圓錐曲線培優(yōu)講義.doc

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一 原點(diǎn)三角形面積公式 1. 已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，試求△AOB的面積． 2. 己知橢圓 x2+2y2=1，過原點(diǎn)的兩條直線 l1 和 l2 分別與橢圓交于點(diǎn) A，B 和 C，D．記 △AOC 的面積為 S． （1）設(shè) Ax1,y1，Cx2,y2．用 A，C 的坐標(biāo)表示點(diǎn) C 到直線 l1 的距離，并證明 S=12x1y2-x2y1； （2）設(shè) l1:y=kx，C33,33，S=13，求 k 的值． （3）設(shè) l1 與 l2 的斜率之積為 m，求 m 的值，使得無論 l1 與 l2 如何變動，面積 S 保持不變． 3. 已知橢圓的左、右兩焦點(diǎn)分別為,橢圓上有一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的中，滿足 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)直線的斜率分別為，且，求的值. 4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動點(diǎn)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積為 (1)求動點(diǎn)的軌跡的方程； (2)設(shè)點(diǎn)是軌跡上相異的兩點(diǎn)． (I)過點(diǎn)A，B分別作拋物線的切線、，與兩條切線相交于點(diǎn) ，證明：； (Ⅱ)若直線OA與直線OB的斜率之積為，證明：為定值，并求出這個定值· 5. 已知 A 、 B 分別是 x 軸和 y 軸上的兩個動點(diǎn)，滿足 AB=2，點(diǎn) P 在線段 AB 上，且 AP=tPB（t 是不為 0 的常數(shù)），設(shè)點(diǎn) P 的軌跡方程為 C． （1）求點(diǎn) P 的軌跡方程 C； （2）若曲線 C 為焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，試求實(shí)數(shù) t 的取值范圍； （3）若 t=2，點(diǎn) M，N 是曲線 C 上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個動點(diǎn)，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 32,3，求 △QMN 的面積 S 的最大值． 6. 已知橢圓 C1 的焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線 C2 的焦點(diǎn)在 y 軸上，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．在 C1，C2 上各取兩個點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中： x3-242y920822 （1）求 C1，C2 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知定點(diǎn) C0,18，P 為拋物線 C2 上一動點(diǎn)，過點(diǎn) P 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 A，B 兩點(diǎn)，求 △ABC 面積的最大值． 7. 已知拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線交拋物線于 A，B 兩點(diǎn)． （1）若 AF=2FB，求直線 AB 的斜率； （2）設(shè)點(diǎn) M 在線段 AB 上運(yùn)動，原點(diǎn) O 關(guān)于點(diǎn) M 的對稱點(diǎn)為 C，求四邊形 OACB 面積的最小值． 8. 設(shè)橢圓 C1：x2a2+y2b2=1 a>b>0 的左、右焦點(diǎn)分別是 F1 、 F2，下頂點(diǎn)為 A，線段 OA 的中點(diǎn)為 B（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線 C2：y=x2-1 與 y 軸的交點(diǎn)為 B，且經(jīng)過 F1，F(xiàn)2 點(diǎn)． （1）求橢圓 C1 的方程； （2）設(shè) M0,-45，N 為拋物線 C2 上的一動點(diǎn)，過點(diǎn) N 作拋物線 C2 的切線交橢圓 C1 于 P 、 Q 兩點(diǎn)，求 △MPQ 面積的最大值． 二 定點(diǎn)定值問題 9. 動點(diǎn)在圓：上運(yùn)動，定點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為． （Ⅰ）求的軌跡的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線，分別交軌跡于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且．證明：過和中點(diǎn)的直線過定點(diǎn)． 10. 在直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線：的中心，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）若點(diǎn)為拋物線上的定點(diǎn)，，為拋物線上兩個動點(diǎn)．且⊥，問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)，若不是，說明理由． 11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 63，直線 l 與 x 軸交于點(diǎn) E，與橢圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn)．當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸且點(diǎn) E 為橢圓 C 的右焦點(diǎn)時，弦 AB 的長為 263． （1）求橢圓 C 的方程； （2）若點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 32,0，點(diǎn) A 在第一象限且橫坐標(biāo)為 3，連接點(diǎn) A 與原點(diǎn) O 的直線交橢圓 C 于另一點(diǎn) P，求 △PAB 的面積； （3）是否存在點(diǎn) E，使得 1EA2+1EB2 為定值?若存在，請指出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請說明理由． 12. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，不垂直于x軸且不過F點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)． （1）如果直線FA，F(xiàn)B的斜率之和為0，則動直線l是否一定經(jīng)過一定點(diǎn)？若過一定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由． （2）如果FA⊥FB，原點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍． 13. 如圖，已知直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點(diǎn)、和、，記直線的斜率為. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當(dāng)變化時，試問直線是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請說明理由. 14. 如圖，橢圓 E:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是 22，過點(diǎn) P0,1 的動直線 l 與橢圓相交于 A，B 兩點(diǎn)．當(dāng)直線 l 平行于 x 軸時，直線 l 被橢圓 E 截得的線段長為 22． （1）求橢圓 E 的方程； （2）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，是否存在與點(diǎn) P 不同的定點(diǎn) Q，使得 QAQB=PAPB 恒成立? 若存在，求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 15. 已知動圓過定點(diǎn) p2,0，且與直線 x=-p2 相切，其中 p>0． （1）求動圓圓心 C 的軌跡的方程； （2）設(shè) A 、 B 是軌跡 C 上異于原點(diǎn) O 的兩個不同點(diǎn)，直線 OA 和 OB 的傾斜角分別為 α 和 β，當(dāng) α，β 變化且 α+β 為定值 θ0<θ<π 時，證明直線 AB 恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 16. 已知拋物線 E:y2=2pxp>0 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點(diǎn) K，過點(diǎn) K 做圓 C:x-52+y2=9 的兩條切線，切點(diǎn)為 M，N，|MN|=33． （1）求拋物線 E 的方程； （2）設(shè) A，B 是拋物線 E 上分別位于 x 軸兩側(cè)的兩個動點(diǎn)，且 OA?OB=94 （ 其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）． ①求證：直線 AB 必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn) Q 的坐標(biāo)； ②過點(diǎn) Q 作 AB 的垂線與拋物線交于 G，D 兩點(diǎn)，求四邊形 AGBD 面積的最小值． 17. 18. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)是橢圓C：上一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M:作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線OP、OQ的斜率分別記為k1，k2 (1)求證：k1k2為定值; (2)求四邊形OPMQ面積的最大值. 19. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線，分別交橢圓于，. （1）若點(diǎn)在第一象限，且直線，互相垂直，求圓的方程； （2）若直線，的斜率存在，并記為，求的值； （3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由. 三 中點(diǎn)弦問題 20. 橢圓的長軸長為，為橢圓上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為. （1）求橢圓的方程； （2）過橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，求線段的長的取值范圍. 21. 在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且直線的斜率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)另一直線與橢圓交于兩點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值． 22. 如圖，橢圓左右頂點(diǎn)為A、B，左右焦點(diǎn)為，直線交橢圓E于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，與線段橢圓短軸分別交于M、N兩點(diǎn)（M、N不重合），且. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線的斜率分別為，求的取值范圍. 23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn). （Ⅰ）求橢圓的方程; （Ⅱ）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由; （Ⅲ）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值. 24. 已知橢圓 M:x2a2+y2b2=1a>b>0 過點(diǎn) A0,-1，且離心率 e=32． （1）求橢圓 M 的方程； （2）若橢圓 M 上存在點(diǎn) B,C 關(guān)于直線 y=kx-1 對稱，求 k 的所有取值構(gòu)成的集合 S，并證明對于 ?k∈S，BC 的中點(diǎn)恒在一條定直線上． 25. 如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) P1,12 到拋物線 C:y2=2pxp>0 的準(zhǔn)線的距離為 54．點(diǎn) Mt,1 是 C 上的定點(diǎn)，A，B 是 C 上的兩動點(diǎn)，且線段 AB 被直線 OM 平分． （1）求 p，t 的值； （2）求 △ABP 面積的最大值． 26. 已知拋物線 C:y2=4x，過其焦點(diǎn) F 作兩條相互垂直且不平行于 x 軸的直線，分別交拋物線 C 于點(diǎn) P1，P2 和點(diǎn) P3，P4，線段 P1P2，P3P4 的中點(diǎn)分別記為 M1，M2． （1）求 △FM1M2 面積的最小值； （2）求線段 M1M2 的中點(diǎn) P 滿足的方程． 27. 平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：（）的離心率是，拋物線：的焦點(diǎn)是的一個頂點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)是上動點(diǎn)，且位于第一象限，在點(diǎn)處的切線與交于不同的兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，直線與過且垂直于軸的直線交于點(diǎn)． （i）求證：點(diǎn)在定直線上； （ii）直線與軸交于點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時點(diǎn)的坐標(biāo)． 四 定比分點(diǎn) 28. 已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓：上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡記為曲線. （Ⅰ）求曲線的方程； （Ⅱ）過的直線交曲線于不同的，兩點(diǎn),交軸于點(diǎn)，已知，，求的值. 29. 在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點(diǎn) 再取兩個動點(diǎn)，，且． （Ⅰ）求直線與交點(diǎn)M的軌跡C的方程； （Ⅱ）過的直線與軌跡C交于P,Q，過P作軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點(diǎn)，若，求證：. 30. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)（在軸上方），連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)． （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且的周長為，求橢圓的方程； （2）若垂直于軸，且橢圓的離心率，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 五 結(jié)論 31. 已知橢圓 20.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)且離心率等于，點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上. （1）求橢圓的方程； （2）是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，滿足，求證：三角形的面積是定值. 32. 過點(diǎn) 1,32，離心率為 32．過橢圓右頂點(diǎn) A 的兩條斜率乘積為 -14 的直線分別交橢圓 C 于 M，N 兩點(diǎn)． （1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）直線 MN 是否過定點(diǎn) D?若過定點(diǎn) D，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，若不過點(diǎn) D，請說明理由． 33. 已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，若，． （1）求橢圓的方程； （2）點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，試證：以為直徑的圓交軸于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 34. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為P，與拋物線的交點(diǎn)為Q,且 （1）求拋物線的方程； （2）如圖所示，過F的直線與拋物線相交于A,D兩點(diǎn)，與圓相交于B,C兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)相鄰），過A,D兩點(diǎn)分別作我校的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,求與的面積之積的最小值. 35. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0，其右準(zhǔn)線 l 與 x 軸交于點(diǎn) A，橢圓的上頂點(diǎn)為 B，過它的右焦點(diǎn) F 且垂直于長軸的直線交橢圓于點(diǎn) P，直線 AB 恰經(jīng)過線段 FP 的中點(diǎn) D． （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是 A1 、 A2，且 BA1?BA2=-3，求橢圓的方程； （3）在（2）的條件下，設(shè) Q 是橢圓右準(zhǔn)線 l 上異于 A 的任意一點(diǎn)，直線 QA1，QA2 與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為 M 、 N，求證：直線 MN 與 x 軸交于定點(diǎn)． 36. 已知點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線的斜率分別記為與，且． （Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）過定點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn)，的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由． 37. 已知一個動圓與兩個定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C. (1) 求曲線C的方程； (2) 過點(diǎn)F（)做兩條可相垂直的直線，設(shè)與曲線C交于A,B兩點(diǎn), 與曲線 C交于C,D兩點(diǎn)，線段AC，BD分別與直線交于M，M,N兩點(diǎn)。求證|MF|:|NF|為定值. 六 運(yùn)算轉(zhuǎn)化 38. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為A,過A與垂直的直線交軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn). （1）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程； （2）在（1）的條件下，B是橢圓C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓C于E,F兩點(diǎn),直線BE,BF分別交直線于M,N兩點(diǎn)，若直線MR,NR的斜率分別為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由. 39. 已知橢圓過點(diǎn)且離心率為. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，以為對角線作正方形，記直線與軸的交點(diǎn)為，問、兩點(diǎn)間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由. 12