全微分方程的解法.ppt

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恰當(dāng)方程（全微分方程）,一、概念 二、全微分方程的解法,若有全微分形式,則,稱為全微分方程。,定義:,例1：,所以是全微分方程.,方程 是否為全微分方程？,解：,通解則為 （C為任意常數(shù)）。,問(wèn)題:,（1）如何判斷全微分方程？,（2）如何求解全微分方程？,（3）如何轉(zhuǎn)化為全微分方程？,是全微分方程,（1）證明必要性,證明：,因?yàn)? 是全微分方程，,則存在原函數(shù) ，使得,所以,將以上二式分別對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，得到,又因?yàn)? 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，,，即,所以,（2）證明充分性,設(shè),，求一個(gè)二元函數(shù) 使它滿足,即,由第一個(gè)等式，應(yīng)有,代入第二個(gè)等式，應(yīng)有,這里,因此,，則,因此可以取,此時(shí),這里由于 ，故曲線積分與路徑無(wú)關(guān)。因此,(1) 線積分法:,或,(2) 偏積分法,第一個(gè)等式對(duì) 積分,代入第二個(gè)等式求,，即可得,(3)湊微分法,直接湊微分得,例2：驗(yàn)證方程,是全微分方程，并求它的通解。,由于,解：,所以方程為全微分方程。,(1) 線積分法:,故通解為,(2) 偏積分法:,假設(shè)所求全微分函數(shù)為,,則有,代入可得,因此,從而,即,(3) 湊微分法:,由于,方程的通解為：,根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為,例3：驗(yàn)證方程,是全微分方程，并求它的通解。,由于,解：,所以方程為全微分方程。,(1) 線積分法:,故通解為,(2) 偏積分法:,假設(shè)所求全微分函數(shù)為,,則有,所以,從而,即,(3) 湊微分法:,方程的通解為：,根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗(yàn),原方程可寫為,練習(xí)：驗(yàn)證方程,是全微分方程，并求它的通解。,方程的通解為：,積分因子法,一、概念 二、積分因子的求法,一、定義:,連續(xù)可微函數(shù)，使方程,成為全,.,.,例1,的積分因子，并求方程的通解。,解：,是全微分方程。,方程通解為,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,(兩邊同除 ),a. 當(dāng) 只與 有關(guān)時(shí)，,b. 當(dāng) 只與 有關(guān)時(shí)，,2.觀察法:,憑觀察湊微分得到,常見(jiàn)的全微分表達(dá)式,一般可選用的積分因子有,等。,可選用的積分因子有,可選用的積分因子有,例2,解,則原方程成為,.,1.公式法:,原方程的通解為,2.觀察法:,將方程左端重新組合,有,可選用的積分因子有,可選用的積分因子有,因此取積分因子為,原方程的通解為,分組求積分因子的思想。,練習(xí),求微分方程,的通解。,