《線性變換的運(yùn)算》PPT課件.ppt

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7.2線性變換的運(yùn)算,一、內(nèi)容分布7.2.1加法和數(shù)乘7.2.2線性變換的積7.2.3線性變換的多項(xiàng)式二、教學(xué)目的:掌握線性變換的加法、數(shù)乘和積定義，會(huì)做運(yùn)算.掌握線性變換的多項(xiàng)式,能夠求出給定線性變換的多項(xiàng)式.三、重點(diǎn)難點(diǎn):會(huì)做運(yùn)算.,7.2.1加法和數(shù)乘,令V是數(shù)域F上一個(gè)向量空間，V到自身的一個(gè)線性映射叫做V的一個(gè)線性變換.注：可見線性變換是特殊的線性映射，因而具有線性映射的性質(zhì)。我們用L(V)表示向量空間Ｖ和一切線性變換所成的集合.,我們用L(V)表示向量空間和一切線性變換所成的集合，設(shè)定義:加法:數(shù)乘:,那么和都是V的一個(gè)線性變換.下面證明:和都是V的一個(gè)線性變換.,所以是V的一個(gè)線性變換,令，那么對(duì)于任意和任意,所以kσ是V的一個(gè)線性變換.,線性變換的加法滿足交換律和結(jié)合律,容易證明,對(duì)于任意,以下等式成立:,(1),(2),令θ表示V到自身的零映射,稱為V的零變換,它顯然具有以下性質(zhì)：對(duì)任意有：,(3),設(shè)σ的負(fù)變換σ指的是V到V的線性映射容易驗(yàn)證，σ也是V的線性變換，并且,（4）,＿,＿,線性變換的數(shù)乘滿足下列算律：,這里k,l是F中任意數(shù)，σ,τ是V的任意線性變換.,定理7.2.1L（V）對(duì)于加法和數(shù)乘來說作成數(shù)域F上一個(gè)向量空間.,Note：上述運(yùn)算性質(zhì)由有關(guān)運(yùn)算的定義及變換相等的概念易證，注意等式的含義以及有些等式兩端的運(yùn)算是何運(yùn)算。由上述討論可得：,7.2.2線性變換的積,設(shè)容易證明合成映射也是V上的線性變換，即我們也把合成映射叫做σ與τ的積，并且簡記作στ．除上面的性質(zhì)外，還有：,,對(duì)于任意成立。,證明我們驗(yàn)證一下等式（9）其余等式可以類似地驗(yàn)證。設(shè)我們有,因而（9）成立。,Note：1）上述驗(yàn)方法由有關(guān)運(yùn)算的定義及變換的相等得。2）補(bǔ)充幾點(diǎn)：A)單位變換有：B)零變換有：C)一般地，線性變換的乘積不滿足交換律,D）由一般不能得或，因?yàn)閮蓚€(gè)非零變換的乘積可能是零變換E)線性變換的乘法一般不滿足消去律，即由且不能得.（可見L(V)的乘法類似于矩陣乘法的性質(zhì)）,7.2.3線性變換的多項(xiàng)式,線性變換的乘法滿足結(jié)合律：對(duì)于任意都有,因此,我們可以合理地定義一個(gè)線性變換σ的n次冪,這里n是非負(fù)整數(shù)。,我們?cè)俣x,這里ι表示V到V的單位映射，稱為V的單位變換。Note:1）線性變換的冪指數(shù)為非負(fù)整數(shù)；2)3)一般地,這個(gè)線性變換叫做當(dāng)時(shí)f(x)的值，并且記作,（1）因?yàn)閷?duì)于任意我們也可將簡記作，這時(shí)可以寫,,（2）帶入法：如果并且,,那么根據(jù)L(V)中運(yùn)算所滿足的性質(zhì),我們有,