高考數(shù)學 相似三角形的判定及有關性質(zhì)課件.ppt

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選修4-1 幾何證明選講 第一節(jié) 相似三角形的判定及有關性質(zhì),【知識梳理】 1.平行線等分線段定理,相等,平分,平分,2.平行線分線段成比例定理 (1)定理:三條平行線截兩條直線,所得的_________成比例. (2)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得 的對應線段_______.,對應線段,成比例,3.相似三角形的判定及性質(zhì) (1)相似三角形的判定: ①定義:對應角_____,對應邊_______的兩個三角形叫做相似三角形. ②預備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長 線)_____,所構成的三角形與原三角形_____.,相等,成比例,相交,相似,③判定:,相等,成比例,相等,成比例,相等,成比例,成比例,(2)相似三角形的性質(zhì):,4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜邊上的高是_____________________的比例中項; 兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的_________.,兩直角邊在斜邊上射影,比例中項,【小題快練】 1.(2015·牡丹江模擬)如圖,正三角形ABC中,D,E分別在AC,AB上, AE=BE,則有 ( ) A.△AED∽△BED B.△AED∽△CBD C.△AED∽△ABD D.△BAD∽△BCD,【解析】選B.在正三角形ABC中, AE=BE, 在△AED與△CBD中,∠A=∠C, 故△AED∽△CBD.,2.(2014·廣東高考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在AB上且 EB=2AE,AC與DE交于點F,則 = .,【解析】顯然△CDF∽△AEF,則 答案:3,3.(2015·長沙模擬)如圖,D是△ABC中BC邊上一點,點E,F分別是 △ABD,△ACD的重心,EF與AD交于點M,則 = .,【解析】連接AE,AF,并延長交BC于G,H. 因為點E,F分別是△ABD,△ACD的重心, 所以 =2, 所以EF∥GH,所以 =2. 答案:2,4.(2015·中山模擬)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD與AC相交于O,過O的直線分別交AB,CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,則EF= .,【解析】由題意AD∥EF∥BC, 則△AOD∽△COB,則 則 則EO= 同理FO=20× 則EF=15. 答案:15,考點1 平行線分線段成比例定理 【典例1】如圖,將一塊邊長為12的正方形紙ABCD的頂點A折疊至邊上 的點E,使DE=5,折痕為PQ,求,【解題提示】過點M作平行線構造平行線段組. 【規(guī)范解答】如圖所示,過M作MN∥AD交DC于N, 所以 又因為AM=ME, 所以DN=NE= DE= . 所以NC=NE+EC= +7= .,因為PD∥MN∥QC, 所以,【規(guī)律方法】平行線分線段成比例定理及推論的應用 (1)利用平行線分線段成比例定理來計算或證明,首先要觀察平行線組,再確定所截直線,進而確定比例線段及比例式,同時注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用. (2)解決此類問題往往需要作輔助的平行線,要結合條件構造平行線組,再應用平行線分線段成比例定理及其推論轉(zhuǎn)化比例式解題.,【變式訓練】如圖,AD平分∠BAC,DE∥AC,EF∥BC,AB=15cm,AF=4cm,求BE和DE的長.,【解析】如圖,因為DE∥AC, 所以∠3=∠2. 又AD平分∠BAC,所以∠1=∠2. 所以∠1=∠3,即AE=ED. 因為DE∥AC,EF∥BC, 所以四邊形EDCF是平行四邊形. 所以ED=FC,即AE=ED=FC.,設AE=DE=FC=xcm. 由EF∥BC得 即 解得x1=6,x2=-10(舍去). 所以DE=AE=6cm,BE=15-6=9(cm).,【加固訓練】如圖,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點,AE=CF, BE=DF,BE∥DF,AD=DC,求證:四邊形ABCD是菱形.,【證明】因為DF∥BE,所以∠DFA=∠BEC. 因為CF=AE,EF=EF,所以AF=CE. 在△ADF和△CBE中, 因為DF=BE,∠DFE=∠BEF,AF=EC, 所以△ADF≌△CBE(SAS), 所以AD=BC,所以∠DAC=∠BCA, 所以AD∥BC,所以四邊形ABCD是平行四邊形. 因為AD=DC,所以四邊形ABCD是菱形.,考點2 相似三角形的判定與性質(zhì) 【典例2】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC交BC于 點D,若E是AC的中點,ED的延長線交AB的延長線于F, 求證:,【解題提示】利用△DBF∽△ADF,Rt△ABD∽Rt△CBA進行比例式的轉(zhuǎn)化證明. 【規(guī)范解答】因為E是Rt△ADC斜邊AC的中點, 所以AE=EC=DE. 所以∠EDC=∠ECD,又∠EDC=∠BDF, 所以∠EDC=∠C=∠BDF.,又AD⊥BC且∠BAC=90°, 所以∠BAD=∠C,所以∠BAD=∠BDF, 所以△DBF∽△ADF.所以 又Rt△ABD∽Rt△CBA,因此 所以,【規(guī)律方法】證明相似三角形的一般思路 (1)先找兩對內(nèi)角對應相等. (2)若只有一個角對應相等,再判定這個角的兩鄰邊是否對應成比例. (3)若無角對應相等,就要證明三邊對應成比例.,【變式訓練】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC 邊上的高,E是BC邊上的一個動點(不與B,C重合),EF ⊥AB,EG⊥AC,垂足分別為F,G. (1)求證: (2)FD與DG是否垂直?若垂直,請給出證明;若不垂直,請說明理由. (3)當AB=AC時,△FDG為等腰直角三角形嗎?并說明理由.,【解析】(1)在四邊形AFEG中, 因為∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°, 所以四邊形AFEG為矩形,所以AF=EG. 根據(jù)題意易證△ADC∽△EGC, 所以,(2)FD⊥DG.證明過程如下: 因為△ABC為直角三角形,AD⊥BC, 所以∠FAD=∠C.又由(1)可知, 所以△AFD∽△CGD,所以∠ADF=∠CDG. 又∠CDG+∠ADG=90°, 所以∠ADF+∠ADG=90°,即∠FDG=90°, 所以FD⊥DG.,(3)當AB=AC時,△FDG是等腰直角三角形. 理由如下: 因為AB=AC,∠BAC=90°,所以AD=DC. 又因為△AFD∽△CGD, 所以 =1,FD=DG. 又∠FDG=90°,所以△FDG為等腰直角三角形.,【加固訓練】已知△ABC中,BF⊥AC于點F,CE⊥AB于點E,BF和CE相交于點P,求證: (1)△CPF∽△BPE.(2)△EFP∽△BCP.,【證明】(1)因為BF⊥AC于點F,CE⊥AB于點E, 所以∠BFC=∠CEB. 又因為∠CPF=∠BPE,所以△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE,所以 又因為∠EPF=∠BPC,所以△EFP∽△BCP.,考點3 直角三角形中的射影定理 【典例3】如圖所示,CD垂直平分AB,點E在CD上,DF⊥AC, DG⊥BE,F,G分別為垂足. 求證:AF·AC=BG·BE. 【解題提示】利用射影定理表示出AD,BD,再利用AD=BD證明.,【規(guī)范解答】因為CD垂直平分AB, 所以∠ADC=∠BDC=90°,AD=DB. 在Rt△ADC中,因為DF⊥AC,所以AD2=AF·AC. 同理BD2=BG·BE. 所以AF·AC=BG·BE.,【規(guī)律方法】對射影定理的理解和應用 (1)利用直角三角形的射影定理解決問題首先確定直角邊與其射影. (2)要善于將有關比例式進行適當?shù)淖冃无D(zhuǎn)化,有時還要將等積式轉(zhuǎn)化為比例式或?qū)⒈壤睫D(zhuǎn)化為等積式,并且注意射影定理的其他變式. (3)注意射影定理與勾股定理的結合應用.,【變式訓練】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分線AD交BC邊于 D,求證:,【證明】過C作AD的垂線,垂足為E,CE的延長線交AB于F, 則由射影定理得AC2=AE·AD, 過E作EG∥BC交AB于G. 因為∠CAD=∠BAD,AE⊥CF, 所以CE=EF, 所以BC=2EG, 所以,【加固訓練】如圖所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于D,BE是 ∠ABC的平分線,交AD于F,求證:,【證明】由三角形的內(nèi)角平分線定理得, 在△ABD中, 在△ABC中, 在Rt△ABC中,由射影定理知,AB2=BD·BC, 即 由①③得: 由②④得:,