高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.1.2 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用課件 新人教A版選修2-3.ppt

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1.1.2 分類加法計數(shù)原理 與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用,,自主學習 新知突破,1．進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理． 2．能根據(jù)具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題．,現(xiàn)有高一四個班的學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學課外小組，若推選兩人做小組組長，這兩人需來自不同的班級． [問題] 有多少種不同的選法？,[提示] 分六類，每類又分兩步，從一班、二班學生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有9×10種不同的選法，所以共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．,兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的方法,,1．分類要做到“____________”，分類后再對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)． 2．分步要做到“________”——完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．,應用兩個計數(shù)原理應注意的問題,不重不漏,步驟完整,兩個計數(shù)原理的使用方法 (1)合理分類，準確分步 處理計數(shù)問題，應扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，接下來要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么．分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復)；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)．也就是要確定一個合理的分類標準．分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性．,(2)特殊優(yōu)先，一般在后 解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想． (3)分類討論，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸 分類討論就是把一個復雜的問題，通過正確劃分，轉(zhuǎn)化為若干個小問題予以擊破，這是解決計數(shù)問題的基本思想． 數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸也是化難為易，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化未知為已知的重要思想方法，對解決計數(shù)問題至關重要．,解析： 由分步乘法計數(shù)原理得5×5×5×5×5×5＝56. 答案： A,2．(2015·鄭州高二檢測)某校開設A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有( ) A．30種 B．35種 C．42種 D．48種,解析： 選3門課程，要求A，B兩類至少各選1門，可分為兩種情況，一類是A類選修2門，B類選修1門，共有3×4＝12種選法；另一類是A類選修1門，B類選修2門，共有3×6＝18種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得符合條件的選法共有12＋18＝30(種)． 答案： A,3．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示五個盒子中．要求每個盒子只能放一個小球，且A不能放1,2號，B必須放在與A相鄰的盒子中．則不同的放法有________．,,解析： 以小球A放的盒為分類標準，共分為三類：第一類，當小球放在4號盒內(nèi)時，不同的放法有3×2×1＝6(種)；第二類，當小球放在3號盒內(nèi)時，不同的放法有3×3×2×1＝18(種)；第三類，當小球放在5號盒內(nèi)時，不同的放法有3×2×1＝6(種)．綜上所述，不同的放法有6＋18＋6＝30(種)． 答案： 30種,4．由數(shù)字1,2,3,4 (1)可組成多少個3位數(shù)； (2)可組成多少個沒有重復數(shù)字的3位數(shù)； (3)可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字．,解析： (1)百位數(shù)共有4種選法；十位數(shù)共有4種選法；個位數(shù)共有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共可組成43＝64個3位數(shù)． (2)百位上共有4種選法；十位上共有3種選法；個位上共有2種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共可組成沒有重復數(shù)字的3位數(shù)4×3×2＝24(個)． (3)組成的三位數(shù)分別是432,431,421,321共4個.,,合作探究 課堂互動,組數(shù)問題,有0,1,2，…8這9個數(shù)字． (1)用這9個數(shù)字組成四位數(shù)，共有多少個不同的四位數(shù)？ (2)用這9個數(shù)字組成四位的密碼，共有多少個不同的密碼？ [思路點撥] 四位密碼的首位可為0，四位數(shù)的首位不能為0.,(1)題中未強調(diào)四位數(shù)的各位數(shù)字不重復，故只需強調(diào)首位不為0，依次確定千、百、十、個位，各有8,9,9,9種方法． 所以共能組成8×93＝5 832個不同的四位數(shù)． (2)與(1)的區(qū)別在于首位可為0. 所以共能組成94＝6 561個不同的四位密碼．,[規(guī)律方法] 對于組數(shù)問題的計數(shù)：一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領分類，每類中再分步來計數(shù)；但當分類較多時，可用間接法先求出總數(shù)，再減去不符合條件的數(shù)去計數(shù)．,1．(1)用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的①四位密碼？②四位數(shù)？ (2)從1到200的這200個自然數(shù)中，每個位數(shù)上都不含數(shù)字8的共有多少個？,解析： (1)①完成“組成無重復數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×4×3×2＝120個．,②完成“組成無重復數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4中選取一個數(shù)字作千位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第二步，從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共四個數(shù)字中選取一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．,(2)本題應分3類來解決： 第1類，一位數(shù)中，除8以外符合要求的數(shù)有8個； 第2類，兩位數(shù)中，十位數(shù)除0,8以外有8種選法，而個位數(shù)除8以外有9種選法，故兩位數(shù)中符合要求的數(shù)有8×9＝72個； 第3類，三位數(shù)中， ①百位數(shù)為1，十位數(shù)和個位數(shù)上的數(shù)字除8以外都有9種選法，故三位數(shù)中，百位數(shù)為1的符合要求的數(shù)有9×9＝81個；,②百位數(shù)為2的數(shù)只有200這一個符合要求． 故三位數(shù)中符合要求的數(shù)有81＋1＝82個． 由分類加法計數(shù)原理知，符合要求的數(shù)字共有8＋72＋82＝162個．,種植與涂色問題,用n種不同的顏色為下列兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙)，要求在A，B，C，D四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一顏色．,,(1)若n＝6，則為甲圖著色時共有多少種不同的方法； (2)若為乙圖著色時共有120種不同方法，求n.,[思路點撥],,解析： (1)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有6種方法，為B著色有5種方法，為C著色有4種方法，為D著色有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有著色方法6×5×4×4＝480(種)． (2)對區(qū)域A，B，C，D按順序著色，為A著色有n種方法，為B著色有n－1種方法，為C著色有n－2種方法，為D著色有n－3種方法，,利用分步乘法計數(shù)原理，不同的著色方法數(shù)是： n(n－1)(n－2)(n－3)＝120， 解得(n2－3n)(n2－3n＋2)＝120. 即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0. ∴(n2－3n－10)(n2－3n＋12)＝0. ∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去)， 解得n＝5或n＝－2(舍去)， 故n＝5.,[規(guī)律方法] 本題是一個涂色問題，是計數(shù)問題中的一個難點．求解時要注意以下兩點：一要考察全面；二要注意策略．如上述解法把A，D作為討論區(qū)域，求解時優(yōu)先考察這兩個區(qū)域．,2.如圖有4個編號為1、2、3、4的小三角形，要在每一個小三角形中涂上紅、黃、藍、白、黑五種顏色中的一種，并且相鄰(有公共邊界)的小三角形顏色不同，共有多少種不同的涂色方法？,解析： 分為兩類： 第一類：若1、3同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有1種涂法(與1相同)，4有4種涂法． 故N1＝5×4×1×4＝80種． 第二類：若1、3不同色，則1有5種涂法，2有4種涂法，3有3種涂法，4有3種涂法． 故N2＝5×4×3×3＝180種． 綜上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260種．,兩個計數(shù)原理的綜合應用,假設在7名學生中，有3名會下象棋但不會下圍棋，有2名會下圍棋但不會下象棋，另2名既會下象棋又會下圍棋，現(xiàn)從這7人中選2人分別同時參加象棋比賽和圍棋比賽，共有多少種不同的選法？ [思路點撥] 因有兩人既會下象棋又會下圍棋，在選兩人時要分類討論．,[規(guī)律方法] 應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的關鍵是分清“分類”與“分步”．使用分類加法計數(shù)原理時必須做到不重不漏，各類的每一種方法都能獨立完成；使用分步乘法計數(shù)原理時分步必須做到各步均是完成事件必須的、缺一不可的步驟．,3．(1)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2且a3＜a2，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)個數(shù)是多少？ (2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＞a2且a3＞a2，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)(如102,323,756等)，那么所有凹數(shù)個數(shù)是多少？,解析： (1)分8類：當中間數(shù)為2時，百位只能選1，個位可選1、0，由分步乘法計數(shù)原理，有1×2＝2個； 當中間數(shù)為3時，百位可選1、2，個位可選0、1、2，由分步乘法計數(shù)原理，有2×3＝6個；同理可得： 當中間數(shù)為4時，有3×4＝12個； 當中間數(shù)為5時，有4×5＝20個； 當中間數(shù)為6時，有5×6＝30個； 當中間數(shù)為7時，有6×7＝42個； 當中間數(shù)為8時，有7×8＝56個； 當中間數(shù)為9時，有8×9＝72個； 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240個．,(2)分8類：當中間數(shù)為0時，百位可選1～9，個位可選1～9，由分步乘法計數(shù)原理，有9×9＝81個；當中間數(shù)為1時，百位可選2～9，個位可選2～9，由分步乘法計數(shù)原理，有8×8＝64個；同理可得： 當中間數(shù)為2時，有7×7＝49個； 當中間數(shù)為3時，有6×6＝36個； 當中間數(shù)為4時，有5×5＝25個；,當中間數(shù)為5時，有4×4＝16個； 當中間數(shù)為6時，有3×3＝9個； 當中間數(shù)為7時，有2×2＝4個； 當中間數(shù)為8時，有1×1＝1個； 故共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285個．,◎有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不能種植同一種作物，共有多少種不同的種植方法？,【錯解】 第一步，種植A試驗田有4種方法； 第二步，種植B試驗田有3種方法； 第三步，種植C試驗田有3種方法； 第四步，種植D試驗田有2種方法； 由分步乘法計數(shù)原理知，共有N＝4×3×3×2＝72種種植方法． [提示] 若按A，B，C，D的順序依次種植作物，會導致D試驗田的種植數(shù)受C試驗田的影響，情況復雜．實際上種植C，D兩塊試驗田再作為一步，用分類加法計數(shù)原理求解．,【正解】 方法一：第一步，第二步與錯解相同． 第三步，若C試驗田種植的作物與B試驗田相同，則D試驗田有3種方法，此時有1×3＝3種種植方法． 若C試驗田種植的作物與B試驗田不同，則C試驗田有2種種植方法，D也有2種種植方法，共有2×2＝4種種植方法． 由分類加法計數(shù)原理知，有3＋4＝7種方法． 第四步，由分步乘法計數(shù)原理有N＝4×3×7＝84種不同的種植方法．,方法二：(1)若A，D種植同種作物，則A，D有4種不同的種法，B有3種種植方法，C也有3種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×3＝36種種植方法． (2)若A，D種植不同作物，則A有4種種植方法，D有3種種植方法，B有2種種植方法，C有2種種植方法，由分步乘法計數(shù)原理，共有4×3×2×2＝48種種植方法． 綜上所述，由分類加法計數(shù)原理，共有N＝36＋48＝84種種植方法.,