回歸模型-華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模.ppt
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2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,第七章回歸模型,7.1回歸分析7.2一元線性回歸模型及其參數(shù)估計(jì)7.3多元線性回歸7.4非線性回歸7.5預(yù)測區(qū)間,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,在客觀現(xiàn)實(shí)世界中,事物的發(fā)展變化往往受到其他因素的影響,即是由其他事物的發(fā)展變化所造成的,事物之間的這種關(guān)系稱為因果關(guān)系。因果關(guān)系可分為兩類:,回歸分析,確定性關(guān)系,確定性關(guān)系,因果關(guān)系,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,所謂確定性關(guān)系是指在相互聯(lián)系的變量中,某一個(gè)變量的值可由其余變量的值精確求出,變量之間的這種關(guān)系稱為確定性關(guān)系即函數(shù)關(guān)系。如,一個(gè)地區(qū)某產(chǎn)品銷售率q與該產(chǎn)品實(shí)際銷售量Q與該地區(qū)人數(shù)N之間有如下關(guān)系:q=Q/N。所以,q、Q、N之間的關(guān)系屬確定性關(guān)系。,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,非確定性關(guān)系:變量之間雖然存在一定的聯(lián)系,但其中一個(gè)變量的值卻不能由其余變量的值精確地求出。其原因是它們之間的這種聯(lián)系,由于受到隨機(jī)因素的影響而并非一成不變,呈現(xiàn)出不確定性。它們之間的關(guān)系不能用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表達(dá)。通常只能將有關(guān)變量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法找到它們之間的關(guān)系。變量之間的這種非確定性關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。如,汽車配件銷售額與車擁有量之間的關(guān)系;貨幣流通量與社會商品零售總額、工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、貨幣流通速度等變量間的關(guān)系,均屬于相關(guān)關(guān)系。,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,在對經(jīng)濟(jì)問題的研究中,不僅要分析該問題的基本性質(zhì),也需要對經(jīng)濟(jì)變量之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行具體分析。常用的分析方法有回歸分析、相關(guān)分析、方差分析等方法。這些方法中應(yīng)用最廣泛的是回歸分析?;貧w分析就是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法,對變量的大量實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理,找到變量之間的聯(lián)系方式并進(jìn)行預(yù)測分析的方法。它是經(jīng)濟(jì)預(yù)測中一種重要的、應(yīng)用廣泛的預(yù)測方法。在回歸分析中,常常把預(yù)測變量稱為因變量,而把影響預(yù)測變量的因素稱為自變量。,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,回歸分析的步驟為:(1)根據(jù)自變量和因變量的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),確定自變量和因變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式(稱為實(shí)驗(yàn)公式或回歸方程)。(2)對回歸方程中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn),分析影響因素(自變量)與預(yù)測目標(biāo)(因變量)之間關(guān)系強(qiáng)弱和影響程度。(3)利用回歸方程,預(yù)測因變量的值,并分析研究預(yù)測結(jié)果的誤差范圍和精度?;貧w分析分為線性回歸和非性回歸。而線性回歸又可分為一元線性回歸和多元線性回歸。,(,,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,設(shè)x為自變量,y為因變量,y與x之間滿足如下線性關(guān)系:……………..(1)其中為隨機(jī)變量。若為n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的觀察值,則…………….(2),“一元線性回歸模型”及其參數(shù)估計(jì),,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,稱(2)為一元線性回歸模型.“一元”是指只有一個(gè)自變量X,這個(gè)自變量X是引起因變量Y變化的部分原因.“線性”它一方面指因變量Y與自變量X之間為線性關(guān)系,即另一方面也指因變量Y與參數(shù)a,b之間為線性關(guān)系,即,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,模型假設(shè)條件,(1)誤差項(xiàng)的數(shù)學(xué)期望(均值)為零.即(2)不同的誤差項(xiàng)和之間互相獨(dú)立.即(3)誤差項(xiàng)的方差與n無關(guān),為一常數(shù).即,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,(4)自變量與誤差項(xiàng)不相關(guān).即(5)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.即,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,綜上所述,一元線性回歸模型可以歸結(jié)為,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,模型的參數(shù)最小二乘估計(jì),問題:設(shè)x與y之間的線性關(guān)系為(1)式,如何由一組統(tǒng)計(jì)值(xi,yi),i=1,2…n.來建立起y與x之間的線性統(tǒng)計(jì)模型(線性回歸方程)。如何確定參數(shù),使直線盡可能靠近所有的點(diǎn)(xi,yi)。即如何去尋找擬合散布點(diǎn)的直線?擬合一條直線的準(zhǔn)則是什么?,,,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,擬合直線的的準(zhǔn)則,直線外一點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離有三種特殊情況:1.點(diǎn)到直線的垂直距離;2.點(diǎn)到直線的垂直坐標(biāo)距離;3.點(diǎn)到直線的水平坐標(biāo)距離;,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,準(zhǔn)則:,1.使達(dá)到最小值;2.使達(dá)到最小值;3.使達(dá)到最小值;4.使達(dá)到最小值;,,,最小二乘準(zhǔn)則,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,最小二乘準(zhǔn)則尋找擬合直線,假設(shè)分別為模型參數(shù)a,b的估計(jì)值。擬合直線為其中,為的估計(jì)值。它可按如下方法求得,。由令則可將ei殘差看成隨機(jī)誤差項(xiàng)的估計(jì)值。令Q:殘差平方和.則最小二乘準(zhǔn)則就是求Q的最小值。,,,,,殘差,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,為使Q達(dá)到最小,令,,,,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,解之得:,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,其中,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,,例1:某市自行車配件銷售額y(萬元)與自行車保有量x(萬輛)歷年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下所示,運(yùn)用一元線性回歸方法,建立自行車配件銷售額與自行車保有量之間的回歸模型。若該市自行車保有量近幾年按每年8%遞增,試預(yù)測該市1993年及1994年自行車配件銷售額。,,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,,解:樣本個(gè)數(shù)n=13,由表中數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算可得:,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,代入(3)式得,=3.7955,=3.9403.所以回歸預(yù)測方程為=3.9403+3.9755x…………(4)由給方程即可對1993年、1994年的自行車配件銷售額進(jìn)行預(yù)測,由題意可知,近幾年自行車保有量每年遞增8%,所以1993年、1994年該市自行車保有量分別為:26.611.08=28.7388(萬輛)26.611.08*1.08=31.09379(萬輛),,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,將上述數(shù)據(jù)代入(4)式,得1993年、1994年該市自行車配件銷售額的預(yù)測值分別為:=3.9403+3.795528.7388=113.0184(萬元)=3.9403+3.795531.0379=121.7446(萬元)值得注意,在求得回歸模型參數(shù)的估計(jì)值后還應(yīng)該分析研究模型參數(shù)的估計(jì)值是否與實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象相吻合。例如b的符號及大小是否與所討論的經(jīng)濟(jì)問題相符。若所研究的是某機(jī)械產(chǎn)品配件銷售額y與該機(jī)械保有量x之間的關(guān)系,,,,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,在一般情況下,保有量增加則其配件銷售額增加,而保有量減少其配件銷售額也將減少,所以這時(shí)回歸模型的參數(shù)b應(yīng)為正,若b<0,則意味著保有量增加(減少)而其配件銷售額卻反而減少(或增加),這與一般正常規(guī)律相矛盾。又如在某產(chǎn)品的需求量y對該產(chǎn)品的價(jià)格x的回歸模型中,在一般情況下,價(jià)格上升則需求下降,而價(jià)格下降則需求上升,所以回歸參數(shù)b1,則說明b的大小與實(shí)際情況或經(jīng)濟(jì)規(guī)律不相符。凡是出現(xiàn)上述類似情況,所得回歸模型都是不適用的,必須檢查其產(chǎn)生的原因,重新建模。,2020/5/19東華理工學(xué)院數(shù)信學(xué)院信息技術(shù)系,數(shù)學(xué)建模,由回歸方程求得的預(yù)測值是y的回歸估計(jì)值,稱為點(diǎn)估計(jì)。但在實(shí)際問題中,不但需要求出y的預(yù)測估計(jì)值,更重要的是需要知道y的實(shí)際值與預(yù)測值之間的誤差有多大,即需要知道y的實(shí)際值偏離預(yù)測值的范圍。為此只要能估計(jì)出y的實(shí)際值可能的取值范圍及其可靠程度即可。該范圍一般用區(qū)間表示,稱為預(yù)測區(qū)間。對預(yù)測區(qū)間估計(jì)過程稱為區(qū)間估計(jì)。其方法是由一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2…n)確定一個(gè)區(qū)間(),對于給定的值a(0- 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