高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 3.2.3 兩角和與差的正切函數(shù)學(xué)案 北師大版必修
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2.3 兩角和與差的正切函數(shù) 1．能利用兩角和(或差)的正弦、余弦公式導(dǎo)出兩角和(或差)的正切公式．(重點) 2．掌握公式Tαβ及其變形式，并能利用這些公式解決化簡、求值、證明等問題．(難點) [基礎(chǔ)初探] 教材整理 兩角和與差的正切公式 閱讀教材P121例4以上部分，完成下列問題． 兩角和與差的正切公式 名稱 簡記符號 公式 使用條件 兩角和的正切 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠1 兩角差的正切 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠－1 1.變形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. 2．公式的特例 tan＝； tan＝. 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)tan αtan β，tan(α＋β)，tan α＋tan β三者知二，可表示或求出第三個．( ) (2)tan能用公式tan(α＋β)展開．( ) (3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (4)公式T(αβ)，對任意α，β都成立．( ) 【解析】 由T(αβ)知，(1)對，(2)錯，(4)錯． 對于(3)，存在α＝，β＝－. 此時，tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝0. 【答案】 (1)√ (2) (3)√ (4) [質(zhì)疑手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑問3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ [小組合作型] 兩角和與差的正切公式的靈活運用 求下列各式的值． (1)； (2)tan 23＋tan 37＋tan 23 tan 37. 【精彩點撥】 解決(1)題可考慮＝tan 60，再逆用公式，解決(2)題注意到23＋37＝60，而tan 60＝，故聯(lián)想tan(23＋37)的展開形式，并變形，即可解決． 【自主解答】 (1)原式＝ ＝tan 75＝tan(45＋30) ＝＝＝＝2＋. (2)∵tan(23＋37)＝tan 60 ＝＝， ∴tan 23＋tan 37＝(1－tan 23tan 37)， ∴原式＝(1－tan 23tan 37)＋tan 23tan 37＝. 1．若化簡的式子里出現(xiàn)了“tan αtan β”及“tan αtan β”兩個整體，?？紤]tan(αβ)的變形公式． 2．解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是： (1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，利用公式直接求值． (2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的正切公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用公式求值． [再練一題] 1．(1)tan 15＋tan 30＋tan 15tan 30； (2)(3＋tan 30tan 40＋tan 40tan 50＋tan 50tan 60)tan 10. 【解】 (1)tan 15＋tan 30＝tan(15＋30)(1－tan 15tan 30) ＝tan 45(1－tan 15tan 30) ＝1－tan 15tan 30， 所以原式＝1－tan 15tan 30＋tan 15tan 30 ＝1. (2)原式＝(1＋tan 30tan 40＋1＋tan 40tan 50＋1＋tan 50tan 60)tan 10， 因為tan 10＝tan(40－30)＝， 所以1＋tan 40tan 30＝. 同理，1＋tan 40tan 50＝， 1＋tan 50tan 60＝. 所以原式＝ tan 10 ＝tan 40－tan 30＋tan 50－tan 40＋tan 60－tan 50 ＝－tan 30＋tan 60＝－＋＝. 給值求角 已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－.求(2α－β)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：66470070】 【精彩點撥】 先由α＝(α－β)＋β，求出tan α，再由2α－β＝(α－β)＋α求出tan(2α－β)，然后根據(jù)α，β的范圍，求出2α－β的值． 【自主解答】 ∵tan(α－β)＝，tan β＝－. ∴tan α＝tan [(α－β)＋β] ＝ ＝＝. ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝ ＝＝1. ∵0<α<，又0<β<π，tan β＝－>－1. ∴<β<π， ∴－π<－β<－， ∴－π<α－β<－， ∴－π<2α－β<－， ∴2α－β＝－. 1．本題中隱含著角α，β的范圍，需通過tan α，tan β的值縮小其范圍． 2．已知某三角函數(shù)值求角問題，通常分兩步：(1)先求角的某個三角函數(shù)值(由題中已知名稱和范圍確定)；(2)根據(jù)角的范圍確定角，必要時可利用值縮小角的范圍． [再練一題] 2．已知tan α，tan β是方程x2＋3 x＋4＝0的兩根， －<α<，－<β<，求α＋β的值． 【解】 ∵tan α＋tan β＝－3 <0，tan αtan β＝4>0， ∴tan α<0，tan β<0. ∵－<α<，－<β<， ∴－<α<0，－<β<0，∴－π<α＋β<0. ∵tan(α＋β)＝＝＝， ∴α＋β＝－. [探究共研型] 正切公式的綜合應(yīng)用 探究1 β與α－β怎樣建立聯(lián)系？ 【提示】 β＝α－(α－β)． 探究2 若α＋β＝π，則tan α與tan β存在怎樣關(guān)系？ 【提示】 tan α＝tan(π－β)＝－tan β. 探究3 在△ABC中，A，B，C三個角有什么關(guān)系？ 【提示】 A＋B＋C＝π或＋＝－. 在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判斷△ABC的形狀． 【精彩點撥】 可先求出tan(B＋C)和tan(A＋B)的值．再由誘導(dǎo)公式分別求tan A和tan C的值，從而可得A，B，C可判斷三角形形狀． 【自主解答】 tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) ＝＝＝－， 又0下載提示(請認真閱讀)
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