2015-2016年哈爾濱市松北區(qū)九年級(jí)上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 　 一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分） 1．的相反數(shù)是（　?。? A．﹣ B． C．﹣2 D． 　 2．下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．m4?m2=m8 B．（m2）3=m6 C．（m﹣n）2=m2﹣n2 D．3m﹣2m=2 　 3．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（　　） A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 　 4．如圖是一個(gè)正六棱柱，它的俯視圖是（　　） A． B． C． D． 　 5．不等式組的解集是（　?。? A．﹣1＜x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．x＞﹣1 D．x≤3 　 6．已知反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2 　 7．如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　　） A．45° B．60° C．70° D．90° 　 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，則邊AC的長(zhǎng)是（　?。? A． B．3 C． D． 　 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（　?。? A．25 B．9 C．21 D．16 　 10．如圖，⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)．設(shè)AD=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　　） A． B． C． D． 　 　 二、填空題（每小題3分，共計(jì)30分） 11．上海世博會(huì)的中國(guó)館利用太陽(yáng)能發(fā)電，年發(fā)電量可達(dá)2 840 000度，把2 840 000用科學(xué)記數(shù)法可表示為　　　　　?。? 　 12．函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是　　　　　?。? 　 13．因式分解：ax2﹣4axy+4ay2=　　　　　?。? 　 14．方程： =x﹣2的解為　　　　　?。? 　 15．某校決定從三名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)擔(dān)任校藝術(shù)節(jié)文藝演出專場(chǎng)的主持人，則選出的恰為一男一女的概率是　　　　　?。? 　 16．某種商品如果以240元售出，則可以獲得20%的利潤(rùn)，則該商品的實(shí)際進(jìn)價(jià)為　　　　　　元． 　 17．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形面積是　　　　　?。? 　 18．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)．若AC+BD=24cm，△OAB的周長(zhǎng)是18cm，則EF的長(zhǎng)為　　　　　?。? 　 19．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且DA=DB，此時(shí)△ACD也恰好為等腰三角形，則∠BAC=　　　　　?。? 　 20．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)F在AC的中點(diǎn)，AD⊥BF，垂足為E，若DE=2，則△ADF的面積為　　　　　?。? 　 　 三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25-27題各10分，共計(jì)60分） 21．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1﹣），其中x=sin45°+tan60°． 　 22．圖1、圖2分別是8×8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D1、圖2中各畫一個(gè)圖形，分別滿足以下要求： （1）在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的正方形，并求出此正方形的面積；（所畫正方形各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上） （2）在圖2中畫一個(gè)以線段AB為一邊的等腰三角形，所畫等腰三角形各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上，且所畫等腰三角形的面積為． 　 23．為迎接2015年中考，某中學(xué)對(duì)全校九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)期末模擬考試，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測(cè)試成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題： （1）在這次調(diào)查中，樣本中表示成績(jī)類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （2）若該中學(xué)九年級(jí)共有l(wèi) 000人參加了這次數(shù)學(xué)考試，估計(jì)該校九年級(jí)共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀？ 　 24．如圖，已知點(diǎn)A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF． （1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形； （2）直接寫出圖中所有相等的線段（AE=CF除外）． 　 25．學(xué)校為豐富學(xué)生的業(yè)余生活，為學(xué)生購(gòu)買籃球和排球．若買10個(gè)籃球和8個(gè)排球需1600元；若買15個(gè)籃球和20個(gè)排球需3200元． （1）每個(gè)籃球和排球的售價(jià)分別多少元？ （2）若學(xué)校打算購(gòu)買籃球和排球共50個(gè)，購(gòu)買的費(fèi)用不少于4685元，則至多購(gòu)買籃球多少個(gè)？ 　 26．在⊙O中，弦AC⊥BD于點(diǎn)E，AC=BD． （1）如圖1，求證：AB=CD； （2）如圖2，作OF⊥CD于點(diǎn)F，求證：AB=2OF； （3）如圖3，若AD=4，BC=8，連接OE，求OE的長(zhǎng)． 　 27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)A（﹣1，0）在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，4）為拋物線上一點(diǎn)，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的條件下，作直線AE⊥x軸，交線段CD于點(diǎn)E，連接AP、PE，當(dāng)∠APE=90°時(shí)，求tan∠PCE的值． 　 　  2015-2016學(xué)年黑龍江省哈爾濱市松北區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分） 1．的相反數(shù)是（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D． 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相反數(shù)的含義，可得求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”，據(jù)此解答即可． 【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的含義，可得 的相反數(shù)是﹣． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相反數(shù)的含義以及求法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在；求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加“﹣”． 　 2．下列運(yùn)算正確的是（　?。? A．m4?m2=m8 B．（m2）3=m6 C．（m﹣n）2=m2﹣n2 D．3m﹣2m=2 【考點(diǎn)】完全平方公式；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，完全平方公式，合并同類項(xiàng)逐一計(jì)算得出答案比較得出結(jié)論即可． 【解答】解：A、m4?m2=m6，計(jì)算錯(cuò)誤； B、（m2）3=m6，計(jì)算正確； C、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，計(jì)算錯(cuò)誤； D、3m﹣2m=m，計(jì)算錯(cuò)誤． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，完全平方公式，合并同類項(xiàng)等知識(shí)，掌握運(yùn)算方法是解答的關(guān)鍵． 　 3．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解． 【解答】解：圖形（1）既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．符合題意； 圖形（2）是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意； 圖形（3）是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意； 圖形（4）不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意． 共1個(gè)既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形沿對(duì)稱軸折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形關(guān)鍵是要尋找對(duì)稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合． 　 4．如圖是一個(gè)正六棱柱，它的俯視圖是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實(shí)線表示． 【解答】解：從上面看可得到一個(gè)正六邊形． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖． 　 5．不等式組的解集是（　?。? A．﹣1＜x≤3 B．﹣1＜x＜3 C．x＞﹣1 D．x≤3 【考點(diǎn)】解一元一次不等式組． 【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集． 【解答】解：， 解①得：x≤3， 解②得：x＞﹣1， 則不等式組的解集是：﹣1＜x≤3． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的法則是解答此題的關(guān)鍵． 　 6．已知反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞2 B．k≥2 C．k≤2 D．k＜2 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】函數(shù)思想． 【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由k﹣2＞0即可解得答案． 【解答】解：∵y=的圖象位于第一、第三象限， ∴k﹣2＞0， k＞2． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：①、當(dāng)k＞0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．②、當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k＜0時(shí)，在同一個(gè)象限，y隨x的增大而增大． 　 7．如圖，△ABC為鈍角三角形，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到△AB′C′，連接BB′，若AC′∥BB′，則∠CAB′的度數(shù)為（　?。? A．45° B．60° C．70° D．90° 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)易得∠AB′B=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：∵將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)l20°得到△AB′C′， ∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′， ∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°， ∵AC′∥BB′， ∴∠C′AB′=∠AB′B=30°， ∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． 　 8．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，則邊AC的長(zhǎng)是（　　） A． B．3 C． D． 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義． 【分析】先根據(jù)BC=2，sinA=求出AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：∵sinA==，BC=2， ∴AB=3． ∴AC===． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題利用角的正弦的定義和勾股定理． 　 9．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：AE=2：3，△BDC的面積為25，則四邊形AEFB的面積為（　?。? A．25 B．9 C．21 D．16 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)△ABD≌△BDC，求得△ABD的面積，利用三角形相似的性質(zhì)即可求得四邊形AEFB的面積． 【解答】解：因?yàn)镋F∥AB，DE：AE=2：3， 所以， 所以S△DEF：S△ABD=4：25， 又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以△ABD≌△BDC，△BDC的面積為25，所以△ABD的面積為25， 所以△DEF的面積為4， 則四邊形AEFB的面積為21． 故答案為C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系式解題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)．設(shè)AD=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象． 【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x的關(guān)系． 【解答】解：作DF⊥BN交BC于F； ∵AM、BN與⊙O切于點(diǎn)定A、B， ∴AB⊥AM，AB⊥BN． 又∵DF⊥BN， ∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°， ∴四邊形ABFD是矩形， ∴BF=AD=x，DF=AB=12， ∵BC=y， ∴FC=BC﹣BF=y﹣x； ∵DE切⊙O于E， ∴DE=DA=x CE=CB=y， 則DC=DE+CE=x+y， 在Rt△DFC中， 由勾股定理得：（x+y）2=（y﹣x）2+122， 整理為y=， ∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=， y是x的反比例函數(shù)． 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、矩形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 　 二、填空題（每小題3分，共計(jì)30分） 11．上海世博會(huì)的中國(guó)館利用太陽(yáng)能發(fā)電，年發(fā)電量可達(dá)2 840 000度，把2 840 000用科學(xué)記數(shù)法可表示為　2.84×106?。? 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)． 【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)． 【解答】解：將2 840 000用科學(xué)記數(shù)法表示為：2.84×106． 故答案為：2.84×106． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 　 12．函數(shù)y=中自變量x的取值范圍是　x≥﹣2且x≠1?。? 【考點(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍． 【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：由題意得，x+2≥0且x﹣1≠0， 解得x≥﹣2且x≠1． 故答案為：x≥﹣2且x≠1． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個(gè)方面考慮： （1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時(shí)，自變量可取全體實(shí)數(shù)； （2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0； （3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)非負(fù)． 　 13．因式分解：ax2﹣4axy+4ay2=　a（x﹣2y）2?。? 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解． 【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2） =a（x﹣2y）2． 故答案是：a（x﹣2y）2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底． 　 14．方程： =x﹣2的解為　x=1　． 【考點(diǎn)】解一元一次方程． 【專題】計(jì)算題． 【分析】方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解． 【解答】解：去分母得：x﹣3=2x﹣4， 解得：x=1， 故答案為：x=1． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解． 　 15．某校決定從三名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)擔(dān)任校藝術(shù)節(jié)文藝演出專場(chǎng)的主持人，則選出的恰為一男一女的概率是　?。? 【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法． 【分析】此題可以借助于列表法求解，一共有20種情況記為m，其中選出的恰為一男一女的有12種情況記為n，根據(jù)概率公式可知選出的恰為一男一女的概率是=． 【解答】解：列表得： 男1，女2 男2，女2 男3，女2 女1，女2 男1，女1 男2，女1 男3，女1 女2，女1 男1，男3 男2，男3 女1，男3 女2，男3 男1，男2 男3，男2 女1，男2 女2，男2 男2，男3 男3，男1 女1，男1 女2，男1 ∴一共有20種情況，選出的恰為一男一女的有12種情況； ∴選出的恰為一男一女的概率是=． 【點(diǎn)評(píng)】列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 16．某種商品如果以240元售出，則可以獲得20%的利潤(rùn)，則該商品的實(shí)際進(jìn)價(jià)為　200　元． 【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)=售價(jià)列出方程，解方程即可． 【解答】解：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)是x元，根據(jù)題意得 x+20%x=240， 解得x=200． 即該商品的進(jìn)價(jià)是200元． 故答案為：200． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解． 　 17．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形面積是　12π　． 【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算． 【專題】計(jì)算題． 【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可． 【解答】解：由題意得，n=120°，R=6， 故可得扇形的面積S===12π． 故答案為12π． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，難度一般． 　 18．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)．若AC+BD=24cm，△OAB的周長(zhǎng)是18cm，則EF的長(zhǎng)為　3cm　． 【考點(diǎn)】三角形中位線定理；平行四邊形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，繼而求出AB，判斷EF是△OAB的中位線即可得出EF的長(zhǎng)度． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AC+BD=24厘米， ∴OA+OB=12cm， ∵△OAB的周長(zhǎng)是18厘米， ∴AB=6cm， ∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點(diǎn)， ∴EF是△OAB的中位線， ∴EF=AB=3cm． 故答案為：3cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，解答本題需要用到：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，三角形中位線的判定定理及性質(zhì)． 　 19．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且DA=DB，此時(shí)△ACD也恰好為等腰三角形，則∠BAC=　90°或108°?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】分類討論． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，∠BAD=∠B，由△ACD也恰好為等腰三角形，如圖1，當(dāng)AD=CD，于是得到∠CAD=∠C，求得∠BAC=×180°=90°，如圖2，當(dāng)AC=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠ADC，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程得到∠C+2∠C+2∠C=180°，求得∠C=36°，即可得到結(jié)論． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B， ∵△ACD也恰好為等腰三角形， 如圖1，當(dāng)AD=CD， ∴∠CAD=∠C， ∴∠BAC=×180°=90°， 如圖2，當(dāng)AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=2∠B， ∵∠C+∠BAD+∠ADC=180°， ∴∠C+2∠C+2∠C=180°， ∴∠C=36°， ∴∠BAD=36°，∠CAD=72°， ∴∠BAC=108°． 故答案為：90°或108°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)．關(guān)鍵是根據(jù)等邊對(duì)等角及角的倍數(shù)關(guān)系，列方程解題． 　 20．已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)F在AC的中點(diǎn)，AD⊥BF，垂足為E，若DE=2，則△ADF的面積為　?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于G，求出∠ABF=∠CAG，然后利用“角邊角”證明△ABF和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CG，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠G=∠AFB，從而得到∠CFD=∠G，再求出∠DCF=∠DCG=45°，然后利用“角角邊”證明△CDF和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=CF，DG=DF，然后等量代換得到AF=CF，設(shè)EF=x，然后表示出AE、BE、BF，再表示出DF，然后利用勾股定理列出方程求出x，從而得到AD、EF，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解． 【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于G， ∵∠BAC=90°， ∴∠CAG+∠BAE=90°， ∵BF⊥AD， ∴∠ABF+∠BAE=90°， ∴∠ABF=∠CAG， 在△ABF和△CAG中， ， ∴△ABF≌△CAG（ASA）， ∴AF=CG，∠G=∠AFB， ∵∠AFB=∠CFD， ∴∠CFD=∠G， ∵AB=AC，∠BAC=90°，CG⊥AC， ∴∠DCF=∠DCG=45°， 在△CDF和△CDG中， ， ∴△CDF≌△CDG（AAS）， ∴CG=CF，DG=DF， ∴AF=CF=AC， 設(shè)EF=x，則AE=2x，BE=2AE=4x， AG=BF=BE+EF=4x+x=5x， ∵DE=2， ∴DF=DG=5x﹣2x﹣2=3x﹣2， 在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2， 22+x2=（3x﹣2）2， 解得x=， 所以，AE=2×+2=5， △ADF的面積=×5×=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并二次證明三角形全等，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25-27題各10分，共計(jì)60分） 21．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1﹣），其中x=sin45°+tan60°． 【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值；特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：原式=÷ =? =， 當(dāng)x=×+=1+時(shí)，原式==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵． 　 22．圖1、圖2分別是8×8的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，線段AB的端點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D1、圖2中各畫一個(gè)圖形，分別滿足以下要求： （1）在圖1中畫一個(gè)以線段AB為一邊的正方形，并求出此正方形的面積；（所畫正方形各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上） （2）在圖2中畫一個(gè)以線段AB為一邊的等腰三角形，所畫等腰三角形各頂點(diǎn)必須在小正方形的頂點(diǎn)上，且所畫等腰三角形的面積為． 【考點(diǎn)】作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖． 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和AB的長(zhǎng)度作圖即可； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積為作圖即可． 【解答】解：（1）如圖所示： 由勾股定理可知AB==5． 正方形的面積=AB2=25． （2）如圖所示：△ABC即為所求． ∵S△ABC=SADEC﹣S△BCE﹣S△ABD， ∴SABC=﹣ =10﹣0.5﹣6 =3.5． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是作圖﹣與應(yīng)用設(shè)計(jì)作圖，根據(jù)AB=5，△ABC的面積=3.5確定出點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵． 　 23．為迎接2015年中考，某中學(xué)對(duì)全校九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)期末模擬考試，并隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的測(cè)試成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題： （1）在這次調(diào)查中，樣本中表示成績(jī)類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （2）若該中學(xué)九年級(jí)共有l(wèi) 000人參加了這次數(shù)學(xué)考試，估計(jì)該校九年級(jí)共有多少名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀？ 【考點(diǎn)】條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本估計(jì)總體；扇形統(tǒng)計(jì)圖． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）先根據(jù)成績(jī)類別為“差”的人數(shù)和所占的百分比計(jì)算出樣本容量為50，然后用成績(jī)類別為“中”的人數(shù)所占百分比乘以50即可，再將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； （2）先計(jì)算出成績(jī)類別為“中”的人數(shù)所占的百分比，然后乘以2000即可． 【解答】解：（1）樣本容量為8÷16%=50， 所以成績(jī)類別為“中”的人數(shù)等于50×20%=10（人）； 如圖； （2）1000××100%=200， 所以估計(jì)該校九年級(jí)共有200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)可以達(dá)到優(yōu)秀． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖：條形統(tǒng)計(jì)圖是用線段長(zhǎng)度表示數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長(zhǎng)短不同的矩形直條，然后按順序把這些直條排列起來(lái)；從條形圖可以很容易看出數(shù)據(jù)的大小，便于比較．也考查了用樣本估計(jì)總體和扇形統(tǒng)計(jì)圖． 　 24．如圖，已知點(diǎn)A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF． （1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形； （2）直接寫出圖中所有相等的線段（AE=CF除外）． 【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）證△ADE≌△CBF，得AD=CB，從而得出四邊形ABCD是平行四邊形； （2）由全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)容易得出結(jié)果． 【解答】（1）證明：∵AD∥BC，DE∥BF， ∴∠E=∠F，∠DAC=∠BCA， ∴∠DAE=∠BCF， 在△ADE和△CBF中，， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AD=CB， ∴四邊形ABCD是平行四邊形； （2）解：AD=BC、EC=AF、ED=BF、AB=DC；理由如下： ∵△ADE≌△CBF， ∴AD=BC，ED=BF， ∵AE=CF， ∴EC=AF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=DC． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵． 　 25．學(xué)校為豐富學(xué)生的業(yè)余生活，為學(xué)生購(gòu)買籃球和排球．若買10個(gè)籃球和8個(gè)排球需1600元；若買15個(gè)籃球和20個(gè)排球需3200元． （1）每個(gè)籃球和排球的售價(jià)分別多少元？ （2）若學(xué)校打算購(gòu)買籃球和排球共50個(gè)，購(gòu)買的費(fèi)用不少于4685元，則至多購(gòu)買籃球多少個(gè)？ 【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)每個(gè)藍(lán)球售價(jià)為x元，每個(gè)排球的售價(jià)為y元，根據(jù)“買10個(gè)籃球和8個(gè)排球需1600元；若買15個(gè)籃球和20個(gè)排球需3200元”列出方程組并解答． （2）設(shè)購(gòu)買籃球a個(gè)，則購(gòu)買排球（50﹣a）個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買的費(fèi)用不少于4685元”解答． 【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)藍(lán)球售價(jià)為x元，每個(gè)排球的售價(jià)為y元， 則， 解，得， 答：籃球每個(gè)80元，排球每個(gè)100元； （2）設(shè)購(gòu)買籃球a個(gè)，則購(gòu)買排球（50﹣a）個(gè)， 則80a+100（50﹣a）≥4685， 解得a≤15． 答：籃球至多買15個(gè)． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系． 　 26．在⊙O中，弦AC⊥BD于點(diǎn)E，AC=BD． （1）如圖1，求證：AB=CD； （2）如圖2，作OF⊥CD于點(diǎn)F，求證：AB=2OF； （3）如圖3，若AD=4，BC=8，連接OE，求OE的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】圓的綜合題． 【分析】（1）由AC=BD，得到，于是得到=，即可得到結(jié)論； （2）如圖2，過O作OF⊥CD于F，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于G，連接BG，DG，根據(jù)圓周角定理得到∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DCE=∠BCG，得到，求得，得到AB=DG，推出OF∥DG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OF=DG，等量代換得到結(jié)論； （3）如圖3，過O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，根據(jù)垂徑定理得到BN=DN，AM=CM，由=，得到AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAD=∠ACB，由圓周角定理得到∠CAD=∠DBC，等量代換得到∠ACB=∠DBC，得到△BCE是等腰直角三角形，同理△ADE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）∵AC=BD， ∴， ∴=﹣， 即： =， ∴AB=CD； （2）如圖2，過O作OF⊥CD于F，連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于G，連接BG，DG， ∴∠CBG=∠CDG=90°，∠CGB=∠CDB， ∵AC⊥BD， ∴∠CDE+∠DCE=∠BGC+∠BCG=90°， ∴∠DCE=∠BCG， ∴， ∴， ∴AB=DG， ∵OF⊥CD，DG⊥CD， ∴OF∥DG， ∵OC=OG， ∴CF=DF， ∴OF=DG， ∴OF=AB； （3）如圖3，過O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N， ∴BN=DN，AM=CM， ∵=， ∴AD∥BC， ∴∠CAD=∠ACB， ∵∠CAD=∠DBC， ∴∠ACB=∠DBC， ∵AC⊥BD， ∴△BCE是等腰直角三角形， 同理△ADE是等腰直角三角形， ∵AD=4，BC=8， ∴AE=DE=2，BE=CE=4， ∴BD=AC=6， ∴BN=DN=AM=CM=3， ∴NE=EM=， ∴OE=2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 　 27．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)A（﹣1，0）在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，4）為拋物線上一點(diǎn)，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D． （1）求拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式； （3）在（2）的條件下，作直線AE⊥x軸，交線段CD于點(diǎn)E，連接AP、PE，當(dāng)∠APE=90°時(shí)，求tan∠PCE的值． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)為頂點(diǎn)式代入點(diǎn)C即可求解； （2）連接PC，PB，BC，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交BC于點(diǎn)Q，運(yùn)用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，表示縱坐標(biāo)y=t2+2t+1，進(jìn)一步表示線段PQ的長(zhǎng)度，利用△PBC的面積S=S△PCQ+S△PQB即可求解； （3）過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形△HPE∽△MAP，運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊的比相等，建立等量關(guān)系=，進(jìn)一步求解即可． 【解答】解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)A（﹣1，0），設(shè)拋物線為：y=a（x+1）2， 把點(diǎn)C（1，4）的坐標(biāo)代入得：4=a（1+1）2， 解得：a=1， ∴y=（x+1）2， 拋物線的解析式為：y=x2+2x+1． （2）如圖1，連接PC，PB，BC，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交BC于點(diǎn)Q， y=x2+2x+1，當(dāng)x=0，y=1，∴點(diǎn)B（0，1）， 設(shè)直線BC解析式為：y=mx+n， 把點(diǎn)B（0，1），和點(diǎn)C（1，4）代入得： 解得：， ∴y=3x+1， 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則縱坐標(biāo)為：t2+2t+1， 把y=t2+2t+1代入y=3x+1， 得：x=， ∴PQ=﹣t=， ∴△PBC的面積為S=S△PCQ+S△PQB=×PQ×[4﹣（t2+2t+1）+（t2+2t+1）﹣1]=×PQ×（4﹣1）=××3=t2﹣t， ∴S=t2﹣t． （3）如圖2，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)H， ∵CD∥x軸， ∴PH⊥CD，PM⊥x軸， ∴∠PHE=∠AMP=90°， ∵∠APE=90°， ∴∠HPE+∠APM=90°， ∵∠HPE+∠PEH=90°， ∴∠APM=∠PEH， ∴△HPE∽△MAP， ∴， 由（2）點(diǎn)P（t，t2+2t+1）， ∴AM=﹣1﹣t，PM=t2+2t+1， ∵CD∥x軸，點(diǎn)C（1，4）， ∴PH=4﹣（t2+2t+1）=3﹣（t2+2t）， HE=AM=﹣1﹣t， ∴=， 解得：t=﹣1﹣，或t=﹣1+（舍去）， ∴PH=3﹣（t2+2t）=1， CH=1﹣（﹣1﹣）=2+， 在直角三角形PHE中：tan∠PCE===2﹣． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)法求解析式，靈活運(yùn)用頂點(diǎn)式是求解析式的關(guān)鍵；在解決形積問題時(shí)，會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)表示線段，會(huì)運(yùn)用已知建立數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．