中考數(shù)學(xué) 第五單元 函數(shù)及其圖象 第17課時(shí) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)復(fù)習(xí)課件.ppt

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第17課時(shí) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),1．[2015·蘭州]下列函數(shù)解析式中，一定為二次函數(shù)的是( ) 2．在下列二次函數(shù)中，其圖象對(duì)稱軸為x＝－2的是 ( ) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2,[小題熱身],C,A,3．對(duì)于二次函數(shù)y＝2(x＋1)(x－3)，下列說法正確的是( ) A．圖象的開口向下 B．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小 C．當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小 D．圖象的對(duì)稱軸是直線x＝－1 4．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2－4先向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到的拋物線的解析式為( ) A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2,C,B,A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2,B,一、必知5 知識(shí)點(diǎn) 1．二次函數(shù)的概念 定義：一般地，形如________________(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)．,[考點(diǎn)管理],【智慧錦囊】 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的結(jié)構(gòu)特征是：①等號(hào)左邊是函 數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次整式，x的最高次數(shù)是2； ②二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.,y＝ax2＋bx＋c,用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的步驟： (1)用配方法化成______________________的形式； (2)確定圖象的開口方向，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； (3)在對(duì)稱軸兩側(cè)利用對(duì)稱性描點(diǎn)畫圖．,y＝a(x－m)2＋k(a≠0),【智慧錦囊】 (1)|a|的大小決定拋物線的開口大?。畖a|越大，拋物線的開口越 小，|a|越小，拋物線的開口越大； (2)畫拋物線y＝ax2＋bx＋c的草圖，要確定五點(diǎn)：①開口方 向；②對(duì)稱軸；③頂點(diǎn)；④與y軸交點(diǎn)；⑤與x軸交點(diǎn)．,3．二次函數(shù)的性質(zhì),4．二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有著密切的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式b2－4ac的符號(hào)判定． (1)有兩個(gè)交點(diǎn)__________?_________________________． (2)有一個(gè)交點(diǎn)__________?________________________． (3)沒有交點(diǎn)____________?____________________．,b2－4ac0,方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,b2－4ac＝0,方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根,b2－4ac0,方程沒有實(shí)數(shù)根,5．二次函數(shù)圖象的平移 將拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成______________________的形式，而任意拋物線______________________均可由y＝ax2平移得到，具體平移方法如下：,y＝a(x－m)2＋k(a≠0),y＝a(x－m)2＋k(a≠0),二、必會(huì)2 方法 1．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，確定二次函數(shù)一般需要三個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法． (1)設(shè)一般式____________________： 若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c，將已知條件代入，求出a，b，c的值． (2)設(shè)頂點(diǎn)式__________________： 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值(最小值)，設(shè)所求二次函數(shù)為__________________，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式．,y＝ax2＋bx＋c(a≠0),y＝a(x－m)2＋k,y＝a(x－m)2＋k,(3)設(shè)兩根式________________________： 若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)，設(shè)所求二次函數(shù)為y＝a(x－x1)(x－x2)，將第三點(diǎn)(m，n)的坐標(biāo)(其中m，n為已知數(shù))或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)a，最后將解析式化為一般形式． 2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是數(shù)形結(jié)合最好的體現(xiàn)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象特征與a，b，c及判別式b2－4ac的符號(hào)之間的關(guān)系如下：,y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0),特殊值：當(dāng)x＝1，y＝a＋b＋c；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c.若a＋b＋c0，即x＝1時(shí)，y0.若a－b＋c0，即x＝－1時(shí)，y0.,三、必明3 易錯(cuò)點(diǎn) 1．注意二次函數(shù)y＝a(x－m)2＋k的圖形平移，一般按照“橫坐標(biāo)加減左右移”、“縱坐標(biāo)加減上下移”即“左加右減，上加下減”，容易出現(xiàn)移動(dòng)方向弄反． 2．求二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是令y＝0解關(guān)于x的方程；求函數(shù)與y軸交點(diǎn)的方法是令x＝0得y值，容易出現(xiàn)求與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，令x＝0，求與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，令y＝0的錯(cuò)誤．,3．根據(jù)a，b，c確定函數(shù)的大致圖象易錯(cuò)點(diǎn)： (1)c的大小決定拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，c＝0時(shí)，拋物線過原點(diǎn)，c0時(shí)，拋物線與y軸交于正半軸，c0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)．,類型之一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) [2014·濱州]已知二次函數(shù)y＝x2－4x＋3. (1)用配方法求函數(shù)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，并描述該函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的增減情況； (2)求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，及△ABC的面積． 解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1， ∴函數(shù)的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，－1)， ∴當(dāng)x≤2時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x2時(shí)，y隨x的增大而增大；,1．[2015·樂山]二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋4的最大值為( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 y＝－(x－1)2＋5， ∵a＝－1＜0， ∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最大值，最大值為5.,C,C,3．[2015·紹興]如果拋物線y＝ax2＋bx＋c過定點(diǎn)M(1，1)，則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線． (1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目：請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋物線的一個(gè)解析式．小敏寫出了一個(gè)答案y＝2x2＋3x－4，請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案； (2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題：已知定點(diǎn)拋物線y＝－x2＋2bx＋c＋1，求該拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小時(shí)的解析式，請(qǐng)你解答．,解：(1)依題意，選擇點(diǎn)(1，1)作為拋物線的頂點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)是1， 根據(jù)頂點(diǎn)式得y＝x2－2x＋2； (2)∵定點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1， ∴c＝1－2b， ∵頂點(diǎn)縱坐標(biāo)c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1， ∴當(dāng)b＝1時(shí)，c＋b2＋1最小，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值最小，此時(shí)c＝－1， ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x.,【點(diǎn)悟】 (1)從函數(shù)圖象上可知二次函數(shù)圖象的以下特征：①開口方向；②對(duì)稱軸；③頂點(diǎn)坐標(biāo)；④與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；⑤與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)．(2)求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)有兩種方法：①配方法；②頂點(diǎn)公式法．,類型之二 二次函數(shù)的平移 [2015·成都]將拋物線y＝x2向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為( ) A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝(x＋2)2＋3 C．y＝(x－2)2＋3 D．y＝(x－2)2－3 【解析】 拋物線y＝x2平移后的拋物線解析式為y＝(x＋2)2－3.,A,1．[2014·麗水]在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)y＝2x2＋4x－3的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 【解析】 函數(shù)y＝2x2＋4x－3的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到圖象y＝2(x－2)2＋4(x－2)－3－1，即y＝2(x－1)2－6，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1，－6)．,C,2．拋物線y＝x2＋bx＋c圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的解析式為y＝x2－2x－3，則b，c的值為 ( ) A．b＝2，c＝2 B．b＝2，c＝0 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝－3，c＝2 【解析】 先配方為y＝(x－1)2－4，逆向思考把y＝(x－1)2－4先左移2個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位得到解析式為y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化為一般式是y＝x2＋2x，故選擇B.,B,【點(diǎn)悟】 (1)二次函數(shù)圖象的平移實(shí)際上就是頂點(diǎn)位置的變換，因此先將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出平移后二次函數(shù)的解析式．(2)圖象的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．,類型之三 二次函數(shù)的解析式的求法 [2014·寧波]如圖17－1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三點(diǎn)． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (3)在同一坐標(biāo)系中畫出直線y＝x＋1，并寫出當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．,圖17－1,[2015·遵義]如圖17－2，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(－4，0)，B(2，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，2)． (1)求拋物線的解析式； (2)若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，當(dāng)以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及此時(shí)三角形的面積． 圖17－2,變式跟進(jìn)答圖,【點(diǎn)悟】 (1)當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)求二次函數(shù)的解析式時(shí)，一 般采用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)當(dāng)已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸或最大、最小值)求解析式 時(shí)，一般采用頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x－m)2＋k；(3)當(dāng)已知拋物線與x軸 的交點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用兩根式 y＝a(x－x1)(x－x2)．,類型之四 二次函數(shù)與方程的關(guān)系 [2015·寧波]已知拋物線y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常數(shù)． (1)求證：不論m為何值，該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；,1．[2015·蘇州]若二次函數(shù)y＝x2＋bx的圖象的對(duì)稱軸是經(jīng)過點(diǎn)(2，0)且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2＋bx＝5的解為 ( ) A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5,D,D,3．[2015·瀘州]若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，且其對(duì)稱軸為x＝－1，則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是 ( ) A．x＜－4或x＞2 B．－4≤x≤2 C．x≤－4或x≥2 D．－4＜x＜2 【解析】 ∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，且其對(duì)稱軸為x＝－1， ∴二次函數(shù)的圖象與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為(－4，0)， ∵a＜0，∴拋物線開口向下， 則使函數(shù)值y＞0成立的x的取值范圍是－4＜x＜2.,D,類型之五 二次函數(shù)的圖象特征與a，b，c之間的關(guān)系 [2015·遂寧]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖17－3所示，下列結(jié)論： ①2a＋b＞0，②abc＜0，③b2－4ac＞0， ④a＋b＋c＜0，⑤4a－2b＋c＜0， 其中正確的個(gè)數(shù)是 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5,圖17－3,B,對(duì)于②，易得a＜0，對(duì)稱軸在y軸的右邊，故b＞0，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)的下方，則c＜0，所以abc＞0，故②錯(cuò)誤； 對(duì)于③，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，故③正 確； 對(duì)于④，當(dāng)x＝1時(shí)，顯然y的值為正，所以y＝a＋b＋c＞0， 故④錯(cuò)誤； 對(duì)于⑤，當(dāng)x＝－2時(shí)，顯然y的值為負(fù)， 所以y＝4a－2b＋c＜0，故⑤正確．,1．[2015·涼山]二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖17－4所示，下列說法：①2a＋b＝0；②當(dāng)－1≤x≤3時(shí)，y＜0；③若(x1，y1)，(x2，y2)在函數(shù)圖象上，當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2；④9a＋3b＋c＝0.其中正確的是( ) A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④,圖17－4,B,2．[2015·珠海]已知拋物線y＝ax2＋bx＋3的對(duì)稱軸是直線x＝1. (1)求證：2a＋b＝0； (2)若關(guān)于x的方程ax2＋bx－8＝0的一個(gè)根為4，求方程的另一個(gè)根．,【點(diǎn)悟】 二次函數(shù)的圖象特征主要從開口方向，與x軸有無(wú)交點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)及對(duì)稱軸的位置入手，確定a，b，c及b2－4ac的符號(hào)，有時(shí)也可把x的值代入求值或根據(jù)圖象確定y的符號(hào)．,類型之六 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用 [2015·武威]如圖17－5，在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M. (1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸； (2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P， 使△PAB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出 點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； 【解析】 (1)利用兩根式法設(shè)拋物線的 解析式為y＝a(x－1)(x－5)，代入A(0，4)；,圖17－5,(2)點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6，4)，連結(jié)BA′交對(duì)稱 軸于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，可求出直線BA′ 的解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．,(2)P點(diǎn)存在．理由如下： ∵點(diǎn)A(0，4)，拋物線的對(duì)稱軸是x＝3， ∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(6，4)， 例6答圖 如答圖，連結(jié)BA′交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連結(jié)AP，此時(shí)△PAB的周 長(zhǎng)最?。?如圖17－6，二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3，0)，另一個(gè)交點(diǎn)為B，且與y軸交于點(diǎn)C. (1)求m的值； (2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (3)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x，y) (其中x＞0，y＞0)，使S△ABD＝S△ABC， 求點(diǎn)D的坐標(biāo)．,圖17－6,【解析】 (1)將A(3，0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式 y＝－x2＋2x＋m；(2)令y＝0，解一元二次方程； (3)由于S△ABD＝S△ABC，則C，D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱． 解：(1)將A(3，0)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式， 得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3； (2)二次函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3， 令y＝0， 得－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－1，0)；,(3)∵S△ABD＝S△ABC，點(diǎn)D在第一象限， ∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相等， ∴點(diǎn)C，D關(guān)于二次函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱． ∵由二次函數(shù)解析式可得其對(duì)稱軸為x＝1， ∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，3)．,二次函數(shù)圖象平移方向弄反 (臨沂中考)要將拋物線y＝x2＋2x＋3平移后得到拋物線y＝x2， 下列平移方法正確的是 ( ) A．向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 B．向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 C．向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位 D．向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位 【錯(cuò)解】錯(cuò)成A或B或者C,【錯(cuò)因】y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，又y＝x2＝(x＋1－1)2＋2－2，要得到拋物線y＝x2則平移的方法可以是：將拋物線y＝x2＋2x＋3向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位．錯(cuò)解中把左右，上下平移方向弄反了 【正解】D,