平行四邊形證明一二 回顧與思考.ppt

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九年級(jí)數(shù)學(xué)(上)第三章證明(三),1.平行四邊形(1)證明(一),(二)回顧與思考,,直觀是把“雙刃劍”,直觀是重要的,但它有時(shí)也會(huì)騙人,你還能找到這樣的例子嗎?,要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確,僅僅依靠經(jīng)驗(yàn),觀察,或?qū)嶒?yàn)是不夠的,必需一步一步,有根有據(jù)地進(jìn)行推理.,每個(gè)命題都由條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).一般地,命題可以寫成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.正確的命題稱為真命題(truestatement),不正確的的命題稱為假命題(falsestatement).要說明一個(gè)命題是假命題,通?？梢耘e出一個(gè)例子,使之具備命題的條件,而不具備命題的結(jié)論,這種例子稱為反例(counterexample).,“原名”知多少,定義:對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述,作出明確的規(guī)定,也就是給出它們的定義(definition).,命題:判斷一件事情的句子,叫做命題(statement).,,原名:某些數(shù)學(xué)名詞稱為原名.,公理:公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom).證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí).推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的真命題稱為定理(theorem).,推論:由一個(gè)公理或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)公理或定理的推論(corollary).推論可以當(dāng)作定理使用.,“原名”知多少,,公理:公認(rèn)的真命題稱為公理(axiom).證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實(shí).推理的過程稱為證明.定理:經(jīng)過證明的真命題稱為定理(theorem).,本套教材選用如下命題作為公理:1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;5.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;6.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.,“原名”知多少,,平行線的判定,公理:同位角相等,兩直線平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.,判定定理1:內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行.∵∠1=∠2,∴a∥b.,,判定定理2:同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.∵∠1+∠2=1800,∴a∥b.,這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.,平行線的性質(zhì),公理:兩直線平行,同位角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.,性質(zhì)定理1:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.∵a∥b,∴∠1=∠2.,,性質(zhì)定理2:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).∵a∥b,∴∠1+∠2=1800.,這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.,三角形內(nèi)角和定理,三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.,∠A+∠B+∠C=1800的幾種變形:∠A=1800–(∠B+∠C).∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.,,這里的結(jié)論,以后可以直接運(yùn)用.,三角形的外角,三角形內(nèi)角和定理的推論:推論1:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論2:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.推論3:直角三角形的兩銳角互余.,△ABC中:∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.,,這個(gè)結(jié)論以后可以直接運(yùn)用.,駛向勝利的彼岸,學(xué)好幾何標(biāo)志是會(huì)“證明”,證明命題的一般步驟:,(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結(jié)論(求證);,(2)根據(jù)題意,畫出圖形;,(3)結(jié)合圖形,用符號(hào)語言寫出“已知”和“求證”;,(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導(dǎo)“果”,執(zhí)“果”索“因”.);,(5)依據(jù)思路,運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和數(shù)學(xué)語言條理清晰地寫出證明過程;,(6)檢查表達(dá)過程是否正確,完善.,等腰三角形性質(zhì),定理:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角).,如圖,在△ABC中,∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等角對(duì)等邊).,,等腰三角形性質(zhì),推論:等腰三角形頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高互相重合(三線合一).,如圖,在△ABC中,∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（三線合一）.如圖,在△ABC中,∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（三線合一）.如圖,在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（三線合一）,輪換條件∠1=∠2,BD=CD,AD⊥BC可得三線合一的三種不同形式的運(yùn)用.,等腰三角形性質(zhì),等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都等于600.,如圖,在△ABC中,∵AB=AC=BC(已知).∴∠A=∠B=∠C=600（等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都等于600）.,等腰三角形性質(zhì),等腰三角形兩底角的平分線相等.等腰三角形兩腰上的中線相等.等腰三角形兩腰上的高相等.,等腰三角形的判定,定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）.,在△ABC中∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角對(duì)等邊）.,反證法,在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法(reductiontoabsurdity),用反證法證明的一般步驟:1.假設(shè):先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;2.歸謬:從這個(gè)假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3.結(jié)論:由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.,反證法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.在解決某些問題時(shí)常常會(huì)有出人意料的作用.,等邊三角形的判定,定理:有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形.,在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等邊三角形(有一個(gè)角是600的等腰三角形是等邊三角形).,等邊三角形的判定,定理:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.,在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等邊三角形(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).,在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300.∴BC=AB.(在直角三角形中,300角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).,特殊的直角三角形的性質(zhì),定理:在直角三角形中,如果有一個(gè)銳角等于300,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.,特殊的直角三角形的性質(zhì),定理:在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300.,在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么它所對(duì)的銳角等于300).,勾股定理,定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理在西方文獻(xiàn)中又稱為畢達(dá)哥拉斯定理（pythagorastheorem）.,在△ABC中∵∠ACB=900(已知),∴a2+b2=c2(直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方).,勾股定理的逆定理,定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.,在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形).,命題與逆命題定理與逆定理,在兩個(gè)命題中,如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件,那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題,其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.,如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它是一個(gè)定理,這兩個(gè)定理稱為互逆定理,其中一個(gè)定理稱另一個(gè)定理的逆定理.,直角三角形全等的判定定理,定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).,如圖,在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,∵AC=A′C′,AB=A′B′(已知),∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).,直角三角形全等的判定方法,直角三角形全等的判定方法:定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(斜邊,直角邊或HL).公理:三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）.公理:兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）.公理:兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）.推論:兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）.綜上所述,直角三角形全等的判定條件可歸納為:一邊及一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等;切記!!!命題:兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.即(SSA)是一個(gè)假冒產(chǎn)品!!!,線段垂直平分線性質(zhì),定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.,如圖,∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一點(diǎn)(已知),∴PA=PB(線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等).,線段垂直平分線的性質(zhì),逆定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.,如圖,∵PA=PB(已知),∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).,三角形的外心,定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.,如圖,在△ABC中,∵c,a,b分別是AB,BC,AC的垂直平分線(已知),∴c,a,b相交于一點(diǎn)P,且PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).,角平分線的性質(zhì),定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.,如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).,角平分線的性質(zhì),逆定理在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上.,如圖,∵PA=PB,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上).,三角形的內(nèi)心,定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.,如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分線,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知),∴BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).,尺規(guī)作圖,尺規(guī)作圖的基本作圖:作一條線段等于已知線段;作一個(gè)角等于已知角;作線段的垂直平分線(或中點(diǎn));作已知角的平分線;已知三邊,兩邊夾角,兩角夾邊,斜邊直角邊作三角形.,尺規(guī)作圖的解題格式(六步驟):已知,求作,分析,作法,證明,討論.,知識(shí)的升華,1、我們探索過的有關(guān)四邊形的性質(zhì)及判定,請(qǐng)把你記得的知識(shí)整理;2、試著用公理和已有的定理來證明它們.祝你成功！,結(jié)束寄語,嚴(yán)格性之于數(shù)學(xué)家,猶如道德之于人.條理清晰，因果相應(yīng),言必有據(jù).是初學(xué)證明者謹(jǐn)記和遵循的原則.,