第三章《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)》學(xué)案（新人教A版選修1-2）

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復(fù)數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)案 一． 知識(shí)結(jié)構(gòu) 數(shù)系擴(kuò)充 復(fù)數(shù) 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 定義 代數(shù)形式 四則運(yùn)算 幾何意義 二． 重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)剖析 由于復(fù)數(shù)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)所處的地位的改變，今后高考時(shí)復(fù)數(shù)不會(huì)有太多太高的要求，試題數(shù)量穩(wěn)定在一道試題，難度不會(huì)太大，復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是高考考查的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)的運(yùn)算是復(fù)數(shù)的中心內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn)。而復(fù)數(shù)的乘、除更是考查的重點(diǎn)，主要考查基本運(yùn)算能力，另外復(fù)數(shù)的有關(guān)概念眾多，涉及知識(shí)面廣，易與三角、幾何、向量知識(shí)、不等式等結(jié)合起來考查。 三． 技巧方法 1、 設(shè)z＝a＋bi(a,b),利用復(fù)數(shù)相等轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是解決復(fù)數(shù)問題常用的方法，同時(shí)要學(xué)會(huì)以整體的角度出發(fā)去分析和求解，如果遇到復(fù)數(shù)就設(shè)z＝a＋bi(a,b),有時(shí)帶來不必要的運(yùn)算上的困難，若能把握住復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)，充分運(yùn)用整體思想求解，則能事半功倍。 2、 在簡(jiǎn)化運(yùn)算中，如能合理運(yùn)用i和復(fù)數(shù)的模等有關(guān)的性質(zhì)，常能出奇制勝，事半功倍，所以在學(xué)習(xí)中注意積累并靈活運(yùn)用。 3、 性質(zhì)：是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù)，也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù)，在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸領(lǐng)會(huì)。 4、 學(xué)習(xí)本章時(shí)，應(yīng)注意聯(lián)系全面學(xué)過的實(shí)數(shù)的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算內(nèi)容，以便對(duì)復(fù)數(shù)的知識(shí)有較完整的認(rèn)識(shí)。 四、 注意點(diǎn)析 1、 要注意實(shí)數(shù)、虛數(shù)。純虛數(shù)、復(fù)數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)數(shù)集和虛數(shù)集都是復(fù)數(shù)集的真子集，它們的并集是復(fù)數(shù)集，它們的交集是空集，純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集， 2、 當(dāng)概念擴(kuò)展到復(fù)數(shù)后，實(shí)數(shù)集R中的一些運(yùn)算性質(zhì)、概念、關(guān)系就不一定適用了，如不等式的性質(zhì)、絕對(duì)值的定義、偶次方非負(fù)等。 3、 熟練掌握復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則，特別是除法法則，更為重要，是考試的重點(diǎn)。 五、 思想方法 1、 數(shù)形結(jié)合這是本章的主要數(shù)學(xué)思想，例如復(fù)數(shù)本身的幾何意義及四則運(yùn)算的幾何意義等。圖形要畫得合乎題意，充分利用圖形的直觀性，簡(jiǎn)捷巧妙的解題。 2、 方程的思想，主要體現(xiàn)在復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)方程。 3、轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化思想是復(fù)數(shù)的重要思想方法，既然在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展到復(fù)數(shù)，自然復(fù)數(shù)中的許多問題都可以轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)集內(nèi)解決，如求模運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件及等，進(jìn)行復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化。 4、分類討論思想：它是一種比較重要的解題策略和方法，在復(fù)數(shù)中它能夠使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，從而化整為零，各個(gè)擊破。 5、主要方法有：待定系數(shù)法、整體法；待定系數(shù)法是利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的形式代入，再利用復(fù)數(shù)相等或其它途徑，轉(zhuǎn)化為與a，b相關(guān)的等式，求出a，b即可得到復(fù)數(shù)z。在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中有必要根據(jù)條件與待求結(jié)論的特點(diǎn)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作某些整體處理，這樣往往可以避繁就簡(jiǎn)，化難為易，順?biāo)俳鉀Q問題。 六、 典例分析 1、基本概念計(jì)算類 例1．若且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_________ 解：因?yàn)椋剑? 又為純虛數(shù)，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。 2、復(fù)數(shù)方程問題 例2．證明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程（i為虛數(shù)單位）無(wú)解。 證明：原方程化簡(jiǎn)為設(shè)z＝x＋yi(x、y)，代入上述方程得 整理得 方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)方程等知識(shí)，一般是設(shè)Z的代數(shù)形式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。 3、綜合類 例3．設(shè)z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，且－1<<2 （1） 求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍； （2） 設(shè)，求證：M為純虛數(shù)； （3） 求的最小值。 分析：本題考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運(yùn)算及不等式的知識(shí)，以及運(yùn)算能力和推理能力。 解：（1）設(shè)z＝a＋bi（a，b） 因?yàn)椋菍?shí)數(shù)， 所以，，即|z|＝1， 因?yàn)椋?a，－1<<2， 所以，z的實(shí)部的取值范圍（－）。 （2）＝（這里利用了（1）中）。 因?yàn)閍（－），，所以M為純虛數(shù)。 （3） 因?yàn)?，a（－），所以，a＋1>0， 所以2×2－3＝1， 當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)上式取等號(hào)， 所以，的最小值是1。 點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)數(shù)的有關(guān)概念為載體，考查學(xué)生的化歸能力，考查了均值不等式的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。正是高考的重點(diǎn)。 4、創(chuàng)新類 例4．對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù))定義運(yùn)算“⊙”為 ⊙＝，設(shè)非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若⊙＝0，則在中，的大小為_________. 分析：本題立意新穎，解題入口寬，是一道不可多得的好題。 解法一：（解析法）設(shè)，故得點(diǎn)，，且＝0，即 從而有＝ 故,也即 解法二：（用復(fù)數(shù)的模）同法一的假設(shè)，知 ＝＋－2（）＝＋－2×0 ＝＋＝＋ 由勾股定理的逆定理知 解法三：（用向量數(shù)量積的知識(shí)）同法一的假設(shè)，知，則有 故 4