常微分方程第一章緒論ppt課件

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常微分方程 Ordinary Differential Equation,,1,教材 (Text Book) （第三版） 王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松編 高等教育出版社,參考書目 (Reference) ?《常微分方程》 東北師范大學數(shù)學系編 高等教育出版社 ?《常微分方程》（山東師范大學數(shù)學系）莊萬 黃啟宇等編，山東科學技術(shù)出版社,2,課程評分方法 (Grading Policies) ? Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80),二、如何學習常微分方程 ?,1. 課前預習, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣.,聰明在于學習 , 天才在于積累 .,學而優(yōu)則用 , 學而優(yōu)則創(chuàng) .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,馬克思,一門科學, 只有當它成功地運用數(shù)學時, 才能達到真正完善的地步 .,華羅庚,2. 認真聽課，養(yǎng)成正確的學習習慣.,3. 課后復習，鍛造扎實的學習基礎(chǔ).,4,常微分方程的基本情況介紹,常微分方程是數(shù)學分析或基礎(chǔ)數(shù)學的一個組成部分，現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的重要工具，它在生命科學、幾何、力學、物理、電子技術(shù)、航空航天和經(jīng)濟領(lǐng)域等都有著廣泛的應用。,5,一、常微分方程模型,例 1 試求作一曲線y=f(x)，使在其上每一點(x, y)處的切線斜率均是該點橫坐標的2倍，且過點(1, 2)。 例 2 物體冷卻問題 將某物體置于空氣中，在t＝0時刻時，測得它的溫度為u0=150oC。10分鐘后測得它的溫度為u1=100oC ，試確定該物體溫度u與時間t的關(guān)系，并計算20分鐘后該物體的溫度。這里假定空氣的溫度始終保持為ua=24oC 。,6,例3 R－L－C電路問題。 如圖所示，R－L－C電路是由電阻R、電感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路。其中，R、L、C常數(shù)，電源電動勢是時間t的已知函數(shù)：E=e(t)。試建立當開關(guān)K合上后電流I(t)應滿足的微分方程。,例4 單擺運動問題 單擺是一根長為l的線段的上端固定而下端系一質(zhì)量為m的擺錘的簡單機械裝置。開始時將單擺拉開一個小角度φ0，然后放開，使其在擺錘的重力作用下在垂直平面上擺動。試建立單擺的運動方程。 此外，還有人口模型、傳染病模型、生物種群模型等,二、微分方程的基本概念和發(fā)展歷史,方程對于學過中學數(shù)學的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。,9,在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。,解這類問題的基本思想和初等數(shù)學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式－－－即求解微分方程。,10,牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。,微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，在公元17世紀，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。,常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時，數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。,11,牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。,三、微分方程的研究方法,研究微分方程的一般五種方法,1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。,2、利用數(shù)學分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。,3、微分方程解析理論,由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級數(shù)形式，并引進 特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。,13,5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論,1900年，希爾波特提出的23個問題中的第16個問題之一，至今未解決。,,,,,4、微分方程的數(shù)值解法,14,四、微分方程的講授內(nèi)容（學時64）,1、基本概念 2 、一階微分方程的初等解法 3、微分方程解的存在性理論 4、高階線性方程 5、線性微分方程組 6、微分方程的定性穩(wěn)定性理論初步,五、微分方程的教材特點,1.1 常微分方程的有關(guān)模型 1.2 常微分方程的有關(guān)概念 1.3 微分方程的發(fā)展歷史,本章主要內(nèi)容,第一章 緒 論,16,本章主要介紹微分方程、微分方程的解以及微分方程的階、解，微分方程組，動力系統(tǒng)等有關(guān)概念，同時介紹一些有關(guān)的微分方程模型。同學們應著重掌握微分方程的一些基本概念: 解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等，了解微分方程的有關(guān)模型。,17,1、單種群增長模型（Logistic 方程）,一、 導出微分方程的一些實例,§ 1.1 微分方程的概念,2、數(shù)學單擺模型,凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。例如：,1 ）如果微分方程中未知數(shù)只依賴于一個自變量，稱為常微分方程。例如：,二、 微分方程的基本概念,19,2 ）如果微分方程中未知數(shù)依賴于兩個或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：,,注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。,方程的階數(shù)：一個微分方程中，未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階數(shù)。,20,如果一個微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是線性的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。,一般的n階微分方程的形式為：,其中：,的已知函數(shù)。,例如：,是二階非線性微分方程。,是變量,21,解和隱式解：,為方程的解。,將其代入方程,后，能使它變成恒等式，,則稱函數(shù),若關(guān)系式,決定的隱函數(shù),是,設,上的解。,上的解。,是定義在區(qū)間（a,b）上的n階可微函,數(shù)，,22,把含有 n 個相互獨立的任意常數(shù),稱為n 階方程的通解。,的解,n 階方程的通解：,則稱,含有n個相互獨立的常數(shù)。,23,的通解。,特解：在通解中確立了一組任意常數(shù)后所得的解稱 為特解。,定解條件：為了確定微分方程的一個特定的解，我 們通常給出這個解所必需滿足的條件，這就是定解 條件常見的定解條件是初始條件。,24,求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問題。,當定解條件為初始條件時，相應的定解問題也就為 初值問題。,25,滿足初始條件的解為微分方程的特解。,初始條件不同，對應的特解也不同。,26,解：求出所給的函數(shù)導數(shù),因此，函數(shù)是微分方程的解。,27,內(nèi)容小結(jié),1. 微分方程的基本概念,線性微分方程， 非線性微分方程,常微分方程，偏微分方程，微分方程的階,P27 2， 3，4， 6，8（1）（3）（5）,初始條件,作 業(yè),微分方程的解，通解，特解,28,牛頓(1642 – 1727),,偉大的英國數(shù)學家 , 物理學家, 天文,學家和自然科學家.,他在數(shù)學上的卓越,貢獻是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),,并于1671,年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書 (1736年出版).,他,還著有《自然哲學的數(shù)學原理》和《廣義算術(shù)》等 .,29,萊布尼茲(1646 – 1716),,,德國數(shù)學家, 哲學家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,,他在《學藝》雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學的論文中,,有的早于牛頓,,所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓 .,他還設計了作乘法的計算機 ,,系統(tǒng)地闡述二進制計,數(shù)法 ,,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來 .,30,( 雅各布第一 · 伯努利 ),書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,,伯努利(1654 – 1705),瑞士數(shù)學家,,位數(shù)學家.,標和極坐標下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術(shù)》,,上的一件大事,,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,,,他家祖孫三代出過十多,1694年他首次給出了直角坐,1713年出,這是組合數(shù)學與概率論史,此外, 他對,雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .,31,歐拉 (1707 – 1783),,瑞士數(shù)學家.,他寫了大量數(shù)學經(jīng)典,著作,,如《無窮小分析引論 》, 《微,還,寫了大量力學, 幾何學, 變分法教材.,他在工作期間幾乎每年都完成 800 頁創(chuàng)造性的論文.,他的最大貢獻是擴展了微積分的領(lǐng)域,,要分支 (如無窮級數(shù), 微分方程) 與微分幾何的產(chǎn)生和,發(fā)展奠定了基礎(chǔ).,分學原理 》, 《積分學原理》等,,為分析學的重,在數(shù)學的許多分支中都有以他的名,字命名的重要常數(shù), 公式和定理.,32,拉格朗日 (1736 – 1813),法國數(shù)學家.,他在方程論, 解析函數(shù)論,,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,,近百,余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間,接地溯源于他的工作,,他是對分析數(shù)學,產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.,,33,