高中數(shù)學 2.4 正態(tài)分布課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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2.4 正態(tài)分布,1.正態(tài)曲線及其性質(zhì) (1)正態(tài)曲線: 函數(shù)φμ,σ(x)=___________,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ, σ(σ0)為參數(shù),我們稱φμ,σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度 曲線,簡稱正態(tài)曲線.,(2)正態(tài)曲線的性質(zhì): ①曲線位于x軸_____,與x軸不相交. ②曲線是單峰的,它關于直線_____對稱. ③曲線在x=μ處達到峰值______. ④曲線與x軸之間的面積為__. ⑤當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著___的變化而沿 x軸平移.,上方,x=μ,1,μ,⑥當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越小,曲線越“_____”, 表示總體的分布越_____;σ越大,曲線越“_____”,表示總體 的分布越_____.如圖所示:,瘦高,集中,矮胖,分散,2.正態(tài)分布及正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 (1)正態(tài)分布: ①如果對于任何實數(shù)a,b(ab),隨機變量X滿足P(aX≤b)= __________,則稱隨機變量X服從正態(tài)分布. ②記為:X～N(______).,μ,σ2,(2)正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率: ①P(μ-σX≤μ+σ)=_______; ②P(μ-2σX≤μ+2σ)=_______; ③P(μ-3σX≤μ+3σ)=_______.,0.6826,0.9544,0.9974,1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)函數(shù)φμ,σ(x)中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差. ( ) (2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的. ( ) (3)正態(tài)曲線可以關于y軸對稱. ( ),【解析】(1)錯誤.參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本的均值去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本的標準差去估計. (2)錯誤.正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是定值1. (3)正確.當μ=0時,正態(tài)曲線關于y軸對稱. 答案:(1)× (2)× (3)√,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)= ,x∈(-∞,+∞),則該 正態(tài)分布的均值為 ,標準差為 . (2)設兩個正態(tài)分布N(μ1, )(σ10)和N(μ2, )(σ20)的 密度函數(shù)圖象如圖所示,則有μ1 μ2,σ1 σ2.,(3)在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ0).若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為 .,【解析】(1)對照正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)= ,x∈ (-∞,+∞), 可得μ=0,σ= . 答案：0 (2)可知N(μ1， ),N(μ2， )的密度曲線分別關于直線 x=μ1,x=μ2對稱，因此結(jié)合所給圖象知μ1＜μ2，且N(μ1， )的密度曲線較N(μ2， )的密度曲線“高瘦”，因此σ1 ＜σ2. 答案：＜＜,(3)可知正態(tài)分布N(1,σ2)的密度曲線關于直線x=1對稱.若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8. 答案:0.8,【要點探究】 知識點正態(tài)分布 1.對正態(tài)曲線的三點說明 (1)解析式中含有兩個常數(shù):π和e,這是兩個無理數(shù),其中π是圓周率,e是自然對數(shù)的底數(shù),即自然常數(shù). (2)解析式中含有兩個參數(shù):μ和σ.其中μ可取任意實數(shù);σ0.在不同的正態(tài)分布中μ,σ的取值是不同的,這是正態(tài)分布的兩個特征數(shù).,(3)解析式中前面有一個系數(shù) ,后面是一個以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式,冪指數(shù)為 ,其中σ這個參數(shù)在解析式中的兩個位置上出現(xiàn),注意兩者的一致性.,2.對正態(tài)曲線特征的認識,3.對正態(tài)分布的三點說明 (1)正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布,例如,測量的誤差;人的身高、體重等;農(nóng)作物的收獲量;工廠產(chǎn)品的尺寸:直徑、長度、寬度、高度……都近似地服從正態(tài)分布. (2)正態(tài)分布定義中的式子實際是指隨機變量X的取值區(qū)間在(a,b]上的概率等于總體密度函數(shù)在[a,b]上的定積分值.也就是指隨機變量X的取值區(qū)間在(a,b]上時的概率等于正態(tài)曲線與直線x=a,x=b以及x軸所圍成的封閉圖形的面積.,(3)從正態(tài)曲線可以看出,對于固定的μ和σ而言,隨機變量在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率隨著σ的減小而增大.這說明σ越小,X取值落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率越大,即X集中在μ周圍的概率越大.正態(tài)分布的3σ原則是進行質(zhì)量控制的依據(jù),要會應用給定三個區(qū)間的概率解決實際問題.,【知識拓展】小概率事件 正態(tài)總體在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.26%.由于這些概率值很小(一般不超過5%),通常稱這些情況發(fā)生為小概率事件.即事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生.,【微思考】 為什么正態(tài)分布中,通常認為X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的值? 提示:正態(tài)分布中變量X幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi),而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生,故在實際應用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取(μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的值,簡稱“3σ”原則.,【即時練】 (2014·汕頭高二檢測)若ξ～N(1,0.04),則P(ξ1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【解析】選D.因為ξ～N(1,0.04),所以μ=1,由正態(tài)分布密度曲線可知曲線關于x=1對稱,故P(ξ1)=0.5.,【題型示范】 類型一 正態(tài)曲線及其性質(zhì) 【典例1】 (1)某次我市高三教學質(zhì)量檢測中,甲、 乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示 (由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視 為正態(tài)分布),則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項是 ( ),A.甲科總體的標準差最小 B.丙科總體的平均數(shù)最小 C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中 D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同,(2)(2014·石河子高二檢測)如圖是當σ取不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的關系是 ( ) A.σ11σ2σ30 B.0σ21σ30 D.0σ1σ2=1σ3,【解題探究】1.題(1)中從圖中看正態(tài)曲線的什么相同?什么不同? 2.圖中標準差σ反映數(shù)據(jù)的什么? 【探究提示】1.根據(jù)正態(tài)曲線的特征進行判斷,從圖中看出,正態(tài)曲線的對稱軸相同,最大值不同. 2.標準差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.,【自主解答】(1)選A.由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值) 相等,由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平;σ 越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為 甲、乙、丙.故選A. (2)選D.由圖象可知，此正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，其函數(shù)的 解析式為f(x)= ,x∈R.對于正態(tài)分布密度曲線，其標 準差σ反映該組數(shù)據(jù)的離散程度.σ越大，數(shù)據(jù)越分散，曲線 越矮胖；σ越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越瘦高.因而一定有0＜ σ1＜σ2＜σ3.,又由f(x)= ,x∈R知，當x=0時 , 由圖象知 ，所以σ2=1.,【方法技巧】求正態(tài)曲線的兩個方法 (1)圖解法:明確頂點坐標便可,橫坐標為樣本的均值μ,縱坐 標為 . (2)待定系數(shù)法:求出μ,σ便可.,【變式訓練】關于正態(tài)曲線，下列說法正確的是_______. ① 曲線上任一點M(x0,y0)的縱坐標y0表示 X=x0的概率; ② 表示總體取值小于a的概率; ③正態(tài)曲線在x軸上方且與x軸一定不相交; ④正態(tài)曲線關于x=σ對稱; ⑤μ一定時，σ越小，總體分布越分散；σ越大，總體分布 越集中.,【解析】①不對，因為密度曲線中面積代表概率，而不是縱坐標；④不對，因為正態(tài)曲線關于x=μ對稱；⑤不對，與之相反μ一定時，σ越大，總體分散越分散，σ越小，總體分布越集中. 答案：②③,【補償訓練】(2014·濰坊高二檢測)設ξ的概率密度函數(shù)為 則下列結(jié)論錯誤的是( ) A.P(ξ＜1)=P(ξ＞1) B.P(-1≤ξ≤1)=P(-1＜ξ＜1) C.f(x)的漸近線是x=0 D.η=ξ-1～N(0，1),【解析】選C.因為ξ的概率密度函數(shù)為 所以μ=1，σ=1,所以P(ξ＜1)=P(ξ＞1)，P(-1≤ξ≤1) =P(-1＜ξ＜1)， 當變量ξ符合正態(tài)分布時，ξ與一個常數(shù)的加減運算也符合正態(tài)分布， f(x)的漸近線是y=0.,類型二 利用正態(tài)分布的對稱性求概率 【典例2】 (1)已知隨機變量x～N(2,σ2),若P(xa)=0.32,則P(a≤x4-a) = . (2)設X～N(1,22),試求: ①P(-1X≤3);②P(3X≤5).,【解題探究】1.題(1)中正態(tài)分布的概率密度函數(shù)關于哪條直線對稱?a和4-a的平均數(shù)是多少? 2.題(2)中μ,σ的值分別為多少? 【探究提示】1.關于直線x=2對稱.a和4-a的平均數(shù)是2. 2.μ=1,σ=2.,【自主解答】(1)由正態(tài)分布圖象的對稱性可得: P(a≤x4-a)=1-2P(xa)=0.36. 答案:0.36 (2)因為X～N(1,22),所以μ=1,σ=2. ①P(-1X≤3)=P(1-2X≤1+2) =P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826.,②因為P(3X≤5)=P(-3≤X-1), 所以P(3X≤5) = [P(-3X≤5)-P(-1X≤3)] = [P(1-4X≤1+4)-P(1-2X≤1+2)] = [P(μ-2σX≤μ+2σ)-P(μ-σX≤μ+σ)] = (0.9544-0.6826)=0.1359.,【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下,試求P(X≥5). 【解析】因為P(X≥5)=P(X≤-3), 所以P(X≥5)= [1-P(-3X≤5)] = [1-P(1-4X≤1+4)] = [1-P(μ-2σX≤μ+2σ)] = (1-0.9544)=0.0228.,【方法技巧】正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略 (1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1. (2)熟記P(μ-σX≤μ+σ),P(μ-2σX≤μ+2σ),P(μ-3σ X≤μ+3σ)的值. (3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化: ①P(Xa)=1-P(X≥a); ②P(Xμ-a)=P(X≥μ+a); ③若bμ,則P(Xb)= .,【變式訓練】在正態(tài)分布N 中，數(shù)值落在(-∞，-1) ∪(1，＋∞)內(nèi)的概率為( ) A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.002 6 【解析】選D.因為μ=0，σ= ， 所以P(X1)=1-P(-1≤X≤1) =1-P(μ-3σ≤X≤μ＋3σ) =1-0.997 4=0.002 6.,【補償訓練】當μ=0，σ=1時，正態(tài)曲線為 x∈R，我們稱其為標準正態(tài)曲線，且定義Φ(x0)=P(x＜x0)，由此得到Φ(0)=__________. 【解題指南】欲求題目中：“Φ(0)”的值，由定義知：Φ(0)=P(x＜0)，由正態(tài)曲線的對稱性可解決問題. 【解析】根據(jù)定義，所以Φ(0)=P(x＜0)，根據(jù)標準正態(tài)曲線關于x=0對稱可知，P(x＜0)的值是整個概率1的一半，由此得到Φ(0)=0.5. 答案：0.5,類型三 正態(tài)分布的應用 【典例3】 (1)某廠生產(chǎn)的零件外直徑ξ～N(8.0,0.152)(mm),今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個,測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm,則可認為 ( ) A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常 B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常 C.上午生產(chǎn)情況正常,下午生產(chǎn)情況異常 D.上午生產(chǎn)情況異常,下午生產(chǎn)情況正常,(2)某糖廠用自動打包機打包,每包質(zhì)量X(kg)服從正態(tài)分布N(100,1.22).一公司從該糖廠進貨1500包,試估計質(zhì)量在下列范圍內(nèi)的糖包數(shù)量. ①(100-1.2,100+1.2). ②(100-3×1.2,100+3×1.2).,【解題探究】1.題(1)中判斷上、下午生產(chǎn)情況是否正常的依據(jù)是什么? 2.題中如何估計質(zhì)量在所求范圍內(nèi)的糖包數(shù)量? 【探究提示】1.依據(jù)是3σ原則,即某產(chǎn)品的外徑是否落在區(qū)間(7.55,8.45)內(nèi). 2.先依據(jù)正態(tài)分布求所在區(qū)間對應的概率,再計算所求范圍內(nèi)的糖包數(shù)量.,【自主解答】(1)選C.因為零件外直徑ξ～N(8.0,0.152), 根據(jù)3σ原則,所以在8+3×0.15=8.45(mm)與8-3×0.15 =7.55(mm)之外時為異常.因為上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個,測得其外直徑分別為7.9mm和7.5mm,7.57.55,所以下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常,故選C.,(2)由正態(tài)分布N(100,1.22),知 P(100-1.2X≤100+1.2)=0.6826, P(100-3×1.2X≤100+3×1.2)=0.9974. 所以①糖包質(zhì)量在(100-1.2,100+1.2)內(nèi)的包數(shù)為1500×0.6826≈1024. ②糖包質(zhì)量在(100-3×1.2,100+3×1.2)內(nèi)的包數(shù)為1500×0.9974≈1496.,【方法技巧】正態(tài)曲線的應用及求解策略 解答此類題目的關鍵在于將待求的問題向(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化,然后利用上述區(qū)間的概率求出相應概率,在此過程中依然會用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想.,【變式訓練】(2014·漳州高二檢測)某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走,第一條路線穿過市區(qū),路線較短,但交通擁擠,所需時間(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,102);第二條路線沿環(huán)城公路走,路程較長,但交通阻塞少,所需時間服從正態(tài)分布N(60,42). (1)若只有70分鐘可用,問應走哪條路線? (2)若只有65分鐘可用,又應走哪條路線?,【解析】由已知X～N(50,102),Y～N(60,42).由正態(tài)分布的2σ區(qū)間性質(zhì) P(μ-2σξ≤μ+2σ)=0.9544. 然后解決問題的關鍵是:根據(jù)上述性質(zhì)得到如下結(jié)果: 對X:μ=50;σ=10,2σ區(qū)間為(30,70), 對Y:μ=60;σ=4,2σ區(qū)間為(52,68),要盡量保證用時在X?(30,70),Y?(52,68)才能保證有95%以上的概率準時到達.,(1)時間只有70分鐘可用,應該走第二條路線. (2)時間只有65分鐘可用,兩種方案都能保證有95%以上的概率準時到達,但是走市區(qū)平均用時比路線二少了10分鐘,應該走第一條路線.,【補償訓練】某人乘車從A地到B地,所需時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100),求此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率. 【解析】由μ=30,σ=10,P(μ-σX≤μ+σ)=0.6826知此人在20分鐘至40分鐘到達目的地的概率為0.6826,又由于P(μ-2σX≤μ+2σ)=0.9544,所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為0.9544-0.6826=0.2718,由正態(tài)曲線關于直線x=30對稱得此人在40分鐘至50分鐘到達目的地的概率為0.1359.,【易錯誤區(qū)】正態(tài)曲線的特征認識不清導致錯誤 【典例】已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ4)=0.8,則P(0ξ2)= ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,【解析】選C.如圖,正態(tài)分布的密度函數(shù)圖象關于直線x=2對稱,所以P(ξ2)=0.5, 并且P(0ξ2)=P(2ξ4), 則P(0ξ2)=P(ξ4)-P(ξ2)=0.8-0.5=0.3.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 掌握正態(tài)曲線的特征 正態(tài)曲線是“鐘”形的對稱曲線,對稱軸兩側(cè)的面積相等,即概率相等,如本例中(0,2)與(2,4)為對稱區(qū)間,對應概率相等.,【類題試解】已知X～N(0,σ2)且P(-2≤X2) 為 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【解析】選A.因為X～N(0,σ2)且P(-2≤X2)= ×(1-0.8)=0.1.故選A.,