平面向量的知識相結合,題型是三種類型都有,但近幾年常以解答題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:與平面向量相結合的條件求值 【典例3】(2014·陜西高考改編)設0θ ,向量a=(sin2θ, cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,則sin2θ+cos2θ= . 【解題提示】先由向量的運算得到sinθ與cosθ的關系,再由此關系式確定方向,求sin2θ+cos2θ的值.,【規(guī)范解答】因為a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ =cos2θ.因為θ∈(0, ),所以2sinθ=cosθ,即tanθ= , 所以sin2θ+cos2θ= 答案:,命題角度2：三角函數(shù)的給值求值 【典例4】(2014·江蘇高考)已知α∈( ,π),sin α= (1)求sin( +α)的值. (2)求cos( -2α)的值. 【解題提示】(1)先由條件求cos α的值，再求sin( +α)的值. (2)由sin α,cos α的值，先求sin 2α,cos 2α的值,再求 cos( -2α)的值.,【規(guī)范解答】(1)由題意cos α= 所以sin( +α)=sin cos α+cos sin α,命題角度3：和函數(shù)相結合的條件求值 【典例5】(2014·廣東高考)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+ )，x∈R， 且 (1)求A的值. (2)若f(θ)+f(－θ)= ,θ∈(0, )，求f( －θ). 【解題提示】(1)屬于給角求值問題，把 代入解析式求得A. (2)利用兩角和與差的正弦和誘導公式及同角三角函數(shù)的關系求解.,【解析】(1)由 (2)f(θ)+f(－θ)=,悟·技法 1.與向量有關的求值問題的解法 三角函數(shù)的求值問題常與向量的坐標運算有關聯(lián),這類問題需要先用向量公式進行運算后,再用三角公式進行化簡和求值. 2.給值求值問題的解法 已知條件下的求值問題常先化簡需求值的式子,再觀察已知條件與所求值的式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手),最后將已知條件及其變形代入所求式子,化簡求值.,3.和三角函數(shù)相結合的條件求值的解法 該類問題的解答常先根據(jù)條件確定解析式并化簡函數(shù)解析式,然后把已知條件代入函數(shù)解析式化簡并求相關的值,變形成要求的式子并代入前面所求的值計算.,通·一類 1.(2013·江西高考改編)若 則cos2α= . 【解析】因為 所以cosα= cos2α=2cos2α-1= 答案:-,2.(2015·大同模擬)已知向量a=(4,5cosα),b=(3,-4tanα). 若a⊥b,且α∈(0, ),則cos(2α- )= .,【解析】因為a⊥b，所以a·b＝0， 即12-20cos α·tan α＝0，所以12-20sin α＝0，即sin α＝ 因為α∈(0， )，所以cos α＝ 所以sin 2α＝2sin αcos α＝ ，cos 2α＝1-2sin2α＝ 所以cos(2α- )＝cos 2α·cos +sin 2α·sin 答案：,3.(2014·四川高考改編)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+ ).若α是第二象 限角，f( )= cos(α+ )cos 2α，求cos α-sin α的值.,【解析】由已知，有sin(α+ )= cos(α+ )cos 2α, 所以sin αcos +cos αsin = (cos αcos -sin αsin )(cos2α-sin2α), 即sin α+cos α= (cos α-sin α)2(cos α+sin α). 當sin α+cos α=0時，由α是第二象限角， 知α=2kπ+ (k∈Z), 此時cos α-sin α=cos -sin =- .,當sin α+cos α≠0時，有(cos α-sin α)2= ，由α是第二象 限角，知cos α-sin α0，此時cos α-sin α=- 綜上，cos α-sin α=- 或cos α-sin α=-,自我糾錯10 條件求值問題 【典例】(2015·南京模擬)已知sin（x- ）= ,x∈(π,2π)， 則 =____.,【解題過程】,【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎? 提示:解題過程忽視了角的取值范圍,誤以為cos(x- )是正值,符號之差導致下面的答案錯誤.,【規(guī)避策略】 1.注意角的取值范圍 已知某一角的正(余)弦值,求該角的余(正)弦值時,涉及開方運算,需注意角的取值范圍.,2.弄清角之間的關系，靈活運用誘導公式 常見的角的關系， +x與 -x互余， +x與 -x互余，2x與 -2x 互余， +x= +(x- ), π+x= +(x+ )等.弄清常見角的關系， 靈活運用誘導公式變形后可整體代入求值.,【自我矯正】因為x∈(π,2π), 所以 又 所以 所以,答案：-,