2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.1 第1課時(shí) 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課件 新人教A版選修2-3.ppt

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第一章,計(jì)數(shù)原理,高二一班某寢室有8名同學(xué)，他們約定畢業(yè)后每年春節(jié)要互寄一張賀年卡片，他們一共要消費(fèi)多少張卡片？2015年9月，紀(jì)念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式，外軍方隊(duì)有17個(gè)方隊(duì)，這些方隊(duì)的出場順序一共有多少種排法？某城市的電話號(hào)碼有8位數(shù)字，一共能構(gòu)成多少個(gè)電話號(hào)碼？汽車牌照由26個(gè)英文字母和10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字選出五個(gè)組成，一共能組成多少輛汽車的牌照號(hào)碼？……你知道是怎樣計(jì)數(shù)的嗎？本章將系統(tǒng)學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理，學(xué)習(xí)本章要注意體會(huì)有序與無序在計(jì)數(shù)中的區(qū)別，體會(huì)建模在數(shù)學(xué)研究中的作用．,1．1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,第1課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會(huì)議在北京舉行，某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟(jì)南前往北京參加會(huì)議．他有兩類快捷途徑可供選擇：一是乘飛機(jī)，二是乘坐動(dòng)車組．假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘，動(dòng)車組有4個(gè)班次可乘．問：此委員這一天從濟(jì)南到北京共有多少種快捷途徑可選？,,1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．2．分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．,m＋n,m1＋m2＋…＋mn,3．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．4．分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣完成一件事需要分成n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________________種不同的方法．,mn,m1m2…mn,1．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，若要求從兩類課程中選一門，則不同的選法共有()A．3種B．4種C．7種D．12種[解析]選擇課程的方法有2類：從A類課程中選一門有3種不同方法，從B類課程中選1門有4種不同方法，∴共有不同選法3＋4＝7種．,C,2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則(x，y)可表示不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．1B．3C．6D．9[解析]這件事可分為兩步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一個(gè)值x有3種方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一個(gè)值y有3種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有33＝9個(gè)不同的點(diǎn)．,D,3．(集寧一中2018學(xué)年高二)現(xiàn)有4件不同款式的上衣與3件不同顏色的長褲，如果一條長褲和一件上衣配成一套，則不同選法是()A．7B．64C．12D．81[解析]∵選定一件上衣時(shí)，有不同顏色的褲子3條，∴有3種不同的穿衣方案，∴共有34＝12種不同的搭配方法，故選C．,C,64,4．將三封信投入4個(gè)郵箱，不同的投法有______種．[解析]第一封信有4種投法，第二封信也有4種投法，第三封信也有4種投法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同投法43＝64種．,互動(dòng)探究學(xué)案,命題方向1?分類加法計(jì)數(shù)原理,典例1,[思路分析](1)從每個(gè)班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席都能獨(dú)立地完成這件事，因此應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理；(2)完成這件事有三類方案，因此也應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理．[解析](1)從每個(gè)班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有三類不同的方案．第1類，從高三(1)班中選出1名學(xué)生，有50種不同的選法；第2類，從高三(2)班中選1名學(xué)生，有60種不同的選法；第3類，從高三(3)班中選出1名學(xué)生，有55種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席，共有50＋60＋55＝165種不同的選法．,(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有三類不同的方案．第1類，從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第2類，從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生，有30種不同的選法；第3類，從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生，有20種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長，共有30＋30＋20＝80種不同的選法．,『規(guī)律總結(jié)』1.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2中不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn種不同的方法．2．能用分類加法計(jì)數(shù)原理解決的問題具有如下特點(diǎn)(1)完成一件事有若干種方案，這些方案可以分成n類；(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；(3)把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．,3．利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般步驟(1)分類，即將完成這件事情的方法分成若干類；(2)計(jì)數(shù)，求出每一類中的方法數(shù)；(3)結(jié)論，將各類的方法數(shù)相加得出結(jié)果．,〔跟蹤練習(xí)1〕滿足a、b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12D．10,B,[解析]①當(dāng)a＝0時(shí)，2x＋b＝0總有實(shí)數(shù)根，∴(a，b)的取值有4個(gè)．②當(dāng)a≠0時(shí)，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1．a(chǎn)＝－1時(shí)，b的取值有4個(gè)，a＝1時(shí)，b的取值有3個(gè)，a＝2時(shí)，b的取值有2個(gè)．∴(a，b)的取法有9個(gè)．綜合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13個(gè)．,命題方向2?分步乘法計(jì)數(shù)原理,已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓的個(gè)數(shù)是多少？[思路分析]要想確定一個(gè)圓，需確定圓心的橫坐標(biāo)a，縱坐標(biāo)b，圓的半徑r，只有當(dāng)三個(gè)量都確定時(shí)，這個(gè)圓才確定，故應(yīng)該用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．[解析]圓方程由三個(gè)量a、b、r確定，a，b，r分別有3種、4種、2種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，表示不同的圓的個(gè)數(shù)為342＝24(個(gè))．,典例2,『規(guī)律總結(jié)』1.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分幾個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事情，每個(gè)步驟缺一不可．2．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路．(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果．,,〔跟蹤練習(xí)2〕(1)有5本書全部借給3名學(xué)生，有不同的借法_______種．(2)有3名學(xué)生分配到某工廠的5個(gè)車間去參加社會(huì)實(shí)踐，則有不同分配方案_______種．[解析](1)中要完成的事情是把5本書全部借給3名學(xué)生，可分5個(gè)步驟完成，每一步把一本書借出去，有3種不同的方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N＝33333＝35＝243(種)不同的借法．(2)中要完成的事情是把3名學(xué)生分配到5個(gè)車間中，可分3個(gè)步驟完成，每一步分配一名學(xué)生，有5種不同的方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N＝555＝53＝125(種)不同的分配方案．,243,125,命題方向3?兩個(gè)基本原理的綜合應(yīng)用,現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？,典例3,[思路分析](1)選一幅國畫布置房間，這件事情可以完成，選一幅油畫布置房間，這件事情也可以完成，因此完成“選一幅畫布置房間”這件事情共分三類．(2)選一幅國畫布置房間，布置房間的任務(wù)沒有完成，選一幅油畫布置房間，布置房間的任務(wù)也沒有完成，只有國畫、油畫、水彩畫各選一幅都完成后，布置房間的任務(wù)才算完成，故完成這件事情需分三步．(3)“選兩種不同種類的畫”，可以選國畫、油畫；也可以選國畫、水彩畫，如果選了國畫、油畫，則這件事情已經(jīng)完成，故用分類加法計(jì)數(shù)原理，在每一類里選一種畫，再選一種畫，兩種畫都選出，這件事情才完成，故用分步乘法計(jì)數(shù)原理，因此本題應(yīng)先分類，再分步解決．,[解析](1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理共有5＋2＋7＝14種不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有527＝70種不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有52＝10種不同的選法．第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有57＝35種不同的選法．第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有27＝14種不同的選法，所以有10＋35＋14＝59種不同的選法．,『規(guī)律總結(jié)』應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的策略(1)確定計(jì)數(shù)原理：要分清涉及的問題從大的方面看是利用分類加法計(jì)數(shù)原理還是分步乘法計(jì)數(shù)原理，還是兩種原理綜合應(yīng)用解題．(2)處理好類與步的關(guān)系：對(duì)于較為復(fù)雜的題目，在某一類中需要分步計(jì)算所用的方法，而在某一步中又可能分類計(jì)算所用的方法，兩者要有機(jī)結(jié)合．(3)注意不重不漏：做到分類類不重，分步步不漏．,,〔跟蹤練習(xí)3〕現(xiàn)有高一四個(gè)班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組．(1)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(2)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？,[解析](1)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．所以，共有不同的選法N＝78910＝5040(種)．(2)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有78種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有79種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有710種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有89種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有810種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有910種不同的選法．所以，共有不同的選法N＝78＋79＋710＋89＋810＋910＝431(種)．,(1)枚舉法：將各種情況通過樹形圖、表格等方法一一列舉出來．它適用于計(jì)數(shù)種數(shù)較少的情況，分類計(jì)數(shù)時(shí)將問題分類實(shí)際上就是將分類種數(shù)一一列舉出來．枚舉法是一種解決問題的基本方法，當(dāng)計(jì)數(shù)的種數(shù)不是很多時(shí)，都可以用此方法解決．(2)間接法：若計(jì)數(shù)時(shí)分類較多，或無法直接計(jì)算時(shí)，可用間接法，先求出沒有限制條件的種數(shù)，再減去不滿足條件的種數(shù)．,解決計(jì)數(shù)問題的常用的方法,(3)字典排序法：字典排序法就是把所有的字母分為前后，先排前面的字母，前面的字母排完后再依次排后面的字母，最后的字母排完，則排列結(jié)束．利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計(jì)數(shù)問題，利用字典排序法還可以把這些排列不重不漏地一一列舉出來．(4)模型法：模型法就是通過構(gòu)造圖形，利用形象、直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法．模型法是解決計(jì)數(shù)問題的重要方法．,4個(gè)人各寫一張賀年卡，放在一起，然后每個(gè)人取一張不是自己的賀年卡，共有多少種不同取法？[思路分析]可以把4個(gè)人編號(hào)，用一、二、三、四表示，各自的卡片用1,2,3,4表示，用表格的形式一一列舉出來．[解析]解法一：顯然這個(gè)問題難用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算，但可以把各種方法一一列舉出來，最后再數(shù)出方法種數(shù)．把4個(gè)人編號(hào)為一、二、三、四，他們寫的4張賀年卡依次為1,2,3,4號(hào)，則取一張不是自己寫的賀年卡的各種方法全部列舉出來為：,典例4,解法二：將該問題轉(zhuǎn)化為“用1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，要求1不在個(gè)位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位數(shù)有多少個(gè)”．因此，可分三步，第一步確定個(gè)位數(shù)，有3種不同的方法；第二步確定把1放到十位、百位、千位中的任一位上，也有3種不同的方法；第三步，余下的兩個(gè)數(shù)字只有一種方法，由分類計(jì)數(shù)原理可得不同的分配方法為33＝9種．,『規(guī)律總結(jié)』破解此類看似簡單，實(shí)則繁難題的關(guān)鍵是選用“枚舉法”，即可輕松破解．用枚舉法需要注意做到不重不漏．,〔跟蹤練習(xí)4〕某彩票購買規(guī)則規(guī)定：從01到36共36個(gè)號(hào)中抽出7個(gè)號(hào)為一注，每注2元．某人想從01到10中選出3個(gè)連續(xù)的號(hào)，從11到20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，從21到30中選1個(gè)號(hào)，從31至36中選1個(gè)號(hào)組成一注，則這個(gè)人把這種特殊要求的號(hào)買全，至少要________元．[解析]需分步：第1步，從01到10中選3個(gè)連續(xù)的號(hào)，有8種選法，第2步，從11到20中選2個(gè)連續(xù)的號(hào)，有9種選法，第3步，從21到30中選1個(gè)號(hào)，有10種選法，第4步，從31到36中選1個(gè)號(hào)，有6種選法，∴共有N＝89106＝4320個(gè)號(hào)，共需要891062＝8640元．,8640,下圖中一共有多少個(gè)矩形(頂點(diǎn)不完全相同就視作不同的矩形)．,混淆分步、分類致誤,典例5,,[錯(cuò)解]按橫行進(jìn)行分類：第一類，由A行和B行組成的矩形有15個(gè)．第二類，由B行和C行組成的矩形有15個(gè)．第三類，由C行和D行組成的矩形有15個(gè)．由分類加法原理知，不同的矩形共有15＋15＋15＝45個(gè)．[辨析]完成一個(gè)矩形，既要考慮橫線由哪兩條構(gòu)成，也要考慮豎線由哪兩條構(gòu)成，只有當(dāng)兩條橫線與兩條豎線都確定時(shí)，這個(gè)矩形才算完成，故這是分步乘法計(jì)數(shù)原理．,[正解]我們只要在A、B、C、D四條橫線中選取2條，在1、2、3、4、5、6這6條豎線中選取兩條，就能確定一個(gè)矩形，如圖中矩形B2D2D5B5是由橫線B2B5、D2D5和豎線B2D2、B5D5圍成的．,,選取橫線有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種不同方法，選取豎線有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15種不同方法，由分步乘計(jì)數(shù)原理知，共有不同的矩形615＝90個(gè)．[點(diǎn)評(píng)]解答計(jì)數(shù)原理問題時(shí)，一定要分清完成“這件事”是分步，還是分類，每一步(類)的具體情形如何計(jì)算．本例中任意兩條橫線與兩條豎線都能圍成一個(gè)矩形，而不是只有相鄰的橫線和豎線的情形．,〔跟蹤練習(xí)5〕從{－3，－2，－1,0,1,2,3}中，任取3個(gè)不同的數(shù)作為拋物線方程y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)，如果拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，則這樣的拋物線共有多少條？,由c＝0，解得a0，所以a∈{－3，－2，－1}，b∈{1,2,3}，這樣要求的拋物線的條數(shù)可由a，b，c的取值來確定：第一步：確定a的值，有3種方法；第二步：確定b的值，有3種方法；第三步：確定c的值，有1種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，表示的不同的拋物線有N＝331＝9條．,1．一個(gè)袋子里放有6個(gè)球，另一個(gè)袋子里放有8個(gè)球，每個(gè)球各不相同，從兩袋子里各取一個(gè)球，不同取法的種數(shù)為()A．182B．14C．48D．91[解析]由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為68＝48，故選C．,C,D,15,3．用1、2、3這3個(gè)數(shù)字可以寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)______個(gè)．[解析]分三類：第一類為一位整數(shù)，有3個(gè)；第二類為兩位整數(shù)，有12,21,13,31,23,32，共6個(gè)；第三類為三位整數(shù)，有123,132,321,312,231,213，共6個(gè)，∴可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)3＋6＋6＝15個(gè)．,