高考數(shù)學(xué) 4.2 平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算課件.ppt

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第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算,【知識(shí)梳理】 1.必會(huì)知識(shí) 教材回扣 填一填 (1)平面向量基本定理: ①基底:平面內(nèi)_______的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 一組基底. ②定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平 面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=__________.,不共線,λ1e1+λ2e2,(2)平面向量的坐標(biāo)表示: 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j 作為基底,該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a與數(shù)對(duì)(x,y) 是一一對(duì)應(yīng)的,把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a= ______, 其中a在x軸上的坐標(biāo)是x,a在y軸上的坐標(biāo)是y.,(x,y),(3)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算:,(x1+x2,,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(λx,λy),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),(4)向量共線的坐標(biāo)表示: 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a∥b?________=0, 特別地,若x2,y2≠0,則a∥b?,x1y2-x2y1,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 若 是平面內(nèi)不共線的向量,則存在實(shí)數(shù)λ1,λ2使 則當(dāng)λ1+λ2=1時(shí),A,B,C三點(diǎn)共線.特別地,當(dāng)λ1=λ2= 時(shí),C是 A與B的中點(diǎn). 3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:待定系數(shù)法. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合思想,函數(shù)與方程思想.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變.( ) (2)平面內(nèi)任何兩個(gè)不共線的向量均可作為一組基底.( ) (3)向量 與 的夾角為∠ABC.( ) (4)在同一組基底下同一向量的表現(xiàn)形式是唯一的.( ),【解析】(1)正確.由向量的坐標(biāo)表示可知向量不論怎樣平移,其坐標(biāo) 均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),故平移后坐標(biāo)不變. (2)正確.由基底的定義可知,只要兩向量不共線均可作為一組基底. (3)錯(cuò)誤.兩向量的夾角,關(guān)鍵要看起點(diǎn)與方向, 與 的夾角應(yīng)為 ∠ABC的補(bǔ)角. (4)正確.由平面向量基本定理可知存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)λ,μ使a=λe1+ μe2故其表現(xiàn)形式唯一. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√,2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修4P98例7改編)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ= . 【解析】由已知得 =(2,4), =(1,λ-3). 若A,B,C三點(diǎn)共線,則2(λ-3)-1×4=0, 即2λ=10,得λ=5. 答案:5,(2)(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn),若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一個(gè)四等分點(diǎn),則P的坐標(biāo)為 . 【解析】由題意可知,P是P1P2的一個(gè)四等分點(diǎn)有三種情況: 即 = 或 =3 或 = ,,設(shè)P(x,y),則 =(x-2,y-3), =(4-x,7-y), 若 = ,則(x-2,y-3)= (4-x,7-y), 即 得,若 =3 ,則(x-2,y-3)=3(4-x,7-y), 即 得,若 = ,則(x-2,y-3)=(4-x,7-y), 即 得 答案: 或 或(3,5),3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014·福建高考)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 【解析】選B.只有B選項(xiàng)兩個(gè)向量不共線,其他選項(xiàng)的向量都是共線的,不共線的向量方可成為基底,才可以表示向量a.,(2)(2015·南寧模擬)在下列向量組中可以把a(bǔ)=(4,2)表示出來的是 ( ) A.b=(0,0),c=(3,2) B.b=(1,1),c=(-1,1) C.b=(1,-1),c=(-1,1) D.b=(2,4),c=(1,2) 【解析】選B.由已知A中,b=0,而C,D中兩向量共線,不符合作為基底 的條件,而B中,a=3b-c,所以選B.,(3)(2015·成都模擬)在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線, =(2,4), = (1,3),則向量 的坐標(biāo)為 .,【解析】設(shè) =(x,y),因?yàn)?所以(1,3)=(2,4)+(x,y), 所以 即 所以 =(-1,-1), 所以 =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案:(-3,-5),考點(diǎn)1 平面向量基本定理及其應(yīng)用 【典例1】(1)(2015·廣州模擬)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0,關(guān)于向 量a的分解,有如下四個(gè)命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μc; ③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μc;,④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2015·泉州模擬)在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且 Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又 試求t的值.,【解題提示】(1)利用平面向量基本定理來逐一判斷. (2)首先利用條件確定P點(diǎn)的位置,再利用平面向量基本定理確定基底,從而聯(lián)立方程得t.,【規(guī)范解答】(1)選B.對(duì)于① 因?yàn)閍與b給定,所以a-b一定存在,可表示為c,即c=a-b, 故a=b+c成立,①正確; 對(duì)于②,因?yàn)閎與c不共線, 由平面向量基本定理可知②正確;,對(duì)于③,以a的終點(diǎn)為圓心,以μ為半徑作圓,這個(gè)圓必須和向量λb有交點(diǎn),這個(gè)不一定滿足,故③錯(cuò)誤; 對(duì)于④,由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊),即必有|λb|+|μc|=λ+μ|a|,而給定的λ和μ不一定滿足此條件, 所以④是假命題.,(2)因?yàn)?所以 即 所以 即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn)), 又因?yàn)锳,M,Q三點(diǎn)共線,,設(shè) 所以 = 又 = 故 解得 故t的值是 .,【易錯(cuò)警示】解答本例題(1)有兩點(diǎn)容易出錯(cuò). (1)對(duì)于①中判斷易直接利用平面向量基本定理而不會(huì)變換為c=a-b去判斷從而誤解. (2)對(duì)于③④判斷時(shí)易忽視向量加法的幾何意義,及平面向量基本定理的理解而誤解.,【互動(dòng)探究】題(2)中若條件和所求不變,再附加一問:M在AQ的什么位置?如何求解. 【解析】由(2)的解析 及λ= , 知, 因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn).,【規(guī)律方法】應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(diǎn) (1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量. (2)選定基底后,通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來. (3)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質(zhì),如平行、相似等. 提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便.,【變式訓(xùn)練】如圖,已知△OCB中,A是CB的中點(diǎn),D是將 分成2∶1 的一個(gè)內(nèi)分點(diǎn),DC和OA交于點(diǎn)E,設(shè) =a, =b. (1)用a和b表示向量 , . (2)若 =λ ,求實(shí)數(shù)λ的值.,【解析】(1)由題意知,A是BC的中點(diǎn),且 由平行四邊形法 則,得 所以 =2a-b, =(2a-b)- b=2a- b.,(2)由題意知, 故設(shè) 因?yàn)? =(2a-b)-λa =(2-λ)a-b, =2a- b, 所以(2-λ)a-b=x(2a- b).,因?yàn)閍與b不共線,由平面向量基本定理, 得 解得 故λ= .,【加固訓(xùn)練】1.若a與b不共線,已知下列各組向量 ①a與-2b; ②a+b與a-b; ③a+b與a+2b; ④a- b與 a- b. 其中可以作為基底的是 (只填序號(hào)即可).,【解析】因?yàn)閍與b不共線,所以,對(duì)于①,顯然a與-2b不共線;對(duì)于②, 假設(shè)a+b與a-b共線,則存在實(shí)數(shù)λ,使a+b=λ(a-b),則λ=1且-λ=1, 由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對(duì) 于③,a+b與a+2b也不共線;對(duì)于④, a- b= (a- b),故a- b與 a- b共線.由基向量的定義知,①②③都可以作為基底,④不可以. 答案:①②③,2.(2015·武漢模擬)如圖所示,已知 =a, =b, =c,以a,b為基底試表示c. 【解析】由 得 即 即c= b- a.,考點(diǎn)2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【典例2】(1)(2015·臨沂模擬)在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且 =2 , 點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若 =(4,3), =(1,5),則 等于( ) A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7),(2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若 c=λa+μb(λ,μ∈R),則 = .,【解題提示】(1)利用已知求得 的坐標(biāo)即可求 的坐標(biāo). (2)結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量基本定理列方程組求解.,【規(guī)范解答】(1)選A.如圖, =(1,5)-(4,3)=(-3, 2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =3 =(-6,21).,(2)以向量a,b的交點(diǎn)為原點(diǎn),原點(diǎn)向右的方向?yàn)閤軸正方向,正方形網(wǎng) 格的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1, -3),根據(jù)c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),即 解得λ=-2,μ=- ,所以 =4. 答案:4,【互動(dòng)探究】在本例(2)中,試用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標(biāo)系,則a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),設(shè)b=xa+yc, 則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【規(guī)律方法】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)來進(jìn)行求解.,【變式訓(xùn)練】已知向量a=(6,4),b=(0,2), =a+λb,O為坐標(biāo)原點(diǎn), 若點(diǎn)C在函數(shù)y=sin 的圖象上,求實(shí)數(shù)λ的值. 【解析】因?yàn)? =a+λb=(6,4)+λ(0,2)=(6,4+2λ), 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4+2λ). 又點(diǎn)C在函數(shù)y=sin 的圖象上, 故4+2λ=sin =1,所以λ=- .,【加固訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的結(jié)論: ①直線OC與直線BA平行;② ③ ④ 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè),【解析】選C.由題意得 =(-2,1), =(2,-1),故 ,又 無公共點(diǎn),故OC∥BA,①正確; 因?yàn)? 故②錯(cuò)誤; 因?yàn)? =(0,2)= ,故③正確; 因?yàn)? -2 =(-4,0), =(-4,0),故④正確.所以選C.,2.已知點(diǎn)A(-1,2),B(2,8)以及 求點(diǎn)C,D的坐 標(biāo)和 的坐標(biāo). 【解析】設(shè)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6).,因?yàn)?所以有 和 解得 和 所以點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).,考點(diǎn)3 平面向量共線的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 知·考情 以平面向量的共線為載體考查三角函數(shù)問題及利用平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的范圍,是高考考查的一個(gè)重要考向,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).,明·角度 命題角度1:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)的值或角 【典例3】(2014·陜西高考)設(shè)0θ ,向量a=(sin2θ,cosθ), b=(cosθ,1),若a∥b,則tanθ= . 【解題提示】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)化簡(jiǎn)即可得解.,【解析】由a∥b得sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ,又 0θ ,cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ可得tanθ= . 答案:,命題角度2:利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值 【典例4】(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則 實(shí)數(shù)m等于( ) (本題源于教材必修4P101T5) A.- B. C.- 或 D.0 【解題提示】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示列方程求解. 【規(guī)范解答】選C.因?yàn)閍=(1,m),b=(m,2),a∥b,所以1×2-m2=0,即 m2=2,故m=± .,悟·技法 1.根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)的值: 利用向量共線轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程,解方程可求參數(shù). 2.利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值: 利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程,再利用三角恒等變換求解.,通·一類 1.(2015·沈陽(yáng)模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=( ,1+sinθ),若 a∥b,則銳角θ等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解析】選B.由a∥b得,(1-sinθ)(1+sinθ)-1× =0, 解得sinθ=± .又θ為銳角,所以θ=45°.,2.(2015·攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為 實(shí)數(shù),(a+λb)∥c,則λ=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選B.因?yàn)閍+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),c=(3,4),又(a+ λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0.解得λ= .,3.(2015·鄭州模擬)已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k, 10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是( ) A.- B. C. D. 【解析】選A. =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線,所以 共線, 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=- .,創(chuàng)新體驗(yàn)3 以向量坐標(biāo)運(yùn)算為載體的創(chuàng)新問題 【創(chuàng)新點(diǎn)撥】 高考考情:以向量的坐標(biāo)運(yùn)算為載體的創(chuàng)新問題是近幾年高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),綜合考查向量與函數(shù)等知識(shí),考查學(xué)生的應(yīng)變能力與創(chuàng)新能力.,【新題快遞】 1.(2015·貴陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,若O為坐標(biāo)原點(diǎn),則A,B,C 三點(diǎn)在同一直線上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ,使得 =λ +(1-λ) 成立,此時(shí)稱實(shí)數(shù)λ為“向量 關(guān)于 和 的終 點(diǎn)共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點(diǎn)共線且向 量 與向量a=(1,-1)共線,則“向量 關(guān)于 和 的終點(diǎn)共 線分解系數(shù)”為( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】選D.由 與向量a=(1,-1)共線,可設(shè) =(t,-t)(t≠0), 由 =λ +(1-λ) 得(t,-t)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ -1,3-2λ),所以 兩式相加得2λ+2=0,所以λ=-1.,2.(2015·杭州模擬)將一圓的六個(gè)等分點(diǎn)分成兩組 相間的三點(diǎn),它們所構(gòu)成的兩個(gè)正三角形扣除內(nèi)部六 條線段后可以形成一正六角星,如圖所示的正六角星 是以原點(diǎn)O為中心,其中x,y分別為原點(diǎn)O到兩個(gè)頂點(diǎn) 的向量,若將原點(diǎn)O到正六角星12個(gè)頂點(diǎn)的向量,都寫成ax+by的形式,則a+b的最大值為( ) A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】選D.欲求a+b的最大值,只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可,討論如下: (1)因?yàn)? =x,所以(a,b)=(1,0); (2)因?yàn)? =y+3x, 所以(a,b)=(3,1);,(3)因?yàn)? =y+2x, 所以(a,b)=(2,1); (4)因?yàn)? =y+x+ =y+x+(y+2x)=2y+3x,所以 (a,b)=(3,2); (5)因?yàn)? =y+x,所以(a,b)=(1,1); (6)因?yàn)? =y,所以(a,b)=(0,1). 所以a+b的最大值為3+2=5.,3.(2013·北京高考)已知點(diǎn)A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面區(qū)域D由 所有滿足 (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點(diǎn)P組成,則D的面 積為 .,【解析】設(shè)P(x,y),則(x-1,y+1)=λ(2,1)+μ(1,2), 所以 解得 所以 即 在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D,可求得面積為3. 答案:3,【備考指導(dǎo)】 1.準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化:解決向量創(chuàng)新問題,一定要讀懂題目的本質(zhì)含義,緊抓題目所給條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化. 2.方法選取:對(duì)向量的創(chuàng)新問題,準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化后,要觀察題目特點(diǎn),合理選取解題的辦法,如函數(shù)的最值求法,線性規(guī)劃的可行域,新型概念的融合等.,