數據的處理最小二乘法.ppt

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誤差與實驗數據的處理方法,誤差,系統(tǒng)誤差：由一些固定的原因所產生，其大小、正負有重現(xiàn)性，也叫可測誤差。方法誤差：分析方法本身所造成的誤差。隨機誤差：由偶然因素引起的誤差，所以又稱偶然誤差。如，同一坩堝稱重(同一天平，砝碼)，得到以下克數：29.3465，29.3463，29.3464，29.3466過失誤差：由操作人員的主觀原因、操作不當造成的誤差。,系統(tǒng)誤差的性質可歸納為如下三點：,重現(xiàn)性單向性數值基本恒定系統(tǒng)誤差可以校正。可用一定的方法消除。,偶然誤差的性質：,誤差的大小、正負都是不固定的。偶然誤差?不可測誤差。在消除系統(tǒng)誤差后，在同樣條件下多次測定，可發(fā)現(xiàn)偶然誤差服從統(tǒng)計規(guī)律。,偶然誤差（隨機誤差）原因：,由難以控制、無法避免的因素（環(huán)境的溫度，濕度，氣壓的微小波動，儀器性能的微小變化）所引起的。故又稱不可測誤差。,誤差的產生和消除,方法誤差：（比較嚴重的）原因：分析與操作方法本身造成的。例：重量分析中的沉淀的溶解或吸附雜質。儀器的操作不當等。,消除方法：作對照試驗，用已知的標準試樣進行多次測定。通過校正系數校正試樣的分析結果。,系統(tǒng)誤差?可校正偶然誤差?可控制過失誤差?可避免,實驗必然要采集大量數據，實驗人員需要對實驗數據進行記錄、整理、計算與分析，從而尋找出測量對象的內在規(guī)律，正確地給出實驗結果。所以說，實驗數據處理是實驗工作不可缺少的一部分。下面介紹實驗數據處理常用的四種方法。,1、列表法列表法沒有統(tǒng)一的格式，但在設計表格時要求能充分反映上述優(yōu)點，初學者要注意以下各點：(1)各欄目都要注明名稱和單位。(2)欄目的順序應充分注意數據間的聯(lián)系和計算順序，力求簡明、齊全、有條理。(3)反映測量值函數關系的數據表格，應按自變量由小到大或由大到小的順序排列。,2、圖解法（1）作圖必須用坐標紙：當決定了作圖的參量以后，根據情況選擇用直角坐標紙(即毫米方格紙)，對數坐標紙，半對數坐標紙或其它坐標紙。（2）坐標比例的選取與標度：作圖時通常以自變量作橫坐標（x軸），以因變量作縱坐標(y軸)，并標明坐標軸所代表的物理量(或相應的符號)和單位。坐標比例的選取，原則上做到數據中的可靠數字在圖上應是可靠的。坐標比例選得不適當時，若過小會損害數據的準確度；若過大會夸大數據的準確度，并且使實驗點過于分散，對確定圖線的位置造成困難。,（3）數據點的標出：實驗數據點用“+”符號標出，符號的交點正是數據點的位置。同一張圖上如有幾條實驗曲線，各條曲線的數據點可用不同的符號(如，⊙等)標出，以示區(qū)別。（4）曲線的描繪：由實驗數據點描繪出平滑的實驗曲線，連線要用透明直尺或三角板、曲線板等連接。要盡可能使所描繪的曲線通過較多的測量點。,（5）注解和說明：在圖紙上要寫明圖線的名稱、作圖者姓名、日期以及必要的簡單說明(如實驗條件：溫度、壓力等)。直線圖解法首先是求出斜率和截距，進而得出完整的線性方程。其步驟如下：選點求斜率求截距,,,,1.標明坐標軸：用粗實線畫坐標軸，用箭頭標軸方向，標坐標軸的名稱或符號、單位,再按順序標出坐標軸整分格上的量值。,,,4.標出圖線特征：在圖上空白位置標明實驗條件或從圖上得出的某些參數。如利用所繪直線可給出被測電阻R大小：從所繪直線上讀取兩點A、B的坐標就可求出R值。,電阻伏安特性曲線,5.標出圖名：在圖線下方或空白位置寫出圖線的名稱及某些必要的說明。,由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：,至此一張圖才算完成,不當圖例展示：,曲線太粗，不均勻，不光滑。應該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。,改正為：,橫軸坐標分度選取不當。橫軸以3cm代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應既滿足有效數字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數次冪或是其2倍或5倍。,改正為：,圖紙使用不當。實際作圖時，坐標原點的讀數可以不從零開始。,改正為：,3、逐差法當自變量與因變量之間成線性關系，自變量按等間隔變化，且自變量的誤差遠小于因變量的誤差時，可使用逐差法計算因變量變化的平均值。它既能充分利用實驗數據，又具有減小誤差的效果．具體做法是將測量得到的偶數組數據分成前后兩組，將對應項分別相減，然后再求平均值。,4、最小二乘法（線性回歸）作圖法雖然在數據處理中是一個很便利的方法，但在圖線的繪制上往往帶有較大的任意性，所得的結果也常常因人而異，而且很難對它作進一步的誤差分析，為了克服這些缺點，在數理統(tǒng)計中研究了直線擬合問題(或稱一元線性回歸問題)，常用一種以最小二乘法為基礎的實驗數據處理方法。由于某些曲線型的函數可以通過適當的數學變換而改寫成直線方程，這一方法也適用于某些曲線型的規(guī)律。,在很多物理實驗中，x和y這兩個物理量中總有一個物理量的測量精度要比另一個高很多，其測量誤差可以忽略。通常把它作為自變量x，其測量值xi可以看作是準確值。對應于某個xi值，另一個y的測量值yi是隨機變量。設x和y的函數關系由理論公式y(tǒng)=?(x;c1,c2,…,cm)給出，其中c1,c2,…,cm是需要通過擬合確定的參數。,4、數據的直線擬合(最小二乘法),4、數據的直線擬合(最小二乘法),用最小二乘法進行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的理論基礎、最佳經驗公式y(tǒng)=a+bx中a、b的求解:通過實驗，等精度地測得一組實驗數據（xi，yi，i=1，2…n），設此兩物理量x、y滿足線性關系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在yi上，設擬合直線公式為y=f(x)=a+bx，當所測各yi值與擬合直線上各估計值f(xi)=a+bxi之間偏差的平方和最小，即時，所得擬合公式即為最佳經驗公式。據此有解得,補充：數據的直線擬合(最小二乘法),相關系數r：最小二乘法處理數據除給出a、b外，還應給出相關系數r，r定義為r表示兩變量之間的函數關系與線性的符合程度，r?[-1，1]。|r|?1，x、y間線性關系好，|r|?0，x、y間無線性關系，擬合無意義。物理實驗中一般要求r絕對值達到0.999以上(3個9以上)。,其中,