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第六十七課時(shí) 正態(tài)分布
課前預(yù)習(xí)案
考綱要求
1.了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)分布的對稱性；
2.能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率．
基礎(chǔ)知識梳理
1． 正態(tài)曲線
正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達(dá)式為f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ為參數(shù)，且σ>0，－∞<μ<＋∞)．
2． 正態(tài)曲線的性質(zhì)
(1)曲線在x軸的 ，并且關(guān)于直線 對稱．
(2)曲線在 時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀．
(3)曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越 ，曲線越“矮胖”；σ越 ，曲線越“高瘦”．
3． 正態(tài)變量在三個(gè)特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值
(1)P(μ－σ
2)＝______________________________.
2． 若X～N(0,1)，且P(X<1.54)＝0.938 2，則P(|X|<1.54)＝________.
3． 設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝e－，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是 ( )
A．10與8 B．10與2
C．8與10 D．2與10
4． 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函
數(shù)圖象如圖所示，則有 ( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
考點(diǎn)2 服從正態(tài)分布的概率計(jì)算
【典例2】某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示．
(1)求總體隨機(jī)變量的期望和方差；
(2)求成績X位于區(qū)間(52,68)的概率．
【變式2】(1)在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(2，＋∞)上取值的概率為________．
(2)若X～N，則X落在(－∞，－1]∪[1，＋∞)內(nèi)的概率為________．
考點(diǎn)3 正態(tài)分布的應(yīng)用
【典例3】已知電燈泡的使用壽命X～N(1 500,1002)(單位：h)．
(1)購買一個(gè)燈泡，求它的使用壽命不小于1 400小時(shí)的概率；
(2)這種燈泡中，使用壽命最長的占0.15%，這部分燈泡的使用壽命至少為多少小時(shí)？
【變式3】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，即ξ～N(100,100)，已知滿分為150分．
(1)試求考試成績?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,120)內(nèi)的概率；
(2)若這次考試共有2 000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．
當(dāng)堂檢測
1． 已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)fi(x)＝ (x∈R，i＝1,2,3)
的圖象如圖所示，則 ( )
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
2． 設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，則P(0≤X≤2)的值是 ( )
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3． 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)等于 ( )
A．0.158 8 B．0.158 5 C．0.158 6 D．0.158 7
4． 已知隨機(jī)變量ξ～N(3,22)，若ξ＝2η＋3，則D(η)等于 ( )
A．0 B．1 C．2 D．4
課后拓展案
A組全員必做題
1.某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)＝e－ (x∈R)，則下列命題不正確的是 ( )
A．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分
B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同
C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同
D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10
2． 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點(diǎn)的概率是，則μ等于 ( )
A．1 B．2 C．4 D．不能確定
3． 隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，則P(ξ<2)＝________.
4.某中學(xué)2 000名考生的高考數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布N(120,100)，則此校數(shù)學(xué)成績在140分以上的考生人數(shù)約為________．(注：正態(tài)總體N(μ，σ2)在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率約為0.9544)．
5.在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為________．
6.商場經(jīng)營的某種包裝大米的質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布X～N(10,0.12)，任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.8～10.2 kg的概率是________．
B組提高選做題
1.汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛．
2．工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？
3．在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的成績近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有13人．
求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？
參考答案
預(yù)習(xí)自測
1．0.1 解析 ∵P(0≤ξ≤2)＝P(－2≤ξ≤0)＝0.4，
∴P(ξ>2)＝(1－20.4)＝0.1.
2． 0.876 4 解析 由正態(tài)曲線的對稱性知
P(X≥1.54)＝P(X≤－1.54)．
又P(X≥1.54)＝1－P(X<1.54)＝1－0.938 2＝0.061 8
∴P(X≤－1.54)＝0.061 8，
∴P(|X|<1.54)＝P(－1.544)＝0.2，
由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.
∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝0.3.
典型例題
【典例1】解 (1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由＝，得σ＝4，
故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是
f(x)＝，x∈R.
(2)P(－42)＝[1－2P(0<ξ<1)]＝(1－0.8)＝0.1.
（2）【答案】0.0026 【解析】∵μ＝0，σ＝，
∴P(X≤－1或x≥1)
＝1－P(－11 500，則P(X≥x0)＝0.15%.
P(X－1 500≥x0－1 500)＝＝0.15%，
P(|X－1 500|110)＝(1－0.6826)＝0.158 7，
∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.158 7＝0.841 3.
∴及格人數(shù)為2 0000.841 3≈1 683(人)．
當(dāng)堂檢測
1．D解析 正態(tài)分布密度函數(shù)f2(x)和f3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對稱，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值比f1(x)的對稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)f1(x)和f2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2<σ3.
2． B解析 正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝0對稱，∵P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(0≤X≤2)＝0.4.
3．D解析 由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，
故正態(tài)分布曲線的對稱軸為x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，
故P(X>4)＝＝0.158 7.
4． B解析 由ξ＝2η＋3，得D(ξ)＝4D(η)，而D(ξ)＝σ2＝4，
∴D(η)＝1.
A組全員必做題
1.B解析 由密度函數(shù)知，均值(期望)μ＝80，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝10，又曲線關(guān)于直線x＝80對稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯(cuò)誤的．
2．C解析 根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點(diǎn)時(shí)，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，當(dāng)函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋ξ沒有零點(diǎn)的概率是時(shí)，μ＝4.
3． 0.7解析 由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，
又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.
4.46解析 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是10，故在區(qū)間(120－20,120＋20)之外的概率是1－0.9544，數(shù)學(xué)成績在140分以上的概率是＝0.0228，故數(shù)學(xué)成績在140分以上的人數(shù)為2 0000.022846≈46.
5.0.8解析 ∵ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)，
∴ξ在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.
∴ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4＋0.4＝0.8.
6.0.9544解析 P(9.89)＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 2000.15＝180(輛)．
2．解 ∵X～N，∴μ＝4，σ＝.
∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率為
P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3
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