高中數(shù)學 4.5.1向量的數(shù)量積課件 湘教版必修2.ppt

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,高中數(shù)學·必修2·湘教版,,,第4章 向量 4.5 向量的數(shù)量積 4.5.1 向量的數(shù)量積,[學習目標] 1．理解向量數(shù)量積的含義及其物理意義，體會向量數(shù)量積與向量投影的關系． 2．能正確熟練地應用向量數(shù)量積的定義、運算律進行運算．,預習導學,[知識鏈接] 1．如圖，一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，且力F與位移s的夾角為θ，那么力F所做的功W是多少？ 答 W＝|F||s|cosθ,預習導學,2．向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量的區(qū)別是什么？ 答 向量的數(shù)量積a·b是一個實數(shù)，不考慮方向；數(shù)乘向量λa是一個向量，既有大小，又有方向．,預習導學,[預習導引] 1．兩個向量的夾角 規(guī)定〈a，b〉為a，b之間所夾的 的 角，取值范 圍規(guī)定為 ． 2．向量的數(shù)量積(內(nèi)積)定義 |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．,預習導學,最小,非負,[0，π],3．定理5：數(shù)量積的運算律 (1)交換律：a·b＝b ·a，對任意向量a，b成立； (2)與數(shù)乘的結合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)，對任意向量a，b和實數(shù)λ成立； (3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，對任意向量a，a′，b成立.,預習導學,課堂講義,要點一 平面向量數(shù)量積的基本概念 例1 下列判斷：①若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；②已知a，b，c是三個非零向量，若a＋b＝0，則|a·c|＝|b·c|；③a，b共線?a·b＝|a||b|；④|a||b|0，則a與b的夾角為銳角；⑧若a，b的夾角為θ，則|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影長．其中正確的是________． 答案 ①②⑥,課堂講義,解析 由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，故①正確；若a＋b＝0，則a＝－b，又a，b，c是三個非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正確；a，b共線?a·b＝±|a||b|，所以③錯． 對于④，應有|a||b|≥a·b，所以④錯； 對于⑤，應該是a·a·a＝|a|2a，所以⑤錯； a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正確； 當a與b的夾角為0°時，也有a·b0，因此⑦錯； |b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的數(shù)量，而非投影長，故⑧錯． 綜上可知①②⑥正確．,課堂講義,規(guī)律方法 對于這類概念、性質(zhì)、運算律的問題的解答，關鍵是要對相關知識深刻理解．特別是那些易與實數(shù)運算相混淆的運算律，如消去律、乘法結合律等，當然還有如向量的數(shù)量積中有關角的概念以及數(shù)量積的性質(zhì)等．,課堂講義,跟蹤演練1 已知a、b、c是三個非零向量，則下列問題中真命題的個數(shù)為 ( ) ①a·b＝±|a|·|b|?a∥b；②a、b反向?a·b＝－|a|·|b|；③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C,課堂講義,解析 ①∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a、b為非零向量可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π.∴a∥b，且以上各步均可逆，故命題①是真命題． ②若a、b反向，則a、b的夾角為π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故命題②是真命題． ③當a⊥b時，將向量a、b的起點確定在同一點，則以向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩條對角線長相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反過來，若|a＋b|＝|a－b|，則以a、b為鄰邊的四邊形為矩形，∴a⊥b，故命題③是真命題．,課堂講義,④當|a|＝|b|，但a與c的夾角和b與c的夾角不等時，就有|a·c|≠|(zhì)b·c|，反過來由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命題④是假命題． 綜上，在四個命題中，前3個是真命題，第4個是假命題．,課堂講義,要點二 平面向量數(shù)量積的基本運算 例2 已知|a|＝3，|b|＝6，當①a∥b，②a與b的夾角是60°時，分別求a·b. 解 ①當a∥b時， 若a與b同向，則它們的夾角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；,課堂講義,規(guī)律方法 非零向量共線的充要條件是a·b＝±|a|·|b|，因此， 當a∥b時，有0°或180°兩種可能．,課堂講義,跟蹤演練2 若向量a、b、c滿足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1， |c|＝4，求a·b＋b·c＋c·a.,當堂檢測,答案 C,當堂檢測,2．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為120°，則a·a＋a·b＝________.,當堂檢測,答案 －25,當堂檢測,當堂檢測,1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當a≠0，b≠0,0°≤θ90°時)，也可以為負(當a≠0，b≠0,90°θ≤180°時)，還可以為0(當a＝0或b＝0或θ＝90°時)． 2．兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算，與實數(shù)乘實數(shù)、實數(shù)乘向量的乘法運算是有區(qū)別的，在書寫時一定要把它們嚴格區(qū)分開來，絕不可混淆．,當堂檢測,